Найти центр окружности по трем точкам дуги (8 видео)

Координаты центра окружности по трем точкам

Обычно эта задача решается через уравнения круга, но для программирования нужно аналитическое решение (в виде формулы).

Если решать систему уравнений, пытаясь выразить все неизвестные величины через 6 координат известных точек, то можно получить выражения для Xo, Yo и R.

Но вид этих выражений и их последующая реализация в виде программного кода — мягко говоря — не вдохновляют начинать эту работу.

К счастью, есть алгебраический метод, сводящийся к ряду несложных поэтапных расчетов, которые позволяют вычислить искомые неизвестные.

Ниже прилагаю реализацию этого подхода в виде функции на javascript.

Содержание

Уравнение окружности по трем точкам
Уравнение окружности
Пример
Решение :
Шаг :2
Шаг :3
Шаг :4
Шаг :5
Алгоритм поиска дуги, ее центра, радиуса и углов, заданных 3 точками
6 ответов
💥 Видео

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Уравнение окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2

h,k — координаты центра Окружности
x,y — координаты точки окружности
r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Подставляем координаты точек в формулу

(2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
(2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
(5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2

Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

(2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
8 — 4k = 20 — 8k
k= 3

Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

(2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
r 2 = 5
r = 2.24

Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h) 2 + (y — k) 2

Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2

Видео:Как найти центр окружности по трём точкамСкачать

Алгоритм поиска дуги, ее центра, радиуса и углов, заданных 3 точками

даны 3 точки A, B и C

Как я могу найти и дугу, которая начинается на A, заканчивается на C и проходит через B; координаты ее центра, радиус и углы для r и r’ ?

Видео:Математика. Центр окружности по трем точкамСкачать

6 ответов

есть несколько способов сделать это. Вот один алгоритм:

получить ваши координаты

вычислить средние точки линий AB и BC

найти наклоны линий AB и До н. э.

построить линии, проходящие через средние точки, перпендикулярные AB и BC (спасибо Ив для ловли отрицательный!)

*** линия с Slope_perp_AB проходит через mid_AB

*** линия с Slope_perp_BC проходит через mid_BC

установите два уравнения равными друг другу и решить, чтобы найти пересечение! Это дает вам точку d= .

вычисление радиуса и углов теперь тривиально с центральной точкой d!

центр круга равноудален от трех заданных точек:

вычитая первый член из второго и третьего, получаем после перегруппировки:

эту линейную систему из двух уравнений в двух неизвестных легко решить с помощью правила Крамера.

радиус и углы можно найти, используя декартово-полярное преобразование вокруг центра:

но вы все еще пропускаете одну вещь: что такое соответствующая часть дуги ? Меньше или больше половины оборота ? От Ta to Tb или Tb до 2 Pi to Ta + 2 Pi , или что ? Ответ гораздо менее очевиден ,чем кажется, попробуйте (потому что три угла Ta , Tb и Tc несколько undeterminate кратного 2 Pi и вы не можете сортировать их) !

подсказка: рассмотрим знак площади треугольника ABC, точно половину определителя системы. Он скажет вам, если B лежит слева или право переменного тока.

найти перпендикуляр AB и BC.

найдите точку, в которой пересекаются эти линии.

точка, которую вы найдете, будет центром круга, который вы хотите.

вычислить расстояние от одной из трех точек от центра, который вы нашли на Шаге 2. Это будет радиус твоего круга.

Примечание точки A, B и C не должны будьте в одной линии. Вы должны проверить это, прежде чем выполнять шаги с 1 по 3.

решение этого почти идентично «кругу наилучшего соответствия для не-сверх-определенной системы». Так как у вас есть три точки, которые находятся точно на дуге бывшей окружностью с центром в (0,0) (дана) система может быть решена точно, а не требующие наименьших квадратов аппроксимация.

ссылки