В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block >
- Определения векторной математики
- Аналитический метод
- Вычисление разности графически
- Решение задач
- Как найти разность векторов
- Формула
- Примеры нахождения разности векторов
- Остались вопросы?
- Все еще сложно?
- Сложение и вычитание векторов
- Формулы сложения и вычитания векторов
- Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
- Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
- Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
- Примеры задач на сложение и вычитание векторов
- Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов
- Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов
- Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3
- 📺 Видео
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
- Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
- Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
- Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
- Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
- Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
- Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
- Разностью векторов a и b называют сумму a и (—b), где (—b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a <a₁; a₂> и b <b₁; b₂> расчёты будут иметь следующий вид: c <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>.
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a <a₁; a₂; a₃> и b <b₁; b₂; b₃> координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c <c₁; c₂; c₃> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; a₃ — b₃>.
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
- Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
- Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.
[block > Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
- Построить исходные направленные отрезки.
- Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
- Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.
Результат такого решения изображён на рисунке:
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.
Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
Аналогичный расчёт выполняется для CD:
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид <c₁; c₂> = <a₁ — b₁; a₂ — b₂>. Для конкретного случая можно записать:
Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block > Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
[block > Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
- m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m;
- (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p;
- (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block > [block >
Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
Как найти разность векторов
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Формула
Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Примеры нахождения разности векторов
Задание. Найти разность векторов $bar-bar$, где $bar=(3 ; 0)$ и $bar=(1 ; 2)$
Решение. Для нахождения разности векторов $bar$ и $bar$, вычтем их соответствующие координаты:
Решение. Для нахождения искомой разности векторов вычтем их соответствующие координаты:
Видео:Как найти координаты вектора?Скачать
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?
Видео:Координаты вектора.Скачать
Сложение и вычитание векторов
Видео:Построить разность векторов.Скачать
Формулы сложения и вычитания векторов
Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a 1 ; a 2 ; . ; an > и b = < b 1 ; b 2 ; . ; bn > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:
Видео:Геометрия, 9 класс, Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведенияСкачать
Примеры задач на сложение и вычитание векторов
Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов
Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов
Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
📺 Видео
11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать
90. Координаты вектораСкачать
Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать