Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Содержание
  1. Свойства прямоугольника
  2. Диагональ прямоугольника
  3. Окружность, описанная около прямоугольника
  4. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  5. Периметр прямоугольника
  6. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  7. Признаки прямоугольника
  8. Все формулы для радиуса вписанной окружности
  9. Радиус вписанной окружности в треугольник
  10. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
  11. Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
  12. Как найти радиус окружности
  13. Основные понятия
  14. Формула радиуса окружности
  15. Если известна площадь круга
  16. Если известна длина
  17. Если известен диаметр окружности
  18. Если известна диагональ вписанного прямоугольника
  19. Если известна сторона описанного квадрата
  20. Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
  21. Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
  22. Если известна площадь сектора и его центральный угол
  23. Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
  24. Скачать онлайн таблицу

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / прямоугольник / диагонали / решу егэ

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник
Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв (2), получим:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Ответ: Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв (4), получим:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник
Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Ответ: Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв (5), получим:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Ответ: Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(6)
Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(8)
Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникКак находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник, а периметр равен Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник, Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв (11):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Подставляя значения Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольники Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв первую формулу (12), получим:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольники Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольникв формулу, получим:

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Ответ: Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник, Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Радиус вписанной окружности в треугольник

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Как найти радиус окружности

Как находить радиус вписанной окружности в прямоугольник

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Сможешь найти радиус вписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вписанной окружности?

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Видео:Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Поделиться или сохранить к себе: