Как найти div вектора

Как найти дивергенцию вектора
Содержание
  1. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
  2. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
  3. Пример №71.4.
  4. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
  5. В цилиндрических координатах или в сферических координатах
  6. Дивергенция в ортогональных координатах
  7. О понимании, вычислении и измерении дивергенции векторных полей физических величин
  8. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
  9. В цилиндрических координатах или в сферических координатах
  10. Дивергенция в ортогональных координатах
  11. Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения
  12. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению
  13. Производная по направлению
  14. Градиент скалярного поля
  15. Основные свойства градиента
  16. Инвариантное определение градиента
  17. Правила вычисления градиента
  18. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения
  19. Дифференциальные уравнения векторных линий
  20. Поток вектора через поверхность и его свойства
  21. Свойства потока вектора через поверхность
  22. Поток вектора через незамкнутую поверхность
  23. Метод проектирования на одну из координатных плоскостей
  24. Метод проектирования на все координатные плоскости
  25. Метод введения криволинейных координат на поверхности
  26. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
  27. Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля
  28. Правила вычисления дивергенции
  29. Трубчатое (соленоидальное) поле
  30. Свойства трубчатого поля
  31. Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса
  32. Ротор (вихрь) векторного поля
  33. Инвариантное определение ротора поля
  34. Физический смысл ротора поля
  35. Правила вычисления ротора
  36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
  37. Потенциальное поле
  38. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле
  39. Вычисление потенциала в декартовых координатах
  40. Оператор Гамильтона
  41. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа
  42. Понятие о криволинейных координатах
  43. Цилиндрические координаты
  44. Сферические координаты
  45. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
  46. Дифференциальные уравнения векторных линий
  47. Градиент в ортогональных координатах
  48. Ротор в ортогональных координатах
  49. Дивергенция в ортогональных координатах
  50. Вычисление потока в криволинейных координатах
  51. Вычисление потенциала в криволинейных координатах
  52. Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах
  53. Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Видео:#8 Ротор/Дивергенция/ГрадиентСкачать

#8 Ротор/Дивергенция/Градиент

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Как найти div вектора

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Как найти div вектора

в точке Как найти div вектораназывается скаляр вида Как найти div вектораи обозначается символом Как найти div вектора, т. е.

Как найти div вектора

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Как найти div вектора— постоянный вектор, то Как найти div вектора.
  2. Как найти div вектора, где Как найти div вектора.
  3. Как найти div вектора, т. e. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если Как найти div вектора— скалярная функция, Как найти div вектора— вектор, то

Как найти div вектора

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Как найти div вектора, то

Как найти div вектора

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского Гаусса

Как найти div вектора

в так называемой векторной форме.

Рассматривая область Как найти div вектора, ограниченную замкнутой поверхностью Как найти div вектора, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Как найти div векторачерез поверхность Как найти div вектора; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Как найти div вектора. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Как найти div вектора

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность Как найти div вектора(в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему Как найти div вектора, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Как найти div векторав точке Как найти div вектора(не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Как найти div вектора

где Как найти div вектора— некоторая (средняя) точка области Как найти div вектора. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Как найти div вектора. Отсюда

Как найти div вектора

Пусть поверхность Как найти div векторастягивается в точку. Тогда Как найти div вектора, и мы получаем выражение для Как найти div векторав точке Как найти div вектора:

Как найти div вектора

Дивергенцией векторного поля в точке Как найти div вектораназывается предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность Как найти div вектора, окружающую точку Как найти div вектора, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Как найти div вектора.

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают; что Как найти div вектораесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Как найти div вектораточка Как найти div векторапредставляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при Как найти div вектораточка Как найти div вектораесть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Как найти div векторахарактеризует мощность (интенсивность, платность) источника или стока в точке Как найти div вектора. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме Как найти div вектора, ограниченном замкнутой поверхностью Как найти div вектора, нет ни источников, ни стоков, то Как найти div вектора.

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Как найти div вектора, называется соленоидальным (или трубчатым).

Пример №71.4.

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Как найти div векторажидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Как найти div вектора.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Как найти div вектора. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Как найти div вектора. Имеем:

Как найти div вектора

Поле Как найти div вектора— соленоидальное.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Как найти div вектора

Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектораКак найти div вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Содержание:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Дифференциальные уравнения векторных линий Рассмотрим поле вектора Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q, q2i g3 имеют вид В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.2. Градиент в ортогональных координатах Пусть скалярное поле. Тогда Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.3. Ротор в ортогональных координатах Рассмотрим векгорное поле и вычислим rot а. Имеем В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.4. Дивергенция в ортогональных координатах Дивергенция div а векторного поля вычисляется по формуле.

В цилиндрических координатах или в сферических координатах

Применяя формулу (7) к единичным векторам получим Вычисление потока в криволинейных координатах Пусть S — часть координатной поверхности , ограниченная координатными линиями Тогда поток вектора через поверхность 5 в направлении вектора ei вычисляется по формуле Аналогично вычисляется поток через часть поверхности д2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const. Пример I.

Найти поток П векторного поля через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса R с центром в начале координат. Ч Полусфера S есть часть юординатной поверхности г = const, а именно г = R. На полусфере 5 имеем , причем Учитывая, что в сферических коорои патах по формуле (8) найдем 14.6. Вычисление потенциала в криволинейных координатах Пусть в некоторой области О задано потенциальное векторное поле в области Для нахождения потенциала ) этого векторного поля запишем равенство в следующем виде:

Отсюда следует, что Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал произвольная постоянная. В цилиндрических координатах система (9) принимает вид В сферических координатах система (9) имеет вид Пример 2. Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координа тех Убедимся, что По формуле (5) л о лучим данное поле потенциально.

Искомый потенциал и = и(р, у, г) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)): Интегрированием по р из первого уравнения находим Дифференцируя соотношение (11) no р и используя второе уравнение, получим или откуда . Таким образом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя это соотношение no z и используя тре тье уравнение, получим Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Пусть векторное поле определено и непрерывно в области Q изменения ортогональных криволинейных координат 4i, 42, 4з • Так как дифференциал радиус-вектора г любой точки M(qb 42, 43) G П выражается формулой то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L СП будет равен В частности, для цилиндрических координат ) будем иметь.

Отсюда по формуле (13) получим Аналогично для сферических координат будем иметь Отсюда по формуле (13) получим Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах.

Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а(М) в криволинейных координатах 4,, q2, 43 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно. Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах по замкнутой кривой L, Координаты данного вектора равны соответственно Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Подставляя координаты данного вектора в формулу.(14), получим На кривой L имеем . Искомая циркуляция будет равна 14.8. Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если скалярная функция, то Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа Д получим следующее выражение В цилиндрических координатах получим В сферических координатах будем иметь Пример 4. Найти все решения уравнения Лапласа Аи = 0, зависящие только от расстояния г.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т., то уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах будет иметь вид Отсюда так что где постоянные. Упражнения Найдите производную скалярного поля в точке по направлению кточке Найдите производную скалярного поля и(х, у, z) в точке Л#о(хо, Уо» *о) по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси О г: 6.

Найдите производную скалярного поля в точке эллипса + = 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. 7. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению окружности 8. Найдигеугол между градиентами функции и = arctg | в точках 9. Найдите производную плоского поля и вточке понаправле-нию, задаваемому вектором, лежащим в плоскости хОу и наклоненным под углом | коси Ох. Найдите векторные линии следующих векторных полей: 13.

Найдите векторную линию поля а , проходящую

через точку 14. Найдите векгорную линию поля а, проходящую через точку М(3,4, -1). 15. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом х2 4- у2 = г2 из плоскости 16. Вычислите поток векторного поля к через треугольник ABC с вершинами в точках (нормаль образует с осью Oz острый угол). 17. Вычислите поток векторного поля а = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями z 18.

Вычислите поток векторного поля а = yzi — xj — yk через полную поверхность конуса х2 + у2 = z2, ограниченную плоскостью z Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток заданного векгора а через заданную поверхность S: 19. — внешняя сторона цилиндрической поверхности х2 + у2 = 9, ограниченной сферой Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах.

Дивергенция в ортогональных координатах

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах 20. — внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью Вычислите поток векгорного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса—Остроградского:

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые поверхности до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса—Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль): Найдите работу силы F при перемещении вдольлинии L от точки М к точке N: Найдите циркуляцию векторного поля а вдоль замкнутого контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Вычислите циркуляцию векторного поля а по замкнутому контуру L.

Проверьте результат при помощи формулы Стокса: — линия пересечения плоскости с координатными плоскостями 38. Найдите дивергенцию векторного пол я а = (с, г), где с — постоянный вектор, . 39. При какой функции ip(z) дивергенция векгорного поля а =)k будет равна z? 40. Найдите , где г = 41. Найдите функцию tf>(r), для которой выполняется равенство 42. Какова должна быть функция /(х, z), чтобы ротор векгорного поля совпал с вектором Найдите ротор следующих векторов: Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы: Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как найти div вектораКак найти div вектора

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:ДивергенцияСкачать

Дивергенция

О понимании, вычислении и измерении дивергенции векторных полей физических величин

А. С. Чуев.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана» Национальный исследовательский университет техники и технологий (МГТУ им. Н. Э. Баумана),

Россия, Москва, e-mail: chuev@mail.ru

В математической теории поля и полевой физике широко распространено представление о дивергенции (расходимости) векторных полей с нулевым значением вне истоков и стоков поля и практически неопределяемым значением внутри последних. Однако это представление не соответствует очевидно наблюдаемому факту пространственной расходимости и сходимости физических векторных полей. Проблема описания и вычисления дивергенции любого физического поля, точнее сказать, скалярного поля дивергенции векторного поля, соответствующего своему понятию — реально наблюдаемой пространственной расходимости и сходимости силовых линий поля, а также возможность экспериментального измерения этого параметра обсуждается в данной статье. Предложены варианты вычисления и измерения дивергенции статических электрических и магнитных полей.

Ключевые слова: физические поля, дивергенция, теория поля, электрическое поле, магнитное поле, намагниченность.

The mathematical theory of fields and field physics is widespread understanding of divergence vector fields with zero out the source and drain of the field and almost undetectable levels in the past. However, this contrasts with a clearly observable facts spatial divergence and convergence of the physical vector fields. The problem of describing and calculating the divergence of any physical field, more precisely, the scalar field divergence vector field corresponding to its concept — actually observed spatial divergence and convergence of the field lines, and the possibility of experimental measurement of this parameter is discussed in this article. The variants of calculations and measurements of the divergence of static electric and magnetic fields.

Key words: physical fields, divergence, field theory, the electric field, magnetic field, the magnetization.

Истина бытия — это сущность, истина сущности есть понятие.
Гегель

Понятие «дивергенция» переводится на русский язык как расходимость (можно к этому отнести и сходимость) линий векторного поля. Логически это понятно, в пространственно расходящемся или сходящемся векторном потоке обязательно есть изменение плотности линий поля, что возможно (при сохраняющейся величине потока) только за счет изменения модуля вектора, посему дивергенция (расходимость) неотделима от изменений модуля вектора. В однородном векторном поле дивергенция, согласно своему понятию, должна быть равна нулю.

Несмотря на сказанное, в математической теории поля и полевой физике дивергенция считается, чаще всего, ненулевой только в истоках и стоках поля, при этом числовое значение дивергенции в них, как правило, неопределимо по причине неопределенности их размеров. Например, для центральных полей типа электрического и гравитационного дивергенция считается равной нулю всюду кроме истоков и стоков. Если же брать в качестве примера магнитное поле, то равенство нулю дивергенции вектора магнитной индукции В принято безусловным и возведено в закон (четвертое уравнение Максвелла).

Реже встречается определение дивергенции — как объемной плотности потока векторного поля в той или иной точке поля. Такое определение более подходяще к явлению расходимости, хотя ненулевое значение дивергенции в этом случае приходится приписывать и однородным (не расходящимся) векторным полям. Далее рассматриваются варианты адекватного представления дивергенции векторных полей с возможностью ее теоретического вычисления и практического измерения.

Хорошо известны изображения пространственно неоднородных полей в виде расходящихся и сходящихся силовых линий полей центрального типа (рис.1) и соленоидального поля стержневого магнита (рис.2). Силовые линии поля строятся по касательным, определяющим направление силы в любой точке пространства, окружающего электрический заряд или магнит.

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Густота линий поля определяет числовое значение полевого вектора в любой точке поля. Сам вектор касателен к линии поля, проходящей через данную точку, а его направление определяется действующим соглашением о положительной направленности.

Пространственная расходимость и сходимость линий поля, создаваемых электрическими зарядами очевидна, потому как густота линий убывает при отдалении от центра, указывая на ослабление поля при отдалении от источника или стока поля. Однако в математической теории поля и в большинстве физических толкований 3 дивергенция векторных полей центрального типа (рис. 1) всюду вне источника и стока считается равной нулю.

Приводимая на рис. 2 картина силовых линий магнитного поля тоже наглядно иллюстрирует, что данное поле неоднородно. Густота силовых линий магнитного поля, определяющих величину и направление силового вектора В, вблизи торцов магнита самая большая, а в отдалении от торцов магнита становится значительно меньше. На бесконечно большом удалении от магнита значение магнитной индукции будет нулевым. Однако в соответствии с четвертым уравнением Максвелла дивергенция вектора магнитной индукции В принимается всюду равной нулю. Считается также, что источников и стоков у магнитного поля нет, а линии поля замкнуты сами на себя.

Очевидное несоответствие господствующих представлений о дивергенции электрического и магнитного полей — самому понятию (расходимость) связано, скорее всего, с гидродинамической аналогией, а также с математическим описанием центральных полей в сферической системе координат.

Приведем несколько примеров из учебников с имеющейся там трактовкой понятия дивергенции. Возьмем классический учебник И. Е. Тамма «Основы теории электричества» [1, стр.586]. Тамм пишет: «Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости v имеет непосредственное физическое значение. Действительно, в каждой точке жидкости

Как найти div вектора

равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема dV, окружающего рассматриваемую точку».

Другой источник [2, стр.24], описывая дивергенцию статического электрического поля, излагает так: «В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в этой точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря,и к пространственным производным ∂Ех/∂х, ∂Еу/∂у, ∂Ez/∂z. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю».

В последней фразе чувствуются сильные нотки сомнения в правильности излагаемого, но они прикрыты ссылкой на авторитет теоремы Гаусса. Действительно, трудно объяснить положение, согласно которому производные по координатам есть, но их сумма всегда равна нулю. Это явно не соответствует элементарной логике. Ведь координатные проекции изменяющегося вектора вполне могут быть одного знака, а изменение вектора может быть и вовсе только по одной координате.

В источнике [3] приводятся иллюстрации, изображенные на рис. 3, среди которых есть одна, позволяющая трактовать дивергенцию согласно ее понятию — как расходимость или сходимость потока векторного поля. Выделенная область на рис. 36 не содержит источников и стоков, однако дивергенция поля в этой области не равна нулю и это правильно. Согласно своему понятию дивергенция должна быть ненулевой в любой точке неоднородного поля, то есть в любой точке поля, где наблюдается изменение плотности линий векторного поля, выражаемое в пространственной расходимости или сходимости векторов. Ненулевую дивергенцию для стока векторного поля иллюстрирует рис. Зе, но как уже отмечалось, определить в этом случае конкретное значение дивергенции без знания границ стока не представляется возможным.

Как найти div вектора

Математически дивергенция выражается не только формулой (1), но и как функция пространственной производной вектора, обозначаемая оператором набла [4, стр. 3581]:

Как найти div вектора

Формула (2) выражает дивергенцию, как изменение модуля вектора, то есть изменение вектора в своем собственном направлении. Данное выражение верно в декартовой системе координат. При любых изменениях модуля вектора А значение пространственной производной согласно формуле (2) будет отличным от нуля. При неизменности модуля вектора А формула (2) дает нулевой результат. Математически это основано на свойстве вектора — сохранять свое значение по модулю при любых поворотных изменениях системы координат, что общеизвестно.

Таким образом, формула (2) выражает не совсем привычное на первый взгляд, но истинное представление, соответствующее своему понятию-дивергенции векторного поля, как скорости изменения вектора в любой точке поля в своем собственном направлении, то есть по модулю.

Подтверждение такому (или примерно такому) пониманию дивергенции можно обнаружить в других источниках. В учебнике по математике [4, стр.359] встречается такая фраза: «. всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своей расходимости». Другой источник [5, стр.402]: «Дивергенция div a векторного поля а в точке М есть скаляр (действительное число). Рассматривая дивергенцию в каждой точке области определения векторного поля а, мы получаем скалярное поле div а».

Именно так и следует понимать, дивергенция — это скалярное поле значений расходимости, а не одно (и, как правило, неопределимое) значение, приписываемое лишь стокам и истокам векторного поля.

Понимание ошибочности привязки понятия дивергенции лишь к истокам и стокам векторного поля в физике зреет уже давно. Осознание этого уже появилось в гидродинамике [6]. По мнению автора не за горами признание аналогичного положения и в других областях физики, в частности в электростатике и магнитостатике.

Попытку вывести понятие дивергенции из «прокрустова ложа» истоков и стоков можно обнаружить в источнике [7, стр.171]. Там приводится такая формула:
Как найти div вектора

где: V1 — область, содержащая точку (r), S1 замкнутая поверхность, ограничивающая область V1, δ- наибольшее расстояние от точки (r) до точек поверхности S1.

В формуле (4) нет устремления объема в точку, а анализируются внешняя поверхность и объем, которым принадлежит рассматриваемая точка поля. При правильной интерпретации этой формулы и применительно к векторным полям центрального типа она дает достаточно верный результат оценки величины дивергенции векторного поля.

В источнике [8] для дивергенции приводится еще одна отличная от выражения (1) Формула:
Как найти div вектора

где: ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V: (Примеч. автора — почему сферическую, а не просто замкнутую площадь не очень понятно).

Здесь дивергенция определяется как объемная плотность потока векторной величины в той или иной точке пространства векторного поля. Считается [8], что такое определение дивергенции применимо не только к декартовым системам координат. В чем-то аналогичный подход обнаруживается и в работе [9, стр.22]: «. дивергенция векторного поля а (М) является объемной плотностью потока векторного поля а (М) в данной точке М».

Однако, если векторное поле однородное, то объемная плотность потока векторного поля будет иметь одно определенное для всех точек поля значение, а расходимости (надо понимать, дивергенции) линий поля не будет. Налицо противоречие. В наглядных примерах по рис.1 и рис.2 видно, что дивергенция (расходимость) электрических и магнитных силовых линий определяется неоднородностью поля, которое связано с изменением модуля вектора, такое значение определяется плотностью потока линий поля, зависящей от пространственного удаления рассматриваемой точки от источника или стока поля. В однородном векторном поле дивергенции (расходимости) нет и быть не может.

По мнению автора, дивергенция, по сути своей, должна быть не плотностью потока векторного поля, что присуще и однородным векторным полям, а скоростью пространственного изменения плотности потока вектора в той или иной точке поля, которое по идее должно совпадать с пространственной производной вектора по формуле (2). Математически это можно выразить так:
Как найти div вектора

где Как найти div вектораизменение плотности потока векторной величины tв рассматриваемой точке поля(объеме Vпредельно малого размера); fF-единичный вектор, касательный к направлению линии поля в данной точке поля и совпадающий с направлением вектора F.

Почти полное соответствие отстаиваемому здесь пониманию дивергенции обнаруживается в источнике [10, стр. 206]: «Дивергенцию векторной функции . еще называют расходимостью. Она определяет скорость изменения каждой компоненты вектора в своем «собственном» направлении». Но если есть изменение «каждой компоненты вектора в своем собственном направлении», то не замечать или отрицать результирующее изменение самого вектора в своем собственном направлении — просто нелепо.

Для сравнения приведем в табличном формате различные варианты определения и понимания (толкования) дивергенции, в том числе отстаиваемые автором в настоящей работе (см. таблицу 1).

Как найти div вектора

Приведем расчетные оценки дивергенции для различных вариантов ее определения по таблице 1, применительно к вектору D электростатического поля в точке М, находящейся на расстоянии г от центрального заряда q0.

А. Общепринятое значение дивергенции вне истоков и стоков поля равно нулю (div D = 0).

Б. Значение, вычисленное из условия равномерной объемной плотности заряда, приходящегося на весь рассматриваемый сферический объем, что можно понимать как своеобразное (грубое) определение дивергенции для полей центрального типа, составляет:

Как найти div вектора

В. Авторские варианты определения дивергенции по вариантам 1 и 2 по модулю должны быть эквивалентны. Значение дивергенции по варианту 1:
Как найти div вектора

По варианту 2, если принимать дивергенцию у расходящихся полей положительной:
Как найти div вектора

Ввиду общепринятого представления о дивергенции магнитного поля -как повсеместно равной нулю, а также из-за соленоидальной формы этого поля, задача расчета дивергенции магнитного поля, кажется, вообще не ставилась. Практические расчеты магнитных цепей обычно исходят из условия сохранения в магнито-проводе и примыкающем к полюсам магнита пространстве магнитного потока 0=B’S. Однако, тема естественного (при этом условии) изменения числового значения индукции магнитного поля В, обусловливаемого увеличением вне магнита площади потока S, как правило, не затрагивается.

В расчетах магнитных цепей обычно дополнительно используют еще одну физическую величину напряженность магнитного поля Н, хотя в действительности она применима лишь к токовым источникам магнитного поля, а не к источникам поля в виде постоянных магнитов. Этот вопрос более подробно рассмотрен в авторской работе [11].

Расчетное определение дивергенции магнитного поля, создаваемого стержневым магнитом типа, изображенного на рис. 2, возможно двумя путями. В первом варианте следует принимать неизменным поток магнитной индукции 0=B‘S, выходящий из торца магнита и расходящийся в окружающем пространстве. Тогда изменение модуля магнитной индукции будет обратно пропорционально увеличению площади потока. Изменение площади потока вне постоянных магнитов можно определить известным эмпирическим методом с использованием железных опилок.

Второй вариант расчета основан на принятии неизменным модуля суммарного магнитного дипольного момента, создаваемого молекулами и атомами магнита. В этом случае дивергенцию рассчитывают как уменьшение модуля векторов магнитной индукции и намагниченности в окружающем магнит пространстве, исходя из условия увеличения объема пространства, приходящегося на суммарный магнитный дипольный момент тела магнита. В расчетах магнитных систем с малыми воздушными зазорами этот вариант расчета (из приведенных двух) будет единственно возможным и он дает верный результат. Близкий к этому подход, правда, с энергетических позиций и с некорректным, по мнению автора, использованием напряженности магнитного поля Н, описан в работе [12, стр.457].

Теперь рассмотрим возможность опытного измерения дивергенции, что должно поставить завершающую точку в теоретических разногласиях математиков и физиков об этом параметре.
Для статического электрического поля проблема опытного измерения дивергенции решается достаточно просто. Измеряем напряженность поля в двух точках, лежащих на линии поля в окрестности точки, в которой определяется дивергенция. Разницу полученных измерений делим на расстояние между точками измерений, это и будет средним значением дивергенции вектора Е для искомой точки поля. Дивергенция «материального» [12] вектора D, который чуть выше фигурировал в расчетах, определяется по этим измерениям с учетом электрической постоянной £0 и относительной диэлектрической проницаемости среды.

Для статического магнитного поля практическое измерение дивергенции выполняется подобным же образом, правда определять линии поля здесь несколько сложнее, потому как оно не центральное. Кроме того, следует учитывать, что измеряя значение полевого параметра магнитной индукции В, мы фактически измеряем намагниченность вакуума ]0. В работах [13,14] показано, что вектор В относится к чисто полевым (по мнению автора, фантомным) величинам, которые модельного (материального) представления не имеют, хотя вроде бы на практике и измеримы. На самом деле измерение магнитной индукции В сводится к измерению разности электрических потенциалов (в датчиках Холла) или электродвижущей силы, образуемой при изменении (во времени) магнитного потока Ф, который выражаем и через другие магнитные величины. Покажем это в формулах.

Вне магнита индукция В связана с намагниченностью среды соотношением
Как найти div вектора

В воздухе μ=1, поэтому максимальная величина магнитного потока определяется произведением площади S измерительной рамки на магнитную постоянную μ0 и на вектор намагниченности вакуума J0 который не вполне оправданно (при отсутствии токов проводимости) считают вектором напряженности магнитного поля Н. Алгебраическое соотношение названных величин имеет вид:

Как найти div вектора

При фиксированной величине площади S измерительной рамки и ее ориентации перпендикулярно измеряемому полю пространственные изменения магнитного потока будут соответствовать соответствующим изменениям намагниченности окружающего магнит пространства. По этим измерениям можно определить дивергенцию векторов В и Jo в интересующей нас точке поля.

ВЫВОДЫ

1. Математические и физические представления дивергенции с приписыванием ей нулевого значения вне истоков и стоков поля малопродуктивны и не соответствуют реальности. Реальная дивергенция — это опытно измеряемая и теоретически вычисляемая расходимость (или сходимость) силовых линий электрического, магнитного или гравитационного полей. Любое векторное поле, неоднородное в трехмерном евклидовом пространстве, обязательно характеризуется наличием своего скалярного поля дивергенции с вычисляемым или измеряемым значением дивергенции в каждой точке поля.

2. Для полей центрального типа дивергенцию в каждой точке поля можно грубо вычислять как объемную плотность источника поля (заряда или массы) в сферическом объеме, на поверхности которого расположена рассматриваемая точка. Более точно дивергенция вычисляется как пространственное изменение плотности потока векторного поля. В такой форме дивергенция вычислима для полей любого типа и формы.

3. Наиболее простое и точное представление дивергенции в любой точке векторного поля -это скорость пространственного изменения вектора в своем собственном направлении, то есть пространственное изменение модуля вектора.

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Учеб. Пособие для вузов,- 11-е изд., испр. и доп.- М.: Физматлит-2003.- 616 с.

2. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы. Изд. 4-е испр- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний- 2003 — 320 с.

3. Парселл Э. Электричество и магнетизм: Учебное руководство; Пер с англ./Под ред. А. Н. Школьникова и А. О. Вайсберга- 3-е изд., испр-М.: Наука-1983- (Берклеевский курс физики).- 410 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том2. Изд. 19испр-М.: Наука — 1965.

5. Гаврилова В. Р., Иванова Е.Е., Морозова В. Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля,- М.: Изд-во МГТУим. Н. Э. Баумана. -2003- 496 с.

6. Волков П. К. О природе движения жидкости. /Вестник Югорского государственного университета-2011.- Выпуск 2 (21).- С. 8-28.

7. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Корн Г., Корн Т.- М.: НАУКА,- 1973,- 832 с.

8. Дивергенция. URL: http://ru.math.wikia.com/wiki/Дивергенция (дата обращения — 10.11.2012).

9. Болсун А. И., Гронский В. К., БейдаА.А. Методы математической физики: Учеб. пособие-Минск.: Высш. Школа — 1988 — 199 с.

10. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. А. Н. Тихонова- М.: Изд. МГУ.- 1987.- 358 с.

11. Чуев А. С. Магнитное поле — какие векторы первичны и что мы измеряем? //Законодательная и прикладная метрология- 2012-№6,-С. 45-48.

12. Боровик Е. С., Еременко В. В., Мильнер А. С. Лекции по магнетизму- 3-е изд. перераб. и доп.-М.: ФИЗМАТЛИТ,- 2005.- 512 с.

13. Чуев А. С. Системный подход в физическом образовании инженеров. //Наука и образование. -2012- №2,- URL: http://technomag.edu.ru/doc/299700. html (дата обращения: 2.02.2012).

14. Чуев А. С. Полевые электромагнитные величины — фантом или реальность?//Законодательная и прикладная метрология- 2012-№3,- С. 71-75.

Видео:Единичный векторСкачать

Единичный вектор

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Содержание:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Дифференциальные уравнения векторных линий Рассмотрим поле вектора Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q, q2i g3 имеют вид В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.2. Градиент в ортогональных координатах Пусть скалярное поле. Тогда Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.3. Ротор в ортогональных координатах Рассмотрим векгорное поле и вычислим rot а. Имеем В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.4. Дивергенция в ортогональных координатах Дивергенция div а векторного поля вычисляется по формуле.

В цилиндрических координатах или в сферических координатах

Применяя формулу (7) к единичным векторам получим Вычисление потока в криволинейных координатах Пусть S — часть координатной поверхности , ограниченная координатными линиями Тогда поток вектора через поверхность 5 в направлении вектора ei вычисляется по формуле Аналогично вычисляется поток через часть поверхности д2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const. Пример I.

Найти поток П векторного поля через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса R с центром в начале координат. Ч Полусфера S есть часть юординатной поверхности г = const, а именно г = R. На полусфере 5 имеем , причем Учитывая, что в сферических коорои патах по формуле (8) найдем 14.6. Вычисление потенциала в криволинейных координатах Пусть в некоторой области О задано потенциальное векторное поле в области Для нахождения потенциала ) этого векторного поля запишем равенство в следующем виде:

Отсюда следует, что Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал произвольная постоянная. В цилиндрических координатах система (9) принимает вид В сферических координатах система (9) имеет вид Пример 2. Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координа тех Убедимся, что По формуле (5) л о лучим данное поле потенциально.

Искомый потенциал и = и(р, у, г) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)): Интегрированием по р из первого уравнения находим Дифференцируя соотношение (11) no р и используя второе уравнение, получим или откуда . Таким образом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя это соотношение no z и используя тре тье уравнение, получим Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Пусть векторное поле определено и непрерывно в области Q изменения ортогональных криволинейных координат 4i, 42, 4з • Так как дифференциал радиус-вектора г любой точки M(qb 42, 43) G П выражается формулой то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L СП будет равен В частности, для цилиндрических координат ) будем иметь.

Отсюда по формуле (13) получим Аналогично для сферических координат будем иметь Отсюда по формуле (13) получим Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах.

Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а(М) в криволинейных координатах 4,, q2, 43 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно. Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах по замкнутой кривой L, Координаты данного вектора равны соответственно Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Подставляя координаты данного вектора в формулу.(14), получим На кривой L имеем . Искомая циркуляция будет равна 14.8. Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если скалярная функция, то Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа Д получим следующее выражение В цилиндрических координатах получим В сферических координатах будем иметь Пример 4. Найти все решения уравнения Лапласа Аи = 0, зависящие только от расстояния г.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т., то уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах будет иметь вид Отсюда так что где постоянные. Упражнения Найдите производную скалярного поля в точке по направлению кточке Найдите производную скалярного поля и(х, у, z) в точке Л#о(хо, Уо» *о) по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси О г: 6.

Найдите производную скалярного поля в точке эллипса + = 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. 7. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению окружности 8. Найдигеугол между градиентами функции и = arctg | в точках 9. Найдите производную плоского поля и вточке понаправле-нию, задаваемому вектором, лежащим в плоскости хОу и наклоненным под углом | коси Ох. Найдите векторные линии следующих векторных полей: 13.

Найдите векторную линию поля а , проходящую

через точку 14. Найдите векгорную линию поля а, проходящую через точку М(3,4, -1). 15. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом х2 4- у2 = г2 из плоскости 16. Вычислите поток векторного поля к через треугольник ABC с вершинами в точках (нормаль образует с осью Oz острый угол). 17. Вычислите поток векторного поля а = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями z 18.

Вычислите поток векторного поля а = yzi — xj — yk через полную поверхность конуса х2 + у2 = z2, ограниченную плоскостью z Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток заданного векгора а через заданную поверхность S: 19. — внешняя сторона цилиндрической поверхности х2 + у2 = 9, ограниченной сферой Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах.

Дивергенция в ортогональных координатах

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах 20. — внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью Вычислите поток векгорного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса—Остроградского:

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые поверхности до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса—Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль): Найдите работу силы F при перемещении вдольлинии L от точки М к точке N: Найдите циркуляцию векторного поля а вдоль замкнутого контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Вычислите циркуляцию векторного поля а по замкнутому контуру L.

Проверьте результат при помощи формулы Стокса: — линия пересечения плоскости с координатными плоскостями 38. Найдите дивергенцию векторного пол я а = (с, г), где с — постоянный вектор, . 39. При какой функции ip(z) дивергенция векгорного поля а =)k будет равна z? 40. Найдите , где г = 41. Найдите функцию tf>(r), для которой выполняется равенство 42. Какова должна быть функция /(х, z), чтобы ротор векгорного поля совпал с вектором Найдите ротор следующих векторов: Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы: Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как найти div вектора Как найти div вектора

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве. Объектами приложения векторного анализа являются: Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.

Как найти div вектора

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано иоде данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур.

Скалярное поле задается скалярной функцией точки и = f(М). Если в пространстве введена декартова система координат, то и есть функция трех переменных х, у, z — координат точки М:

u = f(x,y,z). (1)

Определение:

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция f(М) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня

f(x, y, z) = с = const. (2)

Пример:

Найти поверхности уровня скалярного поля

Как найти div вектора

Согласно определению уравнением поверхности уровня будет

Как найти div вектора

Это уравнение сферы (с ≠ 0) с центром в начале координат.

Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же. Если указанную плоскость принять за плоскость хОу, го функция поля не будет зависеть от координаты г, т. е. будетфункцией только аргументов х и у,

u=f(x, y). (3)

Плоское поле можно характеризовать с помощью линий уровня — множества точек плоскости, в которых функция f(x, у) имеет одно и то же значение. Уравнение линии уровня —

f(х, у) = с = const. (4)

Пример:

Найти линии уровня скалярного поля

Как найти div вектора

Линии уровня задаются уравнениями

Как найти div вектора

При с = О получаем пару прямых у = х, у = -х. При с ≠ 0 получаем семейство гипербол (рис. 1).

Как найти div вектора

Производная по направлению

Пусть имеется скалярное поле, определяемое скалярной функцией и = f(M). Возьмем точку М0 и выберем направление, определяемое вектором I. Возьмем другую точку М так, чтобы вектор М0М был параллелен вектору 1 (рис.2). Обозначим длину вектора МоМ через ∆l, а приращение функции f(М) — f(Mo), соответствующее перемещению ∆l, через ∆и. Отношение

Как найти div вектора

определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины поданному направлению I.

Пусть теперь ∆l стремится к нулю так, чтобы вектор М0М все время оставался параллельным вектору I.

Как найти div вектора

Определение:

Если при ∆l —> 0 существует конечный предел отношения (5), то его называют производной функции и = f(M) в данной точке М0 по данному направлению I и обозначают символом
Как найти div вектора

Так что, по определению,
(6)

Как найти div вектора

Это определение не связано с выбором системы координат, т. е. Hocит вариантный характер.

Найдем выражение для производной по направлению в декартовой системе координат. Пусть функция f(М) = f(х, у, z) дифференцируема в точке Мо(хо, yо, zо). Рассмотрим значение f(M) в точке М(х0 + ∆х,у0 + ∆y, zo + ∆z). Тогда полное приращение функции можно записать в следующем виде:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

означают, что частные производные вычислены в точке Мо. Отсюда (7)

Как найти div вектора

Здесь величины Как найти div векторасуть направляющие косинусы вектора МоМ = ∆xi + ∆yj + ∆zk. Так как векторы МоМ и I сонаправлены (М0М ↑↑ I), то их направляющие косинусы одинаковы:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Так как M —» Mo, оставаясь все время на прямой, параллельной вектору I, то углы а, β, γ постоянны, а потому

Как найти div вектора

Окончательно из равенств (7) и (8) получаем

Как найти div вектора

Замечание:

Частные производные Как найти div вектораявляются производными функции и по направлениям координатных осей Ox, Оу, Oz соответственно.

Пример:

Найти производную функции

Как найти div вектора

в точке Mo(3,0,2) по направлению к точке M1(4,1, 3).
Имеем

Как найти div вектора

Вектор МoМ = имеет длину |МоМ| = /3. Его направляющие косинусы: Как найти div вектораКак найти div вектора

По формуле (9) будем иметь

Как найти div вектора

Тот факт, что Как найти div вектора>0, означает, что скалярное поле в точке М0 в данном направлении возрастает.
Для плоского поля U = f(x, у) производная по направлению 1 в точке Мо(х0, у0) вычисляется по формуле (10)

Как найти div вектора

где а — угол, образованный вектором I с осью Ох.

Замечание:

Формула (9) для вычисления производной по направлению I в данной точке М0 остается в силе и тогда, когда точка М стремится к точке Мо по кривой, для которой вектор I является касательным в точке Мо.

Пример:

Вычислить производную скалярного поля

и = arctg(xy)

в точке Mo(1, 1), принадлежащей параболе у = х2, по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы).

Как найти div вектора

Пусть касательная к параболе в точке Мо образует с осью Ох угол a. Тогда tga =Как найти div вектора= 2, откуда направляющие косинусы касательной

Как найти div вектора

Вычислим значения Как найти div векторав точке Mo(1, 1). Имеем

Как найти div вектора

Теперь по формуле (10) получаем

Как найти div вектора

Пример:

Найти производную скалярного поля и = In(xy + yz + zx) в точке Mo(0, 1, 1) по направлению окружности

Как найти div вектора

Векторное уравнение окружности имеет вид

Как найти div вектора

Находим единичный вектор т касательной к окружности

Как найти div вектора

Точке Mo(0,1, 1) соответствует значение параметра t= π/2 Значение т в точке Мо будет равно

Как найти div вектора

Отсюда получаем направляющие косинусы касательной к окружности в точке Mо: cos a = — 1, cos β = 0, cos γ = 0.

Вычислим значения частных производных данного скалярного поля в точке Mo(0, 1, 1)

Как найти div вектора

Значит, искомая производная

Как найти div вектора

Градиент скалярного поля

Пусть скалярное поле определяется скалярной функцией

u = f(x, y. z),

которая предполагается дифференцируемой.

Определение:

Градиентом скалярного поля u в данной точке М называется вектор, обозначаемый символом grad и и определяемый равенством
(1)

Как найти div вектора

Ясно, что этот вектор зависит от функции f, так и от точки М, в которой вычисляется ее производная.
Пусть I° — единичный вектор в направлении I, т. е.

Как найти div вектора

Тогда формулу для производной по направлению можно записать в следующем виде:
(3)

Как найти div вектора

тем самым производная от функции и по направлению I равна скалярному произведению градиента функции u(M) на орт I° направления I.

Основные свойства градиента

Теорема:

Градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
Проведем через произвольную точку М поверхность уровня и = const и выберем на этой поверхности гладкую кривую L, проходящую через точку М (рис. 4). Пусть 1 — вектор, касательный к кривой L в точке М.

Как найти div вектора

Так как на поверхности уровня и(М) = и(М1) для любой точки М1 ∈ L, то

Как найти div вектора

С другой стороны, Как найти div вектора= (grad и, I°). Поэтому (grad и, I°) = 0. Это означает, что векторы grad и и I° ортогональны, grad u ⊥ I°.

Итак, вектор grad и ортогонален к любой касательной к поверхности уровня в точке М. Тем самым он ортогонален к самой поверхности уровня в точке М.

Теорема:

Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

Ранее мы доказали, что градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня, которая может быть ориентирована либо в сторону возрастания функции и(М), либо в сторону ее убывания.

Обозначим через п нормаль к поверхности уровня, ориентированную в сторону возрастания функции и(М), и найдем производную функции и в направлении этой нормали (рис. 5). Имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Так как по условию и(М1) > и(М), то и(М1) — и(М) > 0, и поэтому

Как найти div вектора

Отсюда следует, что grad и направлен в ту же сторону, что и выбранная нами нормаль п, т.е. в сторону возрастания функции и(М).

Теорема:

Длина градиента равна наибольшей производной по направлению в данной точке поля,

Как найти div вектора

(здесь mах Как найти div вектора берется по всевозможным направлениям в данной точке М поля).
Имеем

Как найти div вектора

где φ — угол между векторами I и grad n. Так как наибольшее значение cos φ равно 1, то наибольшим значением производной Как найти div векторакак раз и является |grad и|.

Пример:

Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и = ху + yz + zx

в точке Mо(1, 1, 1), а также величину этого наибольшего изменения в указанной точке.

Направление наибольшего изменения скалярного поля указывается вектором grad u(M). Имеем grad u(М) = (у + z)i + (х + г)j + (у + х)к, так что

Этот вектор определяет направление наибольшего возрастания поля в точке Мо(1,1,1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

Как найти div вектора

Инвариантное определение градиента

Величины, характеризующие свойства изучаемого объекта и не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами данного объекта. Например, длина кривой — инвариант этой кривой, а угол касательной к кривой с осью Ох — не инвариант.

Основываясь на доказанных выше трех свойствах градиента скалярного поля, можно дать следующее инвариантное определение градиента.

Определение:

Градиент скалярного поля есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля и имеющий длину, равную наибольшей производной по направлению (в данной точке).
Пусть п° — единичный вектор нормали, направленный в сторону возрастания поля. Тогда

Как найти div вектора

Пример:

Найти градиент расстояния

Как найти div вектора

где Мo(хo,уo,zo) — некоторая фиксированная точка, а М(х,у,z) — текущая.

Как найти div вектора

где r° — единичный вектор направления MoM.

Правила вычисления градиента

  1. grad си(М) = с grad и<М), где с — постоянное число.
  2. grad(u + v) = grad и + grad v.

Приведенные формулы получаются непосредственно из определения градиента и свойств производных.

3. grad(u v) = v grad и+ и grad v.

По правилу дифференцирования произведения

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Доказательство аналогично доказательству свойства 3.

Пусть F(u) — дифференцируемая скалярная функция. Тогда

grad F(u) = F'(u) grad и.

По определению градиента имеем

Как найти div вектора

Применим ко всем слагаемым правой части правило дифференцирования сложной функции. Получим

Как найти div вектора

grad F(r) = F'(r) • p°. (6)

Формула (6) следует из формулы grad r = r°.

Пример:

Найти производную по направлению радиус-вектора r от функции u = sin r, где r = |r|. По формуле (3)

Как найти div вектора

а по формуле (6) grad sin r = cos r • r° . В результате получим, что

Как найти div вектора

Пример:

Пусть дано плоское скалярное поле

Как найти div вектора

где r1, r2 — расстояния от некоторой точки Р(х,у) плоскости до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, F1 ≠ F2.

Рассмотрим произвольный эллипс с фокусами F1 и F2 и докажем, что всякий луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус.

Линии уровня функции (7) суть

Как найти div вектора

Уравнения (8) описывают семейство эллипсов с фокусами в точках F1 и F2.

Согласно результату примера 2 имеем

Как найти div вектора

Тем самым градиент заданного поля равен вектору PQ диагонали ромба, построенного на ортах Как найти div векторарадиус-векторов, проведенных к точке Р(х,у) из фокусов F1 и F2, и значит, лежит на биссектрисе угла между этими радиус-векторами (рис. 6).

Как найти div вектора

По теореме 1 градиент PQ перпендикулярен к эллипсу (8) в точке Р(х,у). Следовательно, нормаль к эллипсу (8) в любой его точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными в эту точку. Отсюда и из того, что угол падения равен углу отражения, получаем: луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от него, непременно попадает в другой фокус этого эллипса.

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Определение:

Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина

Как найти div вектора

то говорят, что там задано векторное поле а.

Задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций от трех переменных Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z).

Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7).

Как найти div вектора

В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями‘, в поле скоростей движения жидкости векторные линии называются линиями тока.

Дифференциальные уравнения векторных линий

Пусть векторное поле определяется вектор-функцией

Как найти div вектора

где P(x,y,z), Q(x, у, z), R(x,y,z) — непрерывные функции переменных х, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

— есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор

и вектор касательной к этой кривой

Как найти div вектора

должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Как найти div вектора

Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме.

Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): (3)

Как найти div вектора

Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры c1 и c2 мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример:

Hайти векторные линии векторного поля

а = хi + уj + 2zk.

Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, dx dy dz

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Интегрируя эту систему, получим два уравнения

Как найти div вектора

где c1, c2 — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у = c1х с параболическими цилиндрами z = c2x 2 дает двухпараметрическое семейство векторных линий поля (рис. 8).

Как найти div вектора

Определение:

Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указанной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах. Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z:

Как найти div вектора

Дифференциальные уравнения векторныхлиний плоского поля можно записать в следующем виде

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Пример:

Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода.

Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т. е. вектор тока

J = J • k.

Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле

Как найти div вектора

р = xi + yj + zk

— радиус-вектор точки М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим

Как найти div вектора

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Как найти div вектора

Отсюда x = const, Как найти div вектораили xdx + ydy = 0. Окончательно имеем

Как найти div вектора

т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси Oz (рис.9).

Пример:

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной точкой массы т, расположенной в начале координат.

В данном случае сила F определяется так:

Как найти div вектора

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Как найти div вектора

откуда, умножая каждую из дробей на Как найти div вектораполучим

Как найти div вектора

Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине Как найти div вектора. Имеем

Как найти div вектора

Это — полупрямые, выходящие из начала координат.

Как найти div вектора

Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку М0(хо, yo, zо). через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины С1, C2, C3.

Пусть, например, точка Мо имеет координаты хо = 3, yо = 5, zо = 7. Уравнение векторной линии, проходящей через точку Mo(3, 5, 7), можно записать так:

x = 3t, у — 5t, z = 7t.

Сама точка Мо получается при значении параметра t = 1.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Поток вектора через поверхность и его свойства

Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Σ. Потоком жидкости через поверхность Σ называется количество жидкости, протекающее через поверхность Σ за единицу времени.

Этот поток легко вычислить, если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность Σ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени каждая частица перемещается на величину v (рис. 10),

П =Sh,

где S — площадь основания, h = npnv = (v, n°) — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, |п°| = 1.

Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Σ равен
(1)

Как найти div вектора

Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Σ — гладкая, то можно разбить поверхность Σ на столь малые части Σk (k = 1, 2,…, п), чтобы каждую часть Σk можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Как найти div вектора

Так как поток жидкости через поверхность Σ равен сумме потоков жидкости через все ее части Σk, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу (2)

Как найти div вектора

где п — общее число частей Σk, на которые разбита поверхность Σ, Рк — точка, лежащая на k-ой части, ∆σk — площадь части Σk поверхности, ( v, n°)pk означает скалярное произведение векторов v и п° в точке Pk ∈ Σk (рис. 11).

Как найти div вектора

Назовем потоком жидкости через поверхность Σ предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров площадок Σk,

Как найти div вектора

где d — наибольший из диаметров частей Σk (k= 1,2,…,п). Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Σ.

Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Σ вводится п о аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность.

Определение:

Потоком вектора (векторного поля) а через поверхность Σ называется интеграл по поверхности Σ от проекции вектора а на нормаль к поверхности

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Ясно, что интеграл (4) существует, если вектор а = Pi+Qj+Rk непрерывен, т. е. непрерывны его координаты Р(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y,z), и поверхность Σ — гладкая, т. е. имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость

Пример:

Поле создается точечным зарядом (электричесkое поле) или точечной маcсой (поле тяготения), помещенными в начале координат. Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен

Как найти div вектора

где q — величина заряда (массы), r = ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через SR — сферу радиуса R с центром в начале координат.

Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора r, то п° = r° и поэтому

Как найти div вектора

На сфере SR радиуса R имеем r = R, так что (Е, n°) = Как найти div вектора= const. Поэтому поток вектора через SR равен

Как найти div вектора

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Свойства потока вектора через поверхность

1. Линейность.
(5)

Как найти div вектора

где λ и μ — постоянные числа.

2. Аддитивность. Если поверхность Σ разбита кусочно-гладкой кривой на две части Σ1 и Σ2, то поток через поверхность Σ равен сумме потоков через поверхности Σ1 и Σ2,
(6)

Как найти div вектора

Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Σ.

Понятие ориентации поверхности

Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край повержюсти, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12).

Как найти div вектора

Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так. Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному.

Как найти div вектора

Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т.п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса).

3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей. Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрь тела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через Σ+ ту сторону поверхности Σ, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Σ- — сторону поверхности Σ, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим
(7)

Как найти div вектора

где п°_ = -п°+. Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Σ) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора r = хi + yj + zk через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Oz.

Как найти div вектора

Поверхность Σ состоит из трех частей: боковой поверхности Σ1, верхнего основания Σ2 и нижнего основания Σ3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен

П = П1 +П2 + П3,

где П1, П2, П3 — потоки данного поля через Σ1, Σ2 и Σ3 соответственно.

На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п°1 параллелен плоскости хОу, и поэтому

Как найти div вектора

(см. рис. 14). Следовательно,

Как найти div вектора

На верхнем основании Σ2 вектор нормали п°2 параллелен оси Оz, и поэтому можно положить п°2 = k. Тогда имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

На нижнем основании Σ3 вектор г перпендикулярен к вектору нормали п°3 = -k. Поэтому (r, п°3) = (r, -k) = 0 и

Как найти div вектора

Значит, искомый поток

Как найти div вектора

Здесь символ Как найти div вектораозначает двойной интеграл по замкнутой поверхности.

Видео:Ротор векторного поляСкачать

Ротор векторного поля

Поток вектора через незамкнутую поверхность

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности.

Метод проектирования на одну из координатных плоскостей

Пусть поверхность S однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида

z = f(x, у).

Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле

Как найти div вектора

Если в формуле (1) берется знак « -», то угол γ между осью Oz и нормалью п° —острый; если же знак «+», то угол γ — тупой.

Так как элемент площади dσ этой поверхности равен

Как найти div вектора

то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности S сводится к вычислению двойного интеграла по формуле
(3)

Как найти div вектора

Как найти div вектора

означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(i, у).

Пример:

Найти поток вектора

Как найти div вектора

через часть поверхности параболоида

Как найти div вектора

отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15).

Как найти div вектора

Данная поверхность проектируется на круг Dxy плоскости хОу с центром в начале координат радиуса R =Как найти div вектора. Находим орт п° нормали к параболоиду:

Как найти div вектора

Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол γ, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом,

Как найти div вектора

Находим скалярное произведение

Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора

Если поверхность S проектируется однозначно на область Dyz плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = φ<у, z). В этом случае имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Знак «+» в последней формуле соответствует тому, что угол а между осью Ох и вектором нормали п° острый, и знак «-», если указанный угол тупой.

Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOz, то ее можно задать уравнением у = ψ(x, z) и тогда

Как найти div вектора

Знак «+» перед дробью в формуле (10) означает, что угол β между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «—», что угол β — тупой.

Замечание:

Для нахождения потока вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(z, у, z)j + R(х, у, k)

к через поверхность S, заданную уравнением z = f(x, у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор

Как найти div вектора

Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид:
(11)

Как найти div вектора

Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, заданные уравнениями х = φ(у, z) или у = ψ(х, z).

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить поток вектора

а = хzi

через внешнюю сторону параболоида

Как найти div вектора

ограниченного плоскостью z = 0 (рис. 16).
Имеем

n = ±(2ri + 2yj+k).

Так как угол γ — острый, следует выбрать знак «+». Отсюда

Как найти div вектора

Искомый поток вычисляется так:

Как найти div вектора

Переходя к полярным координатам х = р cos φ, y = p sin φ, 0 ≤ р ≤ 1. 0 ≤ φ Как найти div вектора

Метод проектирования на все координатные плоскости

Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dxy, Dxz, Dyz проекции S на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F(x, y, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

x = x(y,z), y = y(x,z), z = z(x,y). (12)

Тогда поток вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен

Как найти div вектора

можно записать так:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак cos a, cos β, cos γ на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что (15)

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить поток векторного поля

а = yi + zj + zk

через треугольник, ограниченный плоскостями z + y+ z = l (l>0), x=0, у — 0, z = 0 (угол γ — острый) (рис. 17).
Имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ». Полагая Р = у, Q = z, R = х, получим

Как найти div вектора

Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dyz — треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны ВС: y+z = l, 0 ≤ у ≤ I. Имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Значит, искомый лоток равен

Как найти div вектора

Метод введения криволинейных координат на поверхности

Если поверхность S является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты.

Как найти div вектора

А. Поверхность S является частью кругового цилиндра

Как найти div вектора

ограниченного поверхностями z = f1(x,y) и z = f2(х. у), где f1(x. y) ≤ f2(x, y) (рис. 18). Полагая х = R cos φ, у = R sin φ, z = z, будем иметь

Как найти div вектора

Элемент площади поверхности выражается так:

Как найти div вектора

и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности S вычисляется по формуле:

Как найти div вектора

Пример:

Найти поток вектора

Как найти div вектора

через внешнюю сторону поверхности цилиндра

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре (х = 2 cos φ, у = 2 sin φ, z = z) равно:

Как найти div вектора

Тогда по формуле (18) получим

Как найти div вектора

В. Поверхность S является частью сферы

Как найти div вектора

ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид Как найти div вектораи полуплоскостями Как найти div вектора(рис. 19).Точки данной сферы описываются соотношениями

Как найти div вектора

где Как найти div вектораПоэтому элемент площади

Как найти div вектора

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности S вычисляется по формуле

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пример:

Найти поток вектора

Как найти div вектора

через внешнюю часть сферы

Как найти div вектора

отсеченную плоcкостью z = 2 (рис. 20).

В данном случае имеем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Тогда скалярное произведение (а, п°) выразится так:

Как найти div вектора

По формуле (21) получим

Как найти div вектора

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Теорема:

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные Как найти div вектора, то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от

Как найти div вектора

по области V, ограниченной поверхностью S:

Как найти div вектора

Здесь п0 — орт внешней нормали к поверхности, а символ Как найти div вектораозначает поток через замкнутую поверхность S. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала вектор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность S пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность S разбивается на две части S1 и S2, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21).

Внешняя нормаль к поверхности S2 образует острый угол γ с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности S1 образует тупой угол с осью Oz. Поэтому cos γ = (п°, к) > 0 на S2 и cos γ Как найти div вектора Как найти div вектора

Пусть dσ — элемент площади на поверхности S. Тогда

Как найти div вектора

где dS — элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интеграл ам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности S1 и S2. Пусть S2 описывается уравнением z = z2(x, у), а S, — уравнением z = z1(x, у). Тогда

Как найти div вектора

Так как приращение непрерывно дифференцируемой функции можно представить как интеграл от ее производной

Как найти div вектора

то для функции R(x, у, z) будем иметь

Как найти div вектора

Пользуясь этим, получаем из формулы (3)

Как найти div вектора

Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Rk, п°) = 0 и интеграл ∫∫ (Rk, n°) dσ по ней равен нулю. Поэтому формула (4) остается справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части.

Как найти div вектора

Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность 5 пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23).

Как найти div вектора

Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза. Пусть S1 и S2 — те части поверхности S, на которые она разбивается разрезом Sp,a V1 и V2 — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями Как найти div вектора

Здесь Sp+ означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем:

Как найти div вектора

Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройного интеграла, получим

Как найти div вектора

(интегралы по разрезу Sp взаимно уничтожаются). Рассмотрим, наконец, вектор

Для каждой компоненты Pi, Qj, Rк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим

Как найти div вектора

Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остроградского

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить поток вектора

а = 2xi — (z — 1)k

через замкнутую поверхность

Как найти div вектора

1) по определению, 2) по формуле Остроградского.

1) Поток вектора а равен сумме

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Следовательно, П = -4π + 0 + 8π = 4π.

2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора

r = xi + yj + zk

через сферу радиуса R с центром в начале координат:

1) по определению; 2) по формуле Остроградского.

1) Так как для сферы

Как найти div вектора

2) Сначала находим

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить поток вектора

Как найти div вектора

через замкнутую поверхность S, заданную условиями:

Как найти div вектора

1) по определению; 2) по формуле Остроградстого (рис.25).

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

(на S1 имеем z = 0),

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Переходя к цилиндрическим координатам

Как найти div вектора

и замечая, что z = 9 — р на поверхности S, имеем

Как найти div вектора

Замечание:

При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить ее до замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Оcтроградского.

Пример:

Вычислить поток вектора

Как найти div вектора

через поверхность S:

Как найти div вектора

Заданная поверхность S есть конус с осью Оу (рис. 26).

Как найти div вектора

Замкнем этот конус куском Σ плоскости у = I. Тогда, обозначая через П1 искомый поток, а через П2 поток по поверхности Σ, будем иметь

Как найти div вектора

где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S и Σ.
Так как

Как найти div вектора

Как найти div вектора

т.к. на поверхности Σ выполняется равенство у = 1. Следовательно, П1 = π.

Видео:Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня Матеманя

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Пусть S — замкнутая поверхность. Рассмотрим поле скоростей v течения жидкости и вычислим поток жидкости через поверхность 5. Если он положителен, то это означает, что из той части пространства, которая ограничена поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются источники (выделяющие жидкость). Напротив, если поток отрицателен, то внутрь S втекает больше жидкости, чем вытекает из нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются стоки (поглощающие жидкость).

Тем самым, величина

Как найти div вектора

позволяет судить о природе части векторного поля, заключенного внутри поверхности S, а именно, о наличии источников или стоков внутри нее и их производительности (мощности).

Понятие о потоке вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию дивергенции, или расходимости поля, которое дает некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.

Пусть М — изучаемая точка поля. Окружим ее поверхностью S произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченную поверхностью 5, обозначим через (V), а ее объем через V.

Вычислим поток вектора а через поверхность S. Имеем

Как найти div вектора

Составим отношение этого потока П к величине объема V,

Как найти div вектора

Так как числитель представляет собой производительность источников (стоков) внутри области (V), то отношение (1) дает среднюю производительность единицы объема.

Определение:

Если отношение (1) имеет конечный предел, когда область (V) стягивается в точку М, то этот предел называют дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают div а(М). То есть по определению

Как найти div вектора

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина (числитель и знаменатель дроби (2) суть скалярные величины).

Если diva(M) > 0, то в точке М расположен источник, если diva(M) Как найти div вектора

Пользуясь теоремой о среднем для тройного интеграла, получим

Как найти div вектора

Подставляя это выражение в формулу (2), определяющую дивергенцию, найдем

Как найти div вектора

Когда область (V) стягивается в точку М, то и точка Мcp стремится к точке М и, в силу предположенной непрерывности частных производных, получаем

Как найти div вектора

Как найти div вектора

(все величины в формуле (3) вычисляются водной и той же точке).

Формула (3) дает выражение дивергенции в декартовых координатах. Попутно доказано само существование дивергенции вектора а при условии, что производные Как найти div векторанепрерывны.

Используя формулу (3) для дивергенции, запишем формулу Гаусса—Остроградского в векторной форме. Имеем
(4)

Как найти div вектора

— поток вектора а через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора а по области (V), ограниченной поверхностью S.

Правила вычисления дивергенции

1, Дивергенция обладает свойством линейности
(5)

Как найти div вектора

где С1,…, Сп — постоянные числа.

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

и С — постоянное число. Тогда

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

2. Дивергенция постоянного вектора с равна нулю

div e = 0. (6)

3. Дивергенция произведения скалярной функции и(М) на вектор а(М) вычисляется по формуле

div(ua) = u diva + (gprad u,a). (7)

Как найти div вектора

Пример:

Найти дивергенцию вектора

Как найти div вектора

где r = |r| — расстояние от начала координат до переменной точки М(х,у,z),

Как найти div вектора

По формуле (7) имеем

Как найти div вектора

Так как r = xi + уj + zk. то

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Трубчатое (соленоидальное) поле

Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля, заданного в этой области, равна нулю

div а ≡ 0, (8)

то говорят, что в этой области поле соленоидальное (или трубчатое).

Из формулы Гаусса—Остроградского вытекает, что в трубчатом поле поток вектора через любую замкнутую поверхность S, лежащую в этом поле, равен нулю
(9)

Как найти div вектора

Свойства трубчатого поля

Рассмотрим в области, где задано поле вектора а, какую-нибудь площадку Σ (рис.27). Назовем векторной трубкой совокупность векторных линий, проходящих через границу γ = θΣ этой площадки. Пусть Σ1 — некоторое сечение векторной трубки. Выберем вектор нормали щ к сечению Σ1 так, чтобы он был направлен в ту же сторону, что и вектор а поля.

Как найти div вектора

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любое сечение векторной трубки один и тот же.

Пусть Σ1 и Σ2 —непересекающиеся сечения одной и той же векторной трубки. Надо доказать, что

Как найти div вектора

Обозначим через Σ3 часть поверхности векторной трубки, заключенную между сечениями Σ1 и Σ2. Поверхности Σ1, Σ2, Σ3 вместе образуют замкнутую поверхность Σ (рис.28).

Как найти div вектора

Так как по условию поле вектора а — трубчатое, то

Как найти div вектора

В силу аддитивности потока соотношение (10) можно переписать так:

Как найти div вектора

В точках поверхности Σ3, составленной из векторных линий, имеем Как найти div вектора, так что (а, п°3) = 0 на Σз, и значит, последний интеграл в левой части (11) равен нулю. Таким образом, из (11) находим

Как найти div вектора

Пусть поверхность Σ имеет ориентированный замкнутый контур L своей границей. Будем говорить, что поверхность Σ натянута на контур L. Вектор нормали п к поверхности Σ будем ориентировать так, чтобы из конца нормали обход контура L был виден против часовой стрелки (рис. 29).

Как найти div вектора

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любую поверхность, натянутую на данный контур, один и тот же:

Как найти div вектора

Замечание:

В трубчатом поле векторные линии могут быть либо замкнутыми кривыми, либо иметь концы на границе области, где поле задано.

Пример:

Рассмотрим силовое поле, создаваемое точечным зарядом q, помешенным в начале координат. Вычислим дивергенцию вектора Е напряженности

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пользуясь формулой (7), получим

Как найти div вектора

для r ≠ 0. Таким образом, поле вектора Σ, заданного формулой (13), будет трубчатым в любой области G, не содержащей точки O(0,0,0).

Вычислим поток вектора Σ через сферу Sr радиуса R с центром в начале координат O(0,0,0) (рис.30).

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Замечание:

Можно показать, что поток вектора (13) через любую замкнутую поверхность Σ, охватывающую точку O(0,0,0), всегда равен 4 πg.

Видео:Демидович №4427: дивергенция радиус-вектораСкачать

Демидович №4427: дивергенция радиус-вектора

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле

а(М) = Р(х, у, х)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k

и замкнутый ориентированный контур L.

Определение:

Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от вектора а по контуру L

Как найти div вектора

Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, определяемым ориентацией контура (рис. 31) символ Как найти div вектораозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру L.

Как найти div вектора

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Как найти div вектора

вдоль эллипса L:

Как найти div вектора

По определению циркуляции имеем

Как найти div вектора

Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид:

Как найти div вектора

и, значит, dx = -a sin tdt, dy = b cos tdt. Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем

Как найти div вектора

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Ротор (вихрь) векторного поля

Рассмотрим поле вектора

а(М) = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k,

Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам.

Определение:

Ротором вектора а(M) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством

Как найти div вектора

или, в символической, удобной для запоминания форме,

Как найти div вектора

Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Как найти div вектора

Определение:

Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называется безвихревым.

Пример:

Найти ротор вектора

Как найти div вектора

Согласно формуле (3) имеем

Как найти div вектора

Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим

Как найти div вектора

div rot a = 0. (3′)

Таким образом, поле вектора rot а соленоидально.

Теорема Стокса:

Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L,

Как найти div вектора

При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Σ, и что ориентация орта нормали п° к поверхности Σ С G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормали обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что а = Pi + Qj + Rk, n° = cos ai + cos βj + cos γk, и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде:

Как найти div вектора

Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Σ и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур λ соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура λ. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Σ остается слева, так что веkтор нормали п к поверхности Σ составляет с осью Oz острый угол γ (cos γ > 0).

Пусть z = φ <х,у) — уравнение поверхности Σ и функция ф(х,у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Как найти div векторав замкнутой области D. Рассмотрим интеграл

Как найти div вектора

Линия L лежит на поверхности Σ. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности z = φ(х, у),мы можем заменить z под знаком интеграла на φ(x, у). Координаты (х, у)

Как найти div вектора

переменной точки кривой λ равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по λ,

Как найти div вектора

Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина. Имеем

Как найти div вектора

Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Σ. Так как dS = cos γ • dσ,то из формулы (8) получим, что

Как найти div вектора

Вектор нормали n° к поверхности Σ определяется выражением

Как найти div вектора

или n° = cos a • i + cos β • j + cos γ • k. Отсюда видно, что

Как найти div вектора

Поэтому равенство (9) можно переписать так:

Как найти div вектора

Считая Σ гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул

Как найти div вектора

Складывая равенства (10), (11) и (12) почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче,

Как найти div вектора

Замечание:

Мы показали, что поле вектора rota — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Σ, натянутой на контур L.

Замечание:

Формула (4) выведена в предположении, что поверхность Σ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Ecли это условие не выполнено, то разбиваем Σ на части так, чтобы каждая часть указан ному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора

а = yi — xj + k

Как найти div вектора

1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса.

1) Зададим линию L параметрически:

Как найти div вектора

Тогда dx = -R sin t dt, dy = R cos t dt, H dz = 0, так что

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Натянем на контур L кусок плоскости z = H, так что п° = k. Тогда

Как найти div вектора

Видео:Как найти координаты вектора?Скачать

Как найти координаты вектора?

Инвариантное определение ротора поля

Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат.

Теорема:

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению,

Как найти div вектора

Здесь ( Σ ) — плоская площадка, перпендикулярная вектору п; S — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; ( Σ )М означает, что площадка ( Σ ) стягиваетcя к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33).

Как найти div вектора

Применим сначала к циркуляции

Как найти div вектора

вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении:

Как найти div вектора

(скалярное произведение (rot a, n°) берется в некоторой средней точке Mср площадки ( Σ )).

При стягивании площадки ( Σ ) к точке М средняя точка Мср тоже стремится к точке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем

Как найти div вектора

Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависит от выбора системы координат, то сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора. Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rot a согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта.

Физический смысл ротора поля

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси l с угловой скоростью w. Не нарушая общности, можно считать, что ось l совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где

r = xi + уj + zk.

Вектор угловой скорости в нашем случае равен w ≡ wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М,

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения.

Как найти div вектора

Правила вычисления ротора

1, Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору,

rot e = 0.

2. Ротор обладает свойством линейности

Как найти div вектора

где c1, c2,…, cn — постоянные числа.

3. Ротор произведения скалярной функции и(М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

rot(wa) = и rot а + [grad и, а].

Как найти div вектора

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение:

Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвязной, если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.

Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязными областями; внутренность тора или трехмерное пространство, из которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются.

Пусть в поверхностно односвязной области G задано непрерывное векторное поле

а (М) = Р(М)i + Q(M)j + R(M) k.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Для того чтобы криволинейный интеграл

Как найти div вектора

в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора a вдаль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю.

Необходимость. Пусть интеграл

Как найти div вектора

не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда

Как найти div вектора

по любому замкнутому контуру L равен нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки A и В (рис.35).

Как найти div вектора

По условию имеем

Как найти div вектора

где L1 и L2 — различные пути, соединяющие точки А и В; откуда

Как найти div вектора

Но L1 U L2 как раз и есть выбранный замкнутый контур L. Достаточность. Пусть

Как найти div вектора

для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл

Как найти div вектора

не зависит от пути интегрирования.

Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L1 и L2 к покажем, что

Как найти div вектора

Для простоты ограничимся случаем, когда линии L1 и L2 не пересекаются. В этом случае объединение L1 ∪ L2 образует простой замкнутый контур L (рис. 36).

Как найти div вектора

Как найти div вектора

а по свойству аддитивности

Как найти div вектора

Как найти div вектора

откуда справедливость равенства (2) и вытекает.

Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Как найти div вектора

не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле а(М) = Р(X, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k было безвихревым,

rot a(M) = 0. (3)

Здесь предполагается, что координаты Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна.
Замечание:

В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции вектора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы.

Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда

Как найти div вектора

т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля,

rot а ≡ 0.

Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а ≡ 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Как найти div вектора

Ротор плоского поля a = P(x, y)i + Q(x, y)j равен

Как найти div вектора

что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Как найти div вектора

в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение

Как найти div вектора

выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области.

Если область неодносвязна, то выполнение условия

Как найти div вектора

вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии.

Пример:

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не сщносвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и

Как найти div вектора

Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L — окружности радиуса R с центром в начале координат

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования.

Видео:2 37 Нахождение орта вектораСкачать

2 37 Нахождение орта вектора

Потенциальное поле

Определение:

Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и<М) такая, что

grad и = a. (1)

При этом функция и<М) называется потенциалом поля ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями.
Пусть

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Как найти div вектора

то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам:

Как найти div вектора

Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если grad и = а и grad v = а, то

Как найти div вектора

и, следовательно, и = v + с, где с — постоянное число.

Пример:

Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как

Как найти div вектора

(напомним, что Как найти div вектора). Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно,

Как найти div вектора

Пример:

Как найти div вектора

Пусть функция φ(r) такая, что

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Теорема:

Для того чтобы поле вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым,

rot а0, (2)

т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а.
Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. а = grad и, то

Как найти div вектора

в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл

Как найти div вектора

не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку Мо(xo, yо, zo), а конечную точку М(х, y, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки М(х, у, z). Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что

grad u = а.

В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования,

Как найти div вектора

Равенство grad и = а равносильно трем скалярны м равенства м

Как найти div вектора

Докажем первое из них,

Как найти div вектора

второе и третье равенства доказываются аналогично.

По определению частной производной имеем

Как найти div вектора

Рассмотрим точку М1(х + ∆х, у, z), близкую к точке M(x,y,z). Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано на рис.37.

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Последний интеграл берется вдоль отрезка прямой ММ1, параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату х:

x = х, у = const, z = const.

Тогда dx = dx,dy = 0, dz = 0, так что

Как найти div вектора

Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем

Как найти div вектора

где величина ξ заключена между х и х + ∆х. Из формулы (7) вытекает, что

Как найти div вектора

Так как ξ —► x при ∆x —» 0, то в силу непрерывности функции Р(х, у, z) получаем

Как найти div вектора

Аналогично доказывается, что

Как найти div вектора

Следствие:

Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл в нем не зависит от пути.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле

Теорема:

Интеграл Как найти div вектора в потенциальном поле а(М) равен разности значений, потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования,

Как найти div вектора

Ранее былодоказано, что функция

Как найти div вектора

является потенциалом поля.

В потенциальном поле криволинейный интеграл

Как найти div вектора

не зависит от пути интегрирования. Поэтому, выбирая путь отточки М1 к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Mo (рис. 38), получаем

Как найти div вектора

или, меняя ориентацию пути в первом интеграле справа,

Как найти div вектора

Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде

v(M) = u(M) + c, (10)

где с — постоянная.

Делая в формуле (10) замену u(M2) = v(M2) — с, и(М1) = v(M1) — с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу

Как найти div вектора

Пример:

В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция

Как найти div вектора

Как найти div вектора

где ri (i = 1,2) — расстояние от точки Mi(i = 1,2) до начала координат.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Вычисление потенциала в декартовых координатах

Пусть задано потенциальное поле

а(М) = Р(х, у, г)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Ранее было показано, что потенциальная функция и(М) может быть найдена по формуле

Как найти div вектора

Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку Мо(хо, yо, zо) и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой M(x,y,z) ломаной М0М1М2М, звенья которой параллельны координатным осям, М0М1,||Ох, M1М2||Оу, М2М|| Oz (рис.39).

Как найти div вектора

При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М1 имеем:

Как найти div вектора

На отрезке М1М2:

х = const, dx = 0, у = у, dy = dy, z = z0 и dz = 0.

x = const, dx = 0, у = const, dy = 0, z = z и dz = dz.

Следовательно, потенциал u(M) равен

Как найти div вектора

где x, у, z — координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование.

Пример:

Доказать, что векторное поле

является потенциальным, и найти его потенциал.

Проверим, будет ли поле вектора а(М) потенциально. С этой целью вычислим ротор поля. Имеем

Как найти div вектора

Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Mо начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим

Как найти div вектора

u(z, у, z) = ху + xz + yz + с,

где с — произвольная постоянная.

Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, г) есть скалярная функция, для которой grad и = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам:

Как найти div вектора

Интегрируя (13) по х, получим

Как найти div вектора

где f(y,z) — произвольная дифференцируемая функция от у и z. Продифференцируем (16) по у:

Как найти div вектора

откуда, учитывая (14), будем иметь

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Проинтегрировав (17) по у, найдем

Как найти div вектора

где F(z) — некоторая функция х. Подставив (18) в (16), получим

и(х, у, z) = ху + xz + у z + F(z).

Дифференцируя последнее равенство по z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для F(z),

Как найти div вектора

откуда Как найти div вектора= 0, так что F(z) = с = const. Итак,

u(x,y,z) = ху +yz + zx +с.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Оператор Гамильтона

Мы рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление grad и для скалярного поля и = и(х, у, z) и div а и rot а для векторного поля а = а(x, у, z). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора ∇ («набла»): (1)

Как найти div вектора

Оператор ∇ (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и векторными свойствами. Формальное умножение, например, умножение Как найти div векторана функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:

Как найти div вектора

В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором ∇ будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:

1, Если и = и(х, у, z) — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим

Как найти div вектора

a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + (x, y, z)k,

где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим

Как найти div вектора

3. Вычисляя векторное произведение [ ∇, а], получим

Как найти div вектора

Для постоянной функции и = с получим

∇c = 0,

а для постоянного вектора с будем иметь

( ∇, с) = 0 и [ ∇, с] = 0.

Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем

( ∇, a + b) = ( ∇, а) + ( ∇, b),

Как найти div вектора

Замечание:

Формулы (5) и (6) можно трактовать так же как проявление дифференциальных свойств оператора «набла»( ∇ — линейный дифференциальный оператор). Условились считать, что оператор ∇ действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,

( ∇, а) ≠ (а, ∇ ),

ибо ( ∇, а) = div а есть функция Как найти div векторав то время как

Как найти div вектора

— скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор ∇ к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.

Пример:

grad(u v) = v Brad и + u grad v. (7)

По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем

∇(uv) = v∇u + u ∇v,

grad(uv) = v grad u + u grad v.

Чтобы отметить тот факт, что «набла» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.

Пример:

Пусть и(x,y,z) — скалярная дифференцируемая функция, a(x,y,z) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что

div(ua) =u diva + (a, grad u). (8)

Перепишем левую часть (8) в символическом виде

div(ua) = ( ∇, ua).

Учитывая дифференциальный характер оператора ∇, получаем

Как найти div вектора

Так как ис — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что

Как найти div вектора

(на последнем шаге мы опустили индекс с).

В выражении ( ∇, иас) оператор ∇ действует только на скалярную функцию и, поэтому

Как найти div вектора

В итоге получаем

div(ua) = u div а + (a, grad и).

Замечание:

Используя формализм действий с оператором ∇ как с вектором, надо помнить, что ∇ не является обычным вектором — он не имеет ни длины, ни направления, так что, например, вектор ( ∇, а> не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля а = Р(х, y)i + Q(x, y)j вектор

Как найти div вектора

перпендикулярен плоскости хОу, а значит, и вектору а).

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору ∇. Например, выражение [∇ φ, ∇ ψ] где φ и ψ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух кoллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако в общем случае это не имеет места. В самом деле, вектор ∇ φ = grad φ направлен по нормали к поверхности уровня φ = const, а вектор ∇ ψ = grad ψ определяет нормаль к поверхности уровня ψ = const. В общем случае эти нормали не обязаны быть коллинеарными (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле φ (х, у, z) имеем [∇ φ, ∇ ψ] = 0.

Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами.

Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора ∇.

1, Пусть имеем скалярное поле и = и(x,y,z). В этом поле оператор ∇ порождает векторное поле

∇u = grad и.

В векторном поле grad и можно определить две операции:

( ∇, ∇u) = div grad u, (1)

что приводит к скалярному полю, и

[ ∇, ∇m] = rot grad u, (2)

что приводит к векторному полю.

2. Пусть задано векторное поле а = Pi + Qj + Rk. Тогда оператор (2) порождает в нем скалярное поле

(∇, а) = div a.

В скалярном поле div а оператор ∇ порождает векторное поле

∇ (∇,a) = grad div а. (3)

3. В векторном поле а = Pi + Qj + Rк оператор ∇ порождает также векторное поле

[∇, а] = rot a.

Применяя к этому полю снова оператор ∇, получим:

а) скалярное поле

(∇, [∇, а]) = div rot а, (4).

б) векторное поле

(∇, [∇, а]) = rot rot а. (5)

Формулы (1)-(5) определяют так называемые дифференциальные операции второго порядка.

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно.

1, Предполагая, что функция и(х, у, z) имеет непрерывные вторые частные производные по х, у и z, получим

Как найти div вектора

Как найти div вектора

называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона ∇ на самого себя, т.е.

Как найти div вектора

Оператор ∆ (дельта) играет важную роль в математической физике. Уравнение (6)

Как найти div вектора

называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла.

Скалярное поле и(х, у, z), удовлетворяющее условию ∆и = 0, называется лапла-совым или гармоническим полем.

Например, скалярное поле и = 2х 2 + Зу — 2x 2 является гармоническим во всем трехмерном пространстве: из того, что

Как найти div вектора

2. Пусть функция u(z, у, z) имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда

rot grad u0. (7)

В самом деле, действуя формально, получим

rot grad и = [∇, ∇u] = [ ∇, ∇ ] u = 0,

ибо [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

Тот же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах

Как найти div вектора

3. Пусть задано векторное поле

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,

координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим

Как найти div вектора

4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем (9)

Как найти div вектора

Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений. Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры

(А, [В, С]) = (С,[А,В])= (В, [С, А]).

div rot а = (∇, [∇, а]) = (а, [∇, ∇]) = О,

так как [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее,

rot rot а = grad div а — ∆а. (10)

rot rot а = [ ∇, [∇,a]),

то, полагая в формуле для двойного векторного произведения [А, [В, С]] = В(А, С) — (А, В)С,

А = ∇, B = ∇, С = а,

Как найти div вектора

Но ( ∇, а) = div а и ( ∇, ∇) = ∆. Поэтому окончательно будем иметь

rot rot а = grad div а — ∆а,

где grad div а выражается по формуле (8), а ∆а для вектора а = Pi + Qj + Rk надо понимать так:

∆а = ∆Р • i + ∆Q • j + ∆R • k.

В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка.

Как найти div вектора

Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от rot а).

Понятие о криволинейных координатах

Во многих задачах бывает удобно определять положение точки простр анства не декартовыми координатами (х, у, z), а тремя другими числами (q1, q2, q3), более естественно связанными с рассматриваемой частной задачей.

Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел (q1, q2, q3) и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система. В этом случае величины q1, q2, q3 называют криволинейными координатами точки М.

Координатными поверхностями в системе криволинейных координат q1, q2, q3 называются поверхности

Как найти div вектора

На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями.

В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами:

Как найти div вектора

р = const — круговые цилиндры с осью Оz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz;

z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41).

1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т. е. линии пересечения координатных поверхностей φ = const, z = const;

2) линии (φ) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz;

3) линии (z) — прямые, параллельные оси Oz.

Связь декартовых координат точки (х, у, z) с цилиндрическими координатами (р, φ, z) задается формулами

x = p cos φ, y = p sin φ, z = z. (2)

Как найти div вектора

Сферические координаты

В сферических координатах положение точки М в пространстве определяется следующими координатами:

Как найти div вектора

Координатные поверхности (рис. 42):

r = const — сферы с центром в точке О;

θ = const — круговые полуконусы с осью Oz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz.

1) линии (г) — лучи, выходящие из точки О;

2) линии (θ) — меридианы на сфере;

3) линии (φ) — параллели на сфере.

Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами (r, θ, φ) задается формулами

х = r cos φ sin θ,

у = r sin φ sin θ, (4)

z = r cos θ.

Введем единичные векторы e1, е2, е3 (орты), направленные по касательным к координатным линиям(q1),(q2),(q3)в тoчке М в сторону возрастания переменных q1,q2,q3 соответственно.

Определение:

Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты e1, е2, е3 попарно ортогональны.
В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности.
Примерами ортогональных криволинейных координат служат системы цилиндрических и сферических координат. Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат.

Пусть r = r(q1, q2, q3) — радиус-вектор точки М. Тогда можно показать, что
(5)

Как найти div вектора

Как найти div вектора

— коэффициенты Ламэ данной криволинейной системы координат. Вычислим коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат

Как найти div вектора

Так как х = р cos φ, у = р sin φ, z = z, то
(6)

Как найти div вектора

Аналогично для сферических координат имеем
(7)

Как найти div вектора

Как найти div вектора

являются дифференциалами длин дуг соответствующих координатных линий.

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Дифференциальные уравнения векторных линий

Рассмотрим поле вектора

Как найти div вектора

Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q1,q2, q3 имеют вид

Как найти div вектора

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2= φ, q3 = z)
(1)

Как найти div вектора

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ)
(2)

Как найти div вектора

Градиент в ортогональных координатах

Пусть и = u(q1, q2, q3) — скалярное пoле. Тогда

Как найти div вектора

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2 = φ, q3 = z)
(3)

Как найти div вектора

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ) (4)

Как найти div вектора

Ротор в ортогональных координатах

Рассмотрим векторное поле

Как найти div вектора

и вычислим rot а. Имеем

Как найти div вектора

В цилиндрических координатах

Как найти div вектора

Как найти div вектора

в сферических координатах

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Дивергенция в ортогональных координатах

Дивергенция div а векторного поля

Как найти div вектора

вычисляется по формуле
(7)

Как найти div вектора

В цилиндрических координатах

Как найти div вектора

Как найти div вектора

в цилиндрических координатах

Как найти div вектора

в сферических координатах

Как найти div вектора

Применяя формулу (7) к единичным векторам е1, е2, е3, получим

Как найти div вектора

Вычисление потока в криволинейных координатах

Пусть S — часть координатной поверхности q1 = с = const, ограниченная координатными линиями

Как найти div вектора

Тогда поток вектора

Как найти div вектора

через поверхность S в направлении вектора e1 вычисляется по формуле
(8)

Как найти div вектора

Аналогично вычисляется поток через часть поверхности q2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const.

Пример:

Найти поток П векторного поля

Как найти div вектора

через внешнюю сторону верхней полусферы S радиуса R с центром в начале координат.
Полусфера S есть часть координатной поверхности r = const, а именно r = R. На полусфере S имеем

Как найти div вектора

Учитывая, что в сферических координатах

Как найти div вектора

по формуле (8) найдем

Как найти div вектора

Вычисление потенциала в криволинейных координатах

Пусть в некоторой области Ω задано потенциальное векторное поле

Как найти div вектора

т. e. rot а = 0 в области Ω.

Для нахождения потенциала и = и(q1, q2, q3) этого векторного поля запишем равенство а(М) = grad u(M) в следующем виде:

Как найти div вектора

Отсюда следует, что
(9)

Как найти div вектора

Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал

Как найти div вектора

где с — произвольная постоянная.

В цилиндрических координатах

Как найти div вектора

система (9) принимает вид

Как найти div вектора

В сферических координатах

Как найти div вектора

система (9) имеет вид

Как найти div вектора

Пример:

Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координатаx

Как найти div вектора

Убедимся, что rot a = 0. По формуле (S) получим

Как найти div вектора

т.е. данное поле потенциально.

Искомый потенциал u = и(р, φ, z) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)):

Как найти div вектора

Интегрированием по р из первого уравнения находим

Как найти div вектора

Дифференцируя соотношение (11) no φ и используя второе уравнение, получим

Как найти div вектора

или Как найти div вектора= 0, откуда с = c1(z). Таким образом,

Как найти div вектора

Дифференцируя это соотношение по z и используя третье уравнение, получим

Как найти div вектора

или c1`(z) =0, откуда c1(z) = с. Итак, потенциал данного поля

Как найти div вектора

Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах

Пусть векторное поле

Как найти div вектора

определено и непрерывно в области Ω изменения ортогональных криволинейных координат q1, q2, q3. Так как дифференциал радиус-вектора r любой точки M(q1, q2, q3) ∈ Ω выражается формулой

Как найти div вектора

то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L ⊂ Ω будет равен
(13)

Как найти div вектора

В частности, для цилиндрических координат (q1 = р, q2 = φ, q3 = z, Н1 = 1, Н2 = р, Н3=1) будем иметь

Как найти div вектора

Отсюда по формуле (13) получим
(14)

Как найти div вектора

Аналогично для сферических координат (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ, Н1 = 1, Н2 = r, H3 = r sin θ будем иметь

Как найти div вектора

Отсюда по формуле (13) получим
(15)

Как найти div вектора

Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а (М) в криволинейных координатах q1, q2, q3 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах

Как найти div вектора

по замкнутой кривой L,

Как найти div вектора

Координаты данного вектора равны соответственно

Как найти div вектора

Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Как найти div вектора

Подставляя координаты данного вектора в формулу .(14), получим

Как найти div вектора

На кривой L имеем

Как найти div вектора

Искомая циркуляция будет равна

Как найти div вектора

Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Как найти div вектора

Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа ∆ получим следующее выражение:

Как найти div вектора

В цилиндрических координатах

Как найти div вектора

Как найти div вектора

В сферических координатах

Как найти div вектора

Как найти div вектора

Пример:

Найти все решения уравнения Лапласа ∆и = 0, зависящие только от расстояния r.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т. е. и = и (r), то уравнение Лапласа ∆и = 0 в сферических координатах будет иметь вид

Как найти div вектора

Отсюда Как найти div векторатак что

Как найти div вектора

где С1 и С2 — постоянные.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Как найти div вектора

Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора Как найти div вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: