Как найти координаты центра четырехугольника

Недавно внук,- он в восьмом классе,- выполнял задание по приблизительному определению центра тяжести четырехугольника, вырезанного из картона. Делать это очень просто: снизу картонки водится гвоздь и когда достигается равновесие (на острие гвоздя), то это и будет нужная точка.

Все это верно, конечно, но мне захотелось вместе с Андрюшей математически точно определить данный центр. И сопоставить с физическим опытом.

Вообще-то задача эта хорошо известна. Нужно начертить два диаметра фигуры, найти для четырех треугольников точки пересечения медиан и пары этих точек соединить. Точка пересечения двух прямых будет центром тяжести.

Но геометрическое решение тут довольно громоздкое. Придется столько дуг окружностей чертить, столько линий, что в результате будем иметь рыболовную сетку. Хотелось бы найти самое простое построение. И аналитику, конечно. Чтобы на компе быстро вычислять центр для самых разных вариантов выпуклых четырехугольников.

Эту математическую задачу мы запустили на лучшем форуме для студентов и школьников. Ответы были самые неожиданные. Одно решение предлагалось даже векторное! Между прочим, очень уж красивое. Может, когда-нибудь им и займемся, но в данный момент цель наша была — найти чисто школьный вариант. То есть цепочку формул, дающую в конце координаты центра.

Да, забыл сказать, что решили математическую модель строить через координаты вершин фигуры. Например, такие:

На форуме очень нам помог лучший в области геометрии специалист с ником Li6-D. Мы с Андрюшей чуточку его решение изменили и получили такую простоту, что сами удивились!
Глядим на рисунок. Имеем четырехугольник ABCD. Чертим две диагонали AC и BD. Точки K и P (с чертой наверху) — это середины диагоналей. Циркулем отмеряем отрезок BM и откладываем его на другом конце той же диагонали (отрезок DL). Точно так же отрезок AM дает на другом конце CT. Определенным образом соединяем пары точек TK и PL, как показано на рисунке и находим пересечением прямых точку S. Она и есть центр тяжести данного четырехугольника! Строить такое циркулем и линейкой — сплошное удовольствие!

Мы сопоставили аналитику с физикой и расхождение оказалось четыре миллиметра. Причина ясна: абсолютно ровно картон не разрезать. Особенно школьнику. Да и нужно понимать, что любая картонка не идеальна по толщине и плотности. Так что верить нужно формулам, а не гвоздику.

На скорую руку мы составили программу расчета на Yabasic. Двумя методами воспользовались. Первый нашли в инете — он самый легкий в плане аналитики. Второй — как раз о котором мы рассказ ведем. Вот текст:

xA=0:yA=0
xB=4:yB=5
xC=7:yC=7
xD=8:yD=0
S1=1/2*abs((xB-xA)*(yC-yA)-(xC-yA)*(yB-yA))
S2=1/2*abs((xC-xA)*(yD-yA)-(xD-yA)*(yC-yA))
xm1=(xA+xB+xC)/3:ym1=(yA+yB+yC)/3
xm2=(xA+xC+xD)/3:ym2=(yA+yC+yD)/3
x1=(S1*xm1+S2*xm2)/(S1+S2):y1=(S1*ym1+S2*ym2)/(S1+S2)
print «1) «;
print x1,y1
y0=(yA-yC)/(xA-xC)*(x0-xA)+yA
A0=sqrt((xA-x0)^2+(yA-y0)^2)
B0=sqrt((xB-x0)^2+(yB-y0)^2)
xL=xD-(x0-xB):yL=yD-(y0-yB)
xT=xC-(x0-xA):yT=yC-(y0-yA)
xK=(xB+xD)/2:yK=(yB+yD)/2
xP=(xA+xC)/2:yP=(yA+yC)/2
y2=(yK-yT)/(xK-xT)*(x1-xK)+yK
print «2) «;
print x2,y2

Оба метода дали точку (4.85185, 2.51852).

24 ноября 2020 г.

PS. Вчера исполнилось три года со дня рождения двух моих маленьких внучат: Никите и Илье.

Видео:№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

Как найти координаты центра четырехугольника

Медиана треугольника есть диаметр, делящий пополам хорды, параллельные основанию, поэтому на ней лежит центр тяжести (п° 217) площади треугольника. Следовательно, три медианы треугольника, пересекаясь, определяют центр тяжести площади треугольника.

Элементарные соображения показывают, что медианы треугольника пересекаются в точке, отстоящей на две трети длины каждой из них от соответствующей вершины. Поэтому центр тяжести площади треугольника лежит на любой его медиане на расстоянии двух третей ее длины от вершины.

219. Четырехугольник.

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, применяя распределительное свойство центров тяжести (п° 213).

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Эта прямая и есть первая из двух искомых прямых.

Вторую прямую получим таким же способом, разбивая четырехугольник на два треугольника (отличных от предыдущих) посредством другой диагонали.

220. Многоугольник.

Мы знаем способы нахождения центров тяжести площади треугольника и четырехугольника. Чтобы определить центр тяжести площади многоугольника с произвольным числом сторон, предположим, что мы умеем находить центр тяжести площади многоугольника с меньшим числом сторон.

Тогда можно поступить так же, как в случае четырехугольника. Площадь данного многоугольника делят на две части двумя разными способами проведением диагоналей. В каждом из двух случаев соединяют прямой центры тяжести отдельных частей. Эти две прямые пересекаются в искомом центре тяжести.

221. Дуга окружности.

Пусть требуется определить центр тяжести дуги окружности АВ длины s. Отнесем окружность к двум взаимно перпендикулярным диаметрам ОХ и OY, из которых первый проходит через середину С дуги АВ. Центр тяжести лежит на оси ОХ, являющейся осью симметрии. Достаточно поэтому определить 5. Для этого имеем формулу:

Пусть будут: а — радиус окружности, с — длина хорды АВ, — угол между осью ОХ и радиусом, проведенным к элементу значения , соответствующие концам дуги АВ. Имеем:

Тогда, принимая В за переменную интегрирования и выполняя интегрирование вдоль дуги АВ, получим:

Следовательно, центр тяжести дуги окружности лежит на радиусе, проведенном через середину дуги, в точке, расстояние которой от центра окружности есть четвертая пропорциональная длины дуги, радиуса и хорды.

222. Круговой сектор.

Сектор, заключенный между дугой окружности и двумя радиусами ОА и ОВ, может быть разложен промежуточными радиусами на бесконечно малые равные между собою секторы. Эти элементарные секторы можно рассматривать как бесконечно узкие треугольники; центр тяжести каждого из них, по предыдущему, лежит на радиусе, проведенном через середину элементарной дуги этого сектора, на расстоянии двух третей длины радиуса от центра окружности. Равные между собою массы всех элементарных треугольников, сосредоточенные в их центрах тяжести, образуют однородную дугу окружности, радиус которой равен двум третям радиуса дуги сектора. Рассматриваемый случая приводится, таким образом, к отысканию центра тяжести этой однородной дуги, т. е. к задаче, решенной в предыдущем п°.

223. Тетраэдр.

Определим центр тяжести объема тетраэдра. Плоскость, проходящая через одно из ребер и через середину противоположного ребра, есть диаметральная плоскость, которая делит пополам хорды, параллельные этому последнему ребру: она содержит поэтому центр тяжести объема тетраэдра. Следовательно, шесть плоскостей, тетраэдра, из которых каждая проходит через одно из ребер и через середину противоположного ребра, пересекаются в одной точке, представляющей собой центр тяжести объема тетраэдра.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (фиг. 37); соединим вершину А с центром тяжести I основания BCD; прямая AI есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих

через ребра АВ и поэтому она содержит искомый центр тяжести. Точка находится на расстоянии двух третей медианы ВН от вершины В. Точно так же возьмем на медиане АН точку К на расстоянии двух третей ее длины от вершины . Прямая В К пересечет прямую А в центре тяжести тетраэдра. Проведем из подобия треугольников АВН и ЮН видно, что IK есть третья часть АВ) далее, из подобия треугольников и ВГА заключаем, что есть третья часть .

Следовательно, центр тяжести объема тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем любую вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.

Заметим еще, что прямая, соединяющая середины Я и L двух противоположных ребер (фиг. 38) есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих через эти ребра, она также проходит через центр тяжести тетраэдра. Таким образом, три прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в его центре тяжести.

Пусть Н и — середины одной пары противоположных ребер (фиг. 38) и М, N — середины двух других противоположных ребер. Фигура HNLM есть параллелограм, стороны которого соответственно параллельны остальным

двум ребрам. Прямые HL и MN, соединяющие середины двух противоположных ребер, суть диагонали этого параллелограма, а значит, они в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, центр тяжести тетраэдра лежит в середине отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер тетраэдра.

224. Пирамида с многоугольным основанием.

Центр тяжести пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.

Чтобы доказать эту теорему, разложим пирамиду на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и через диагонали основания ABCD (например BD на фиг. 39).

Проведем плоскость пересекающую ребра на расстоянии трех четвертей их длины от вершины. Эта плоскость содержит центры тяжести тетраэдров, а следовательно, и пирамиды. Массы тетраэдров, которые мы предполагаем сосредоточенными в их центрах тяжести, пропорциональны их объемам, следовательно и площадям из оснований (фиг. 39) или также площадям треугольников bad, bed. подобных предыдущим и расположенным в секущей плоскости abcd. Таким образом, искомый центр тяжести совпадает с центром тяжести многоугольника abcd. Последний же лежит на прямой, соединяющей вершину S пирамиды с центром тяжести (подобно расположенным) многоугольника основания.

225. Призма. Цилиндр. Конус.

На основании симметрии, центры тяжести призмы и цилиндра лежат на середине отрезка, соединяющего центры тяжести оснований.

Рассматривая конус, как предел вписанной в него пирамиды с той же вершиной, убеждаемся, что центр тяжести конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести основания, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины. Можно также сказать, что центр тяжести конуса совпадает с центром тяжести сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проведенной на расстоянии одной четверти высоты конуса от основания.

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Четырехугольник

Видео:Координаты центра тяжести пластиныСкачать

Мнемоника

для запоминания условий, для того чтобы можно было вписать или описать окружность в четырехугольнике, у меня в опорном конспекте (и отложилось, фактически само по себе, в голове): две картинки: дорожный знак «кирпич», на котором написано 180. И вторая картинка, это инопланетянин в квадратном шлеме с плюсами вместо ушей. Ну и чем более абсурдный образ, тем лучше. Я никогда не перепутаю эти условия потому что, например, знак «кирпич» — окружность снаружи, а надпись 180 – означает суму противоположных углов.

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Окружность вписанная в четырехугольник

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

Почему нельзя вписать окружность?

в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Треугольник всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например, длинный прямоугольник. Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

Задача

Видео:Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать

Окружность, описанная около четырехугольника

Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна ∠ϕ+∠γ=180∘.

И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна ∠ϕ+∠γ=180∘, то около него можно описать окружность.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Около выпуклого четырехугольника описана окружность ⇔ ∠α=∠β.

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

где a, b, c, d – его стороны, p — полупериметр

Задача 1

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Задача 2

Стороны AB, BC, CD, AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно 95 ∘ ,49 ∘ ,71 ∘ ,145 ∘ . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол B четырехугольника равен вписанному углу ABC. Этот угол опирается на дугу ADC, равную 145 ∘ +71 ∘ =216 ∘ . Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то ∠B=∠ABC=108 ∘ .

Задача 3

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB,BC,CD,DA, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Так как дуги AB,BC,CD,DA относятся как 4:2:3:6, то можно принять дугу AB за 4x, дугу BC за 2x, дугу CD за 3x и дугу DA за 6x. Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна 360∘, то 4x+2x+3x+6x=360∘, откуда x=24∘. Угол A равен вписанному углу BAD, опирающемуся на дугу BCD, равную 2x+3x=5x=120∘. Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то ∠A=60∘.

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Центр тяжести

Центр тяжести системы материальных точек — обозначим через $m_k$ — массы точек, $x_k, y_k, z_k$ — координаты точек.

К каждой из точек приложен вектор величины $m_k$, все векторы параллельны и направлены в одну сторону.

Центр этих векторов есть точка с координатами $$M_x = sum m_k x_k, M_y = sum m_k y_k, M_z = sum m_k z_k$$

Если все точки имеют одинаковую массу, то $M = sum m_k$ — масса всей системы, тогда

$$M_x = M sum x_k, M_y = M sum y_k, M_z = M sum z_k$$

В математике и физике барицентр или геометрический центр области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры.

Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

Центр масс (и центр тяжести в постоянном гравитационном поле) является средним арифметическим всех точек с учётом локальной плотности или удельного веса. Если физический объект имеет постоянную плотность, то его центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца или миски, например, лежат вне фигуры.

Барицентр объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии. Барицентры многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, окружность, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид, и т.д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников.

Распределительное свойство центров тяжести

Если разделить систему материальных точек S на дне части S’ и S«, то ее центр тяжести есть в то же время центр тяжести двух масс М’ и М» систем S’ и S«, помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.

Центр тяжести четырехугольника

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, используя распределительное свойство центров тяжести.

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Это первая искомая прямая.

Вторая искомая прямая получается аналогичным образом — разбивая четырехугольник на треугольники второй диагональю.

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины.

Метод отвеса

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как на рисунке ниже, можно найти экспериментально с использованием отвеса и булавки. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке. Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр.

Метод балансировки

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

С помощью геометрического разложения

Барицентр плоской фигуры можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур.

Рассмотрим пример. Фигуру на рисунке легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком площади и круглое отверстие с отрицательным знаком площади.

Квадрат — пересечение диагоналей $(5, 5)$. Площадь 100.

Прямоугольный треугольник — отложить по трети катета от вершины прямого угла $(10+10/3,10/3) = (13.33; 3.33)$. Площадь 50.

Окружность — центр $(2.5; 12.5)$. Площадь $6.25pi = 19.63$

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только вместо площадей берут объёмы частей тела.

Центр тяжести объекта в форме буквы L

Делим на два прямоугольника, находим центры каждого из них как пересечение диагоналей, соединяем. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.

Делим фигуру на два прямоугольника другим способом. Находим барицентры этих двух прямоугольников. Проводим отрезок, соединяющий центры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке CD.

Барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O не обязана лежать внутри фигуры.

Барицентр

это цетр масс двух и более тел, которые вращаются друг около друга.

Чем массивнее одно из двух тел, тем ближе к нему барицентр. Для системы Луна-Земля барицентр расположен примерно на расстоянии 4 671 км от центра Земли, радиус планеты 6 378 км.

Барицентрическая система отсчета

International Celestial Reference System (ICRS, Международная небесная система координат или Международная система астрономических координат) — с 1998 года стандартная небесная система координат.

Началом отсчёта является барицентр Солнечной системы. Координаты в этой системе максимально приближены к экваториальным эпохи J2000.0 (расхождение составляет доли секунды дуги)

Оси системы зафиксированы в пространстве относительно квазаров, которые считаются наиболее удалёнными объектами наблюдаемой Вселенной. Их предполагаемое собственное движение настолько мало, что им можно пренебречь. Внедрение системы обусловлено необходимостью повышения точности астрономических измерений до 0,05″.

Полученная система координат независима от вращения Земли.

Барицентрические координаты

Пусть дан треугольник ABC. Тогда любую точку P в плоскости треугольника можно представить как центр некоторых масс α, β, γ, помещенных в его вершины A, B, C.

Тройка чисел (α, β, γ) называется барицентрическими координатами точки P относительно треугольника.

Барицентрические координаты точки определены с точностью до ненулевого множителя: все тройки (kα, kβ, kγ) при любом k ≠ 0 задают одну и ту же точку P. Любые три числа с ненулевой суммой являются барицентрическими координатами некоторой точки. Иногда барицентрическими координатами называют ту из пропорциональных троек, у которой сумма чисел равна единице. Соответствие между такими тройками и точками плоскости взаимно-однозначно.

Если точка P лежит внутри треугольника ABC, то ее барицентрические координаты пропорциональны площадям треугольников PAB, PBC и PCA. Для точек вне треугольника это тоже верно, только нужно брать ориентированные площади.

Случай двух тел

Два тела взаимодействуют только друг с другом. Тела вращаются поэллиптической орбите пример двойные звезды.

📺 Видео

Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)Скачать

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Определение центра тяжестиСкачать

Центры тяжести прямоугольных треугольниковСкачать

Практическая №5 Определение центра тяжести сложной фигурыСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Как найти координаты центра масс? #shorts #математикаСкачать

Центр тяжести фигуры. Способ 1Скачать

Координаты центра тяжести. ЗадачаСкачать

Найдите центр тяжестиСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать