- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
- 1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
- 2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
- 3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
- 4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
- 5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
- Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
- Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
- Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
- Формулировка теоремы о вписанной окружности
- Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
- 📺 Видео
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Равносторонний треугольник вписан в окружность. Найти площадь меньшего сегмента.Скачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
Видео:№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать
1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.
 |
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:
 | (1) |
где полупериметр p вычисляется из формулы:
 . | (2) |
Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:
| ( small p=frac ) ( small =frac, ) | (3) |
| ( small p-a=frac-a ) ( small =frac, ) | (4) |
| ( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. ) | (5) |
Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
 , |
 . | (6) |
Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):
 |
Ответ: 
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:
| ( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .) |
Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:
| ( small r=frac cdot mathrmfrac .) | (8) |
| ( small r=frac cdot frac .) | (9) |
Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):
 |
Ответ: 
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:
| ( small frac=frac<large frac>= cos beta .) |
| ( small a=2b cdot cos beta .) | (10) |
Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
| ( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac ) |
| ( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac ) | (11) |
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:
| ( small r=b cdot frac ) | (12) |
Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).
Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):
 |
Ответ: 
Видео:Геометрия В равнобедренный треугольник вписана окружность Точка касания делит боковую сторонуСкачать
4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :
 , | (13) |
 | (14) |
Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:
| ( small left( fracright)^2=b^2-h^2 ) |
| ( small a=2 cdot sqrt ) | (15) |
Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
| ( small S=frac cdot a cdot h. ) | (16) |
Подставим (15) в (16):
| ( small S=h cdot sqrt ) | (17) |
Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:
| ( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt ) | (18) |
Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
| ( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> ) | (19) |
Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):
 |
Ответ: 
Видео:Задание 26 ОГЭ по математике. Равнобедренный треугольник вписан в окружность, радиус которой равенСкачать
5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.
 |
Из формулы (15) найдем b:
| ( small b^2-h^2=left( frac right)^2 ) |
| ( small b^2= frac +h^2 ) |
| ( small b= frac cdot sqrt) | (20) |
Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:
| ( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >) |
| ( small r=large frac<a+ sqrt>) | (21) |
Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):
 |
Ответ: 
Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.
Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.
Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза
Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:
В треугольник можно вписать только одну окружность.
При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.
Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:
Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.
На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.
Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).
Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:
- Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
- Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.
Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать
Формулировка теоремы о вписанной окружности
В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.
На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.
Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.
📺 Видео
Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать
Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать
Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать
Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
