Знакомимся с коллинеарностью.
Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.
Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:
Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Что за коллинеарность
Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.
И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.
Коллинеарные векторы 
Неколлинеарные векторы
Видео:№756. Начертите попарно неколлинеарные векторы х , у , z и постройте векторыСкачать
Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов
Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.
Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.
Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.
Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.
У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.
Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.
Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.
Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат 
Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор
Видео:№754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y.Скачать
Как определять неколлинеарность
Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.
А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,
Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.
Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:
По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.
Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.
👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».
Составляем систему уравнений:
Вычисляем значение λ:
Сравниваем результат и делаем вывод:
Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.
Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.
Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.
Получаем такую пропорцию:
Считаем значение и сравниваем результат:
Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.
Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.
Записываем в две строки координаты наших векторов:
Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:
В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.
Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.
И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.
Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать
Что из этого нужно запомнить
- С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
- Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
- Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
- Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.
Видео:№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать
Что дальше
Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.
Видео:№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать
Векторы. Начальные сведения
Определения
Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
Если (A) – начало вектора, (B) – его конец, то вектор обозначается как (overrightarrow) . Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: (overrightarrow) .
Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки (A) в точку (B) .
Длина (или модуль) вектора (overrightarrow) – это длина соответствующего отрезка (AB) .
Обозначение: (|overrightarrow|=AB) .
Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( (overrightarrow a, overrightarrow b) и (overrightarrow c) ).
В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, (overrightarrow a) и (overrightarrow d) ).
Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными ( (overrightarrow a) и (overrightarrow c) ). В противном случае векторы называются противоположно направленными ( (overrightarrow a) и (overrightarrow b) ).
Обозначение: (overrightarrow a uparrow uparrow overrightarrow c) , (overrightarrow a uparrow downarrow overrightarrow b) .
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Правила сложения коллинеарных векторов:
(blacktriangleright) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).
(blacktriangleright) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).
Правила сложения неколлинеарных векторов (overrightarrow ) и (overrightarrow) :
(blacktriangleright) Правило треугольника (рис. 3).
(blacktriangleright) Правило параллелограмма (рис. 4).
Определение
Вектор (overrightarrow ) – это вектор, противоположно направленный с вектором (overrightarrow ) и совпадающий с ним по длине.
Свойства сложения векторов
Замечание
Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: [overrightarrow +overrightarrow +overrightarrow + overrightarrow =overrightarrow ] 
Определение
Свойства произведения вектора на число
1. Сочетательный закон: (k(lambdaoverrightarrow )=(klambda)overrightarrow ) ;
Теорема
Если (M) – середина отрезка (PQ) , (O) – произвольная точка плоскости, то [overrightarrow =dfrac12 left(overrightarrow +overrightarrow right)]
Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать
Что значит начертить попарно неколлинеарные векторы?
Здравствуйте. Скажите пожалуйста, что значит, начертить попарно неколлинеарные векторы? Спасибо.
Добрый день. Коллинеарные – это значит параллельные. Например, если речь идёт о трёх попарно неколлинеарных векторах на плоскости, тогда можно, к примеру, начертить векторы, которые образуют треугольник. Здесь получается, что никакие два вектора не параллельны друг другу.
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
📸 Видео
Коллинеарные векторы.Скачать
№755 Начертите попарно неколлинеарные векторы а , b, с , d , е и, пользуясь правиломСкачать
№757. Начертите векторы х, у и z так, чтобы x↑↑y, x↑↓z . Постройте векторыСкачать
№777. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают.Скачать
Разложение вектора на неколлинеарные вектора.Скачать
№758. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы | а |≠| b |. Постройте векторыСкачать
№741. Начертите два неколлинеарных вектора а и b. Изобразите несколько векторов:Скачать
Коллинеарность векторовСкачать
№742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарныеСкачать
№775. Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадаютСкачать
Понятие вектора. Коллинеарные векторы.Скачать
Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
Вектор. Действия над векторами. Коллинеарные и неколлинеарные векторыСкачать
