Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника,
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникКак найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = ab
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
ПараллелограммКак найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
КвадратКак найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = a 2
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = 4r 2
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
РомбКак найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
ТрапецияКак найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = m h
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
ДельтоидКак найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = ab sin φ
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаКак найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти площадь невыпуклого четырехугольника
Вписанный четырёхугольникКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника,
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Параллелограмм
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Квадрат
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаS = 4r 2

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Ромб
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Трапеция
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Дельтоид
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольникаКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
Прямоугольник
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

ДельтоидКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникКак найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Как найти площадь невыпуклого четырехугольника
(рис.6).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Площадь невыпуклого многоугольникаСкачать

Площадь невыпуклого многоугольника

Площадь неправильного четырехугольника

Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.

С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».

Видео:Как найти площадь многоугольника | Олимпиадная математикаСкачать

Как найти площадь многоугольника | Олимпиадная математика

Как найти площадь неправильного четырехугольника?

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.

В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.

Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

где d1, d2 — диагонали четырехугольника, α — острый угол между диагоналями .

Видео:Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

Как найти площадь невыпуклого четырехугольника

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

📹 Видео

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисунке

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия Атанасян

ЕГЭ-2014 Задание В-5 Урок №57 Площадь невыпуклого четырехугольника на клетчатой бумаге..Скачать

ЕГЭ-2014 Задание В-5 Урок №57 Площадь невыпуклого четырехугольника на клетчатой бумаге..

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивых

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Площадь произвольного четырехугольникаСкачать

Площадь произвольного четырехугольника

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Площадь многоугольникаСкачать

Площадь многоугольника
Поделиться или сохранить к себе: