Как найти углы вписанного в окружность четырехугольника если три угла

Вписанный четырехугольник. Задание 6

При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что

1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:

2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:

Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:

1 .Задание B7 (№ 27871)

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°

Ответ: 122°

2 . Задание B7 (№ 27927)

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°

3 . Задание B7 (№ 27928)

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:

А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.

Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°

Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла(в последовательном порядке) относятся как 4 : 7 : 6?

Геометрия | 5 — 9 классы

Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла(в последовательном порядке) относятся как 4 : 7 : 6.

В ответе укажите больший из них в градусах.

Четырехугольник может быть вписанным в окружностьтогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°

В отношении углов

4 : 7 : 6 : х сумма пар углов4 + 6 = 7 + х

Так как окружность составляет 360°.

А сумма частей, на которые она поделена, равна 10 + 10 = 20, градусная мера одной части

∠1 + ∠3 = 72° + 108° = 180°

∠2 + ∠4 = 126° + 54° = 180°.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 26 и 53 градуса?

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 26 и 53 градуса.

Найдите больший из оставшихся углов.

Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 26 градусов 53 градусов найдите больший из оставшихся углов ответ дайте в градусах?

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 26 градусов 53 градусов найдите больший из оставшихся углов ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 97 и 28?

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 97 и 28.

Найдите больший из оставшихся углов.

Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 градусов и 51 градус?

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 градусов и 51 градус.

Найдите больший из оставшихся углов.

Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 20 градусов и 41 градус?

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 20 градусов и 41 градус.

Найдите больший из оставшихся углов.

Пожалуйста, решение : ))))) оч срочно?

Пожалуйста, решение : ))))) оч срочно!

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 26(градусов) и 53(градуса).

Найдите больший из оставшихся углов.

Ответ дайте в градусах.

Три последовательных угла вписанного в окружность четырехугольника относятся как 3 : 4 : 6?

Три последовательных угла вписанного в окружность четырехугольника относятся как 3 : 4 : 6.

Найдите углы четырехугольника.

Найдите углы вписанного в окружность четырёхугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5?

Найдите углы вписанного в окружность четырёхугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5.

Ответ в граусах.

В окружность вписан четырехугольник углы которого равны 36 72 144 108 градусов найдите величину дуги на которую опирается больший из углов ответ в градусах?

В окружность вписан четырехугольник углы которого равны 36 72 144 108 градусов найдите величину дуги на которую опирается больший из углов ответ в градусах.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, угол А = 108 * , угол В = 70 * ?

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, угол А = 108 * , угол В = 70 * .

Найдите наименьший из оставшихся углов.

Ответ укажите в градусах.

На этой странице находится вопрос Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла(в последовательном порядке) относятся как 4 : 7 : 6?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Теорема косинусов (для любой стороны треугольника) : x² = (√3)² + (1)² — 2 * √3 * 1 * cos(150°) x² = 4 — 2 * √3 * ( — √3 / 2) = 4 + 3 = 7 x = √7.

5 / 6 — 2 / 9 = 11 / 18. Ответ : a = 11 / 18.

А + 2 / 9 = 5 / 6 а = 5 / 6 — 2 / 9 а = 11 / 18 — — — — — — — — — — — — — — 11 / 18 + 2 / 9 = 5 / 6 11 / 18 = 11 / 18.

Угол а = 30°, тогда аb = 17 * 2 = 34(свойства прямоугольного треугольника).

Прямоугольник ABCD, Биссектриса угла А делит ВС на отрезки (к примеру BK и КС) по 5см, т. Е. BC = 10cм. Т. к. У прямоугольника все углы прямые, то биссектриса делит угол А на 2 угла по 45 градусов, отсюда, треугольник ABK — равнобедренный, поэтому..

Cos60 = 1 / 2 cos60 = катет / гипотенуза 1 / 2 = катет / 4 катет = 2.

Другой угол равен 30 градусов. Катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит катет равен 2 см. Другой катет равен : 4² = х² + 2² х² = 4² — 2² х = 2кореньиз3.

Угол А = 180 — (90 + 60) = 30 градусов Рассмотрим треугольник АВВ1 : В прямоугольном тругольнике сторона, лежащая против угла 30 градусов равна половине гиппотенузы, следовательно ВВ1 = 0, 5АВ ; 2 = 0, 5АВ ; 0, 5АВ = 2 ; АВ = 2 : 0, 5 ; АВ = 4.

Дано : АВ = 36 см ОА = 3ОВ Найти : ОВ, ОА Решение : Пусть ОВ = х см, тогда ОА = (3х) см, АВ = (х + 3х) см. А так как АВ = 36 см, составим уравнение : х + 3х = 36 4х = 36 х = 9см — ОВ ОА = 3 * 9 = 27см Ответ : ОА = 27 см, ОВ = 9 см.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

📽️ Видео