Как найти диагональ четырехугольника на клетчатой бумаге

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Видео:Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

На клетчатой бумаге с размером 1×1 см изображён четырёхугольник ABCD?

Математика | 10 — 11 классы

На клетчатой бумаге с размером 1×1 см изображён четырёхугольник ABCD.

Найдите диагональ BD.

Видео:Площадь четырёхугольника на клетчатой бумагеСкачать

1)На клетчатой бумаге с размером клеток 1 х 1 см изображен треугольник АВС?

1)На клетчатой бумаге с размером клеток 1 х 1 см изображен треугольник АВС.

Найдите высоту, проведенную из вершины А.

2) На клетчатой бумаге с размером клеток 1 х 1 см изображен четырехугольник ABCD.

Найдите диагональ BD.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (размер клетки 1 см × 1 см)?

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (размер клетки 1 см × 1 см).

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Видео:Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображён четырёхугольник?

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображён четырёхугольник.

Найдите его площадь в кв сантиметрах.

Видео:Найдите длину диагонали четырехугольникаСкачать

Пожалуйста объясните, как решать подобные задачиНайдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (размер клетки 1 см × 1 см)?

Пожалуйста объясните, как решать подобные задачи

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (размер клетки 1 см × 1 см).

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Видео:Задача 3 ЕГЭ по математике. Урок 13Скачать

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1, 5 см × 1, 5 см (см?

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1, 5 см × 1, 5 см (см.

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Видео:ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.Скачать

Помогите решить?

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см * 1 см (рис.

83). Ответ дайте в квадратных см.

Видео:как найти диагональ.Скачать

На клетчатой бумаге с размером клеток 1х1 см?

На клетчатой бумаге с размером клеток 1х1 см.

Изображен четырехугольник ABCD Найдите диагональ BD.

Видео:Задание 3 ЕГЭ профиль #115Скачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.

Найдите длину его большей диагонали.

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 * 1 изображён ромб?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 * 1 изображён ромб.

Найдите длину его большей диагонали.

Видео:На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.Скачать

Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером 1см x 1см?

Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером 1см x 1см.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос На клетчатой бумаге с размером 1×1 см изображён четырёхугольник ABCD?, относящийся к категории Математика. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти диагональ четырехугольника на клетчатой бумаге

Вопрос по геометрии:

На клетчатой бумаге с размером клеток 1 х 1 см изображен четырехугольник ABCD. Найдите диагональ BD. ( Объяснить в подробности! желательно! )

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Опустим из точки В перпендикуляр на продолжение отрезка AD
Рассмотрим теперь уже прямоугольный треугольник (см. рис.)
Угол К — прямой, 90 градусов
KD = 4 см
ВК = 3 см
Найдём гипотенузу BD
По теореме Пифагора либо просто потому, что это «египетский треугольник» с соотношением сторон 3:4:5

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

📹 Видео

18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадратаСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Вариант 2 Задание 3 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать

Вычисление площадей на клетчатой бумагеСкачать

Диагональ четырёхугольника (ЕГЭ. Профиль. Задача 3)Скачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать