Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Примеры
Пример 1. Проверим, лежат ли точки A (1, −1, 1) , B (2, 2, 3) , C (3, 1, 3) и D (0, 0, 1) в одной плоскости.
Решение. Вычисляем смешанное произведение векторов A B = , A C = и A D = :
( A B , A C , A D ) =
1
3
2
2
2
2
−1
1
0
= 1 · ( −2) − 3 · 2 + 2 · 4 = 0 .
Так как смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны и, следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Пример 2. Даны вершины тетраэдра A (2, 3, 1) , B (4, 1, −2) , C (6, 3, 7) и D ( −5, −4, 8) . Найдем длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость основания A B C (рис. 1).
Решение. Из вершины A проводим векторы A B = , A C = и A D = .
В соответствии с геометрическим смыслом смешанногопроизведения имеем:
V тетр. =
1
6
· V параллелеп =
1
6
| ( A B , A C , A D ) | .
С другой стороны,
V тетр. =
1
3
S ΔABC · h ,   где   S ΔABC =
1
2
| [ A B , A C ] | .
Сравнивая эти равенства, получаем
h =
3 V тетр
S ΔABC
.
1. Вычисляем смешанное произведение:
( A B , A C , A D ) =
2
−2
−3
4
0
6
−7
−7
7
= 2 · 42 + 2 · 70 + ( −3) · ( −28) = 308 .
Следовательно, V тетр. = 308/6 .
2. Вычисляем координаты векторного произведения:
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Как найти длину высоты тетраэдра по векторам
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.
Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word
Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж. Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 – x1; Y = y2 – y1; Z = z2 – z1 Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0). AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) . Длину вектора находим по формуле:
Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:
объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.
A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)
Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать