Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Координаты вектора

Координаты вектора — это числа, которые описывают расположение вектора в координатной плоскости.

Координатами вектора с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2) называются числа

Таким образом, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Координаты вектора записывают в круглых скобках рядом с буквенным обозначением вектора:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Иногда координаты вектора записывают без буквенного обозначения, просто со знаком вектора над скобками:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Нулевой вектор имеет нулевые координаты:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Найти: координаты векторов

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

1) Чтобы найти координаты вектора, из координат его конца (точки B) вычитаем координаты начала (точки A):

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Координаты всех векторов треугольника

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Координаты вектора

Координаты вектора — это числа, которые описывают расположение вектора в координатной плоскости.

Координатами вектора с началом в точке A(x1; y1) и концом в точке B(x2; y2) называются числа

Таким образом, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Координаты вектора записывают в круглых скобках рядом с буквенным обозначением вектора:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Иногда координаты вектора записывают без буквенного обозначения, просто со знаком вектора над скобками:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Нулевой вектор имеет нулевые координаты:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Найти: координаты векторов

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

1) Чтобы найти координаты вектора, из координат его конца (точки B) вычитаем координаты начала (точки A):

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике
Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Длина вектора Как найти координаты всех векторов в треугольникев пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти координаты всех векторов в треугольникеи Как найти координаты всех векторов в треугольнике.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Произведение вектора на число:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Скалярное произведение векторов:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Косинус угла между векторами:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти координаты всех векторов в треугольникеи Как найти координаты всех векторов в треугольнике. Для этого нужны их координаты.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Запишем координаты векторов:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

и найдем косинус угла между векторами Как найти координаты всех векторов в треугольникеи Как найти координаты всех векторов в треугольнике:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Координаты вершины пирамиды: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Найдем координаты векторов Как найти координаты всех векторов в треугольникеи Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

и угол между ними:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Запишем координаты точек:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Найдем координаты векторов Как найти координаты всех векторов в треугольникеи Как найти координаты всех векторов в треугольнике, а затем угол между ними:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

То есть A + C + D = 0.

Как найти координаты всех векторов в треугольникеКак найти координаты всех векторов в треугольнике

Аналогично для точки K:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Получили систему из трех уравнений:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Решив систему, получим:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Вектор Как найти координаты всех векторов в треугольнике— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти координаты всех векторов в треугольникеимеет вид:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти координаты всех векторов в треугольникеперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Берем уравнение плоскости Как найти координаты всех векторов в треугольникеи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти координаты всех векторов в треугольникеКак найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Нормаль к плоскости AEF: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Найдем угол между плоскостями:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти координаты всех векторов в треугольникеили, еще проще, вектор Как найти координаты всех векторов в треугольнике.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Координаты вектора Как найти координаты всех векторов в треугольнике— тоже:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Получим:
Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Ответ: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти координаты всех векторов в треугольнике— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти координаты всех векторов в треугольнике— нормаль к плоскости α.

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Находим координаты вектора Как найти координаты всех векторов в треугольнике.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти координаты всех векторов в треугольнике.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Ответ: Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти координаты всех векторов в треугольнике, AD = Как найти координаты всех векторов в треугольнике. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти координаты всех векторов в треугольнике. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти координаты всех векторов в треугольникеКак найти координаты всех векторов в треугольнике

Решим эту систему. Выберем Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Тогда Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

Вектор. Координаты вектора.

В прямоугольной системе координат х0у проекции х и у вектора Как найти координаты всех векторов в треугольникена оси абсцисс и ординат называются координатами вектора. Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у), а сам вектор как: Как найти координаты всех векторов в треугольнике=(х, у).

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор Как найти координаты всех векторов в треугольникес известными координатами точек A(х11) и B(x2;y2) можно вычислить:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике= (x2 – x1 ; y2 – y1).

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор Как найти координаты всех векторов в треугольникес известными координатами точек A11;z1) и B(x2;y2;z2) можно вычислить применив формулу:

Как найти координаты всех векторов в треугольнике= (x2 x1 ; y2 y1;z2 z1).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Как найти координаты всех векторов в треугольнике

Формулы для определения координат вектора

<table data-id="254" data-view-id="254_31110" data-title="Координаты вектора" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> AB = <Bx — Ax; By — Ay>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> «> AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> » data-order=» AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> «> AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.

📸 Видео

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вычисляем угол через координаты вершин

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

№1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )Скачать

№1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе
Поделиться или сохранить к себе: