Отрезки при пересечении параллельных прямых

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Отрезки при пересечении параллельных прямых.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Содержание
  1. Признаки параллельности прямых
  2. Параллельность прямых
  3. Определение параллельности прямых
  4. Свойства и признаки параллельных прямых
  5. Задача 1
  6. Задача 2
  7. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  8. Определения параллельных прямых
  9. Признаки параллельности двух прямых
  10. Аксиома параллельных прямых
  11. Обратные теоремы
  12. Пример №1
  13. Параллельность прямых на плоскости
  14. Две прямые, перпендикулярные третьей
  15. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  16. Признаки параллельности прямых
  17. Пример №2
  18. Пример №3
  19. Пример №4
  20. Аксиома параллельных прямых
  21. Пример №5
  22. Пример №6
  23. Свойства параллельных прямых
  24. Пример №7
  25. Пример №8
  26. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  27. Расстояние между параллельными прямыми
  28. Пример №9
  29. Пример №10
  30. Справочный материал по параллельным прямым
  31. Перпендикулярные и параллельные прямые
  32. 🔍 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Отрезки при пересечении параллельных прямых
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Отрезки при пересечении параллельных прямых(Рис.8).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Докажем, что Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Отрезки при пересечении параллельных прямых. Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Отрезки при пересечении параллельных прямыхозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Отрезки при пересечении параллельных прямых

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Отрезки при пересечении параллельных прямых(Рис.11).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Отрезки при пересечении параллельных прямых. Тогда из Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхследует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Отрезки при пересечении параллельных прямых

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Отрезки при пересечении параллельных прямых(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Отрезки при пересечении параллельных прямых. Из Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхследует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Отрезки при пересечении параллельных прямых

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых

Отрезки при пересечении параллельных прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Отрезки при пересечении параллельных прямых
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Отрезки при пересечении параллельных прямых
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Отрезки при пересечении параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Отрезки при пересечении параллельных прямых

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, но не принадлежит прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Говорят, что прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Отрезки при пересечении параллельных прямых

Это можно записать так: Отрезки при пересечении параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Отрезки при пересечении параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Отрезки при пересечении параллельных прямых

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Отрезки при пересечении параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.
  2. Если Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 90°, то а Отрезки при пересечении параллельных прямыхАВ и b Отрезки при пересечении параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.
  3. Если Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2Отрезки при пересечении параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Отрезки при пересечении параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Отрезки при пересечении параллельных прямыхОFА = Отрезки при пересечении параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямыхЗ = Отрезки при пересечении параллельных прямых4 и Отрезки при пересечении параллельных прямых5 = Отрезки при пересечении параллельных прямых6.
  6. Так как Отрезки при пересечении параллельных прямых3 = Отрезки при пересечении параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Отрезки при пересечении параллельных прямых5 = Отрезки при пересечении параллельных прямых6 следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Отрезки при пересечении параллельных прямыхFF1 и b Отрезки при пересечении параллельных прямыхFF1, а аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Отрезки при пересечении параллельных прямых
2) Заметим, что Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2 и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3 следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Отрезки при пересечении параллельных прямыхAOF = Отрезки при пересечении параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Отрезки при пересечении параллельных прямых1 + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Отрезки при пересечении параллельных прямых3 + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Отрезки при пересечении параллельных прямыхl + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180° и Отрезки при пересечении параллельных прямых3 + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180° следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Отрезки при пересечении параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямыхF и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Отрезки при пересечении параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямых3 = Отрезки при пересечении параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3. Кроме того, Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3 и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3 следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Отрезки при пересечении параллельных прямых4 = Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAF. Действительно, Отрезки при пересечении параллельных прямых4 и Отрезки при пересечении параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Отрезки при пересечении параллельных прямыхFAC = Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Отрезки при пересечении параллельных прямых2 + Отрезки при пересечении параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Отрезки при пересечении параллельных прямых= Отрезки при пересечении параллельных прямых3 и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 + Отрезки при пересечении параллельных прямых3 = 180° следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых1 + Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAF + Отрезки при пересечении параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОтрезки при пересечении параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Так как Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = 90°, то и Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сОтрезки при пересечении параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхпараллельны, то есть Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Отрезки при пересечении параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, то Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 161).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Отрезки при пересечении параллельных прямых, перпендикулярную прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Отрезки при пересечении параллельных прямых, затем — третью прямую Отрезки при пересечении параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, параллельной прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, то Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхтретьей прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Отрезки при пересечении параллельных прямых3 иОтрезки при пересечении параллельных прямых5,Отрезки при пересечении параллельных прямых4 иОтрезки при пересечении параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Отрезки при пересечении параллельных прямых2 иОтрезки при пересечении параллельных прямых8,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Отрезки при пересечении параллельных прямых2 иОтрезки при пересечении параллельных прямых6,Отрезки при пересечении параллельных прямых3 иОтрезки при пересечении параллельных прямых7,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых5,Отрезки при пересечении параллельных прямых4 иОтрезки при пересечении параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Отрезки при пересечении параллельных прямых3 иОтрезки при пересечении параллельных прямых6,Отрезки при пересечении параллельных прямых4 иОтрезки при пересечении параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Отрезки при пересечении параллельных прямых2 иОтрезки при пересечении параллельных прямых7,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Отрезки при пересечении параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2 (рис. 166).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Отрезки при пересечении параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = Отрезки при пересечении параллельных прямых2 по условию, Отрезки при пересечении параллельных прямыхBMK =Отрезки при пересечении параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямыхANM =Отрезки при пересечении параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2 (рис. 167).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхи секущей Отрезки при пересечении параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямыхl +Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхи секущей Отрезки при пересечении параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Отрезки при пересечении параллельных прямыхAOB = Отрезки при пересечении параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAO=Отрезки при пересечении параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAK = 26°, Отрезки при пересечении параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAC = 2 •Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Отрезки при пересечении параллельных прямыхADK +Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Отрезки при пересечении параллельных прямых1=Отрезки при пересечении параллельных прямых2. Так как Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямых2 =Отрезки при пересечении параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Отрезки при пересечении параллельных прямых||Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Реальная геометрия

Отрезки при пересечении параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Отрезки при пересечении параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых||Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 187).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать: Отрезки при пересечении параллельных прямых||Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых, параллельные третьей прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Отрезки при пересечении параллельных прямых||Отрезки при пересечении параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2,Отрезки при пересечении параллельных прямых3 =Отрезки при пересечении параллельных прямых4. Доказать, что Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых. Так как Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, то Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Отрезки при пересечении параллельных прямых, которая параллельна прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых, которые параллельны прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, АВ — секущая,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать: Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоОтрезки при пересечении параллельных прямых1 Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых, параллельные прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОтрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых— секущая,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать:Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, Отрезки при пересечении параллельных прямых— секущая,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 иОтрезки при пересечении параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказать:Отрезки при пересечении параллельных прямыхl +Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Отрезки при пересечении параллельных прямых2 +Отрезки при пересечении параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхl =Отрезки при пересечении параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Отрезки при пересечении параллельных прямыхl +Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, т. е.Отрезки при пересечении параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, т. е.Отрезки при пересечении параллельных прямых2 = 90°.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямыхАОВ =Отрезки при пересечении параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Отрезки при пересечении параллельных прямыхABD =Отрезки при пересечении параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Отрезки при пересечении параллельных прямыхADB =Отрезки при пересечении параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых(рис. 211).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОтрезки при пересечении параллельных прямых2 =Отрезки при пересечении параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОтрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых3. Значит,Отрезки при пересечении параллельных прямых1 =Отрезки при пересечении параллельных прямых2.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямыхи АВОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, то расстояние между прямыми Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых, А Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, С Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, АВОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых, CDОтрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Отрезки при пересечении параллельных прямыхCAD =Отрезки при пересечении параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Отрезки при пересечении параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых, которая параллельна прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Отрезки при пересечении параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAD +Отрезки при пересечении параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Отрезки при пересечении параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Отрезки при пересечении параллельных прямых, параллельную прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Тогда Отрезки при пересечении параллельных прямых|| Отрезки при пересечении параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхравноудалены от прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхна расстояние Отрезки при пересечении параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхравно Отрезки при пересечении параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Отрезки при пересечении параллельных прямых, параллельная Отрезки при пересечении параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Отрезки при пересечении параллельных прямыхравноудалены от прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Отрезки при пересечении параллельных прямых. Прямая Отрезки при пересечении параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Отрезки при пересечении параллельных прямыхОтрезки при пересечении параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямых— параллельны.

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Отрезки при пересечении параллельных прямыхи Отрезки при пересечении параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Отрезки при пересечении параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?Скачать

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).
Поделиться или сохранить к себе: