Все формулы окружности хорды и касательная

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Все формулы окружности хорды и касательнаяОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Все формулы окружности хорды и касательнаяСвойства хорд и дуг окружности
Все формулы окружности хорды и касательнаяТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Все формулы окружности хорды и касательнаяДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Все формулы окружности хорды и касательнаяТеорема о бабочке

Все формулы окружности хорды и касательная

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВсе формулы окружности хорды и касательная
КругВсе формулы окружности хорды и касательная
РадиусВсе формулы окружности хорды и касательная
ХордаВсе формулы окружности хорды и касательная
ДиаметрВсе формулы окружности хорды и касательная
КасательнаяВсе формулы окружности хорды и касательная
СекущаяВсе формулы окружности хорды и касательная
Окружность
Все формулы окружности хорды и касательная

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВсе формулы окружности хорды и касательная

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВсе формулы окружности хорды и касательная

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВсе формулы окружности хорды и касательная

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВсе формулы окружности хорды и касательная

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВсе формулы окружности хорды и касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВсе формулы окружности хорды и касательная

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВсе формулы окружности хорды и касательнаяДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВсе формулы окружности хорды и касательнаяЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВсе формулы окружности хорды и касательнаяБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВсе формулы окружности хорды и касательнаяУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВсе формулы окружности хорды и касательнаяДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Все формулы окружности хорды и касательная

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВсе формулы окружности хорды и касательная

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВсе формулы окружности хорды и касательная

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВсе формулы окружности хорды и касательная

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВсе формулы окружности хорды и касательная

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВсе формулы окружности хорды и касательная

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВсе формулы окружности хорды и касательная

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все формулы окружности хорды и касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВсе формулы окружности хорды и касательная
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВсе формулы окружности хорды и касательная
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВсе формулы окружности хорды и касательная
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВсе формулы окружности хорды и касательная

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все формулы окружности хорды и касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Пересекающиеся хорды
Все формулы окружности хорды и касательная
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Все формулы окружности хорды и касательная
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Все формулы окружности хорды и касательная
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Все формулы окружности хорды и касательная
Пересекающиеся хорды
Все формулы окружности хорды и касательная

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все формулы окружности хорды и касательная

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Тогда справедливо равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Все формулы окружности хорды и касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Все формулы окружности хорды и касательная

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Хорда, секущая, касательная

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Определения

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Все формулы окружности хорды и касательная

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства

Все формулы окружности хорды и касательная

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Все формулы окружности хорды и касательная

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Все формулы окружности хорды и касательная

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: Все формулы окружности хорды и касательная

Все формулы окружности хорды и касательная

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: Все формулы окружности хорды и касательная

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство

Все формулы окружности хорды и касательная

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Все формулы окружности хорды и касательная

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Все формулы окружности хорды и касательная

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Все формулы окружности хорды и касательная

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Все формулы окружности хорды и касательная

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Все формулы окружности хорды и касательная

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Все формулы окружности хорды и касательная

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Все формулы окружности хорды и касательная

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

Все формулы окружности хорды и касательная

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Все формулы окружности хорды и касательная

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Все формулы окружности хорды и касательная

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Все формулы окружности хорды и касательная

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

💡 Видео

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Окружность.Отношение между хордой и касательной.Скачать

Окружность.Отношение между хордой и касательной.

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих
Поделиться или сохранить к себе: