Как доказать что четырехугольник ромб

Если у четырехугольника все стороны равны

Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.

Как доказать что четырехугольник ромб

1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

Как доказать что четырехугольник ромб

2) Так как AB=BC (по условию), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA.

3) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и ∠DAC=∠DCA.

4) В треугольниках ABC и ADC:

Как доказать что четырехугольник ромб

AB=AD и BC=DC (по условию);

сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам).

5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA.

Поскольку эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

6) В четырехугольнике ABCD две стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).

А так как у него все стороны равны (по условию), то ABCD — ромб (по определению).

Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

Как доказать что четырехугольник ромб

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные углы ромба попарно равны;

(sim) соседние углы ромба в сумме дают (180^circ) ;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство

Рассмотрим ромб (ABCD) .

Как доказать что четырехугольник ромб

По определению ромба (AB = AD) , поэтому треугольник (BAD) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой (O) пересечения делятся пополам. Следовательно, (AO) – медиана равнобедренного треугольника (BAD) , а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому (ACperp BD) и (angle BAC = angle DAC) .

Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) . Пусть (ACperp BD) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – высота (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

2) Пусть (AC) – биссектриса угла (angle A) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – биссектриса (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

3) Пусть (ABCD) – произвольный четырехугольник и (AB=BC=CD=AD) .

Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба Как доказать что четырехугольник ромб

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Как доказать что четырехугольник ромб

Доказательство:

Пусть Как доказать что четырехугольник ромби Как доказать что четырехугольник ромб— диагонали ромба Как доказать что четырехугольник ромб(рис. 49), Как доказать что четырехугольник ромб— точка их пересечения. Поскольку Как доказать что четырехугольник ромби Как доказать что четырехугольник ромбто Как доказать что четырехугольник ромб— медиана равнобедренного треугольника Как доказать что четырехугольник ромбпроведенная к основанию Как доказать что четырехугольник ромбПоэтому Как доказать что четырехугольник ромбявляется также высотой и биссектрисой треугольника Как доказать что четырехугольник ромб

Следовательно, Как доказать что четырехугольник ромби Как доказать что четырехугольник ромб

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол Как доказать что четырехугольник ромба диагональ Как доказать что четырехугольник ромбделит пополам углы Как доказать что четырехугольник ромби Как доказать что четырехугольник ромб

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть Как доказать что четырехугольник ромб— диагональ ромба Как доказать что четырехугольник ромба Как доказать что четырехугольник ромб— его высота (рис. 50), Как доказать что четырехугольник ромб= 28°.

Как доказать что четырехугольник ромб

1) В Как доказать что четырехугольник ромб

2) Так как Как доказать что четырехугольник ромбделит угол Как доказать что четырехугольник ромбпополам, то Как доказать что четырехугольник ромбКак доказать что четырехугольник ромб

3) Тогда Как доказать что четырехугольник ромб

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть Как доказать что четырехугольник ромб— параллелограмм (рис. 48). Так как Как доказать что четырехугольник ромб(по условию) и Как доказать что четырехугольник ромб(по свойству параллелограмма), то Как доказать что четырехугольник ромбСледовательно, Как доказать что четырехугольник ромб— ромб.

2) Пусть Как доказать что четырехугольник ромб(рис. 49). Поскольку Как доказать что четырехугольник ромб(по свойству параллелограмма), то Как доказать что четырехугольник ромб(по двум катетам). Следовательно, Как доказать что четырехугольник ромбПо п. 1 этой теоремы Как доказать что четырехугольник ромб— ромб.

3) Диагональ Как доказать что четырехугольник ромбделит пополам угол Как доказать что четырехугольник ромбпараллелограмма Как доказать что четырехугольник ромб(рис. 49), то есть Как доказать что четырехугольник ромбТак как Как доказать что четырехугольник ромб Как доказать что четырехугольник ромб— секущая, то Как доказать что четырехугольник ромб(как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Как доказать что четырехугольник ромбПоэтому по признаку равнобедренного треугольника Как доказать что четырехугольник ромб— равнобедренный и Как доказать что четырехугольник ромбПо п. 1 этой теоремы Как доказать что четырехугольник ромб— ромб.

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть Как доказать что четырехугольник ромб(рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника Как доказать что четырехугольник ромбпопарно равны, то Как доказать что четырехугольник ромб— параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма Как доказать что четырехугольник ромбсоседние стороны равны. Поэтому Как доказать что четырехугольник ромб— ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Четырехугольники и окружность
  • Параллелограмм, его свойства и признаки
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник Определение прямоугольникаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник  Определение прямоугольника

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

Ромб. 8 класс.Скачать

Ромб. 8 класс.

Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

Ромб, признаки. 8 класс.

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ и их свойства+доказательство теорем/8 класс.Скачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ и их свойства+доказательство теорем/8 класс.

Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Прямоугольник. 8 класс.

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Ромб и его свойства доказательствоСкачать

Ромб и его свойства   доказательство
Поделиться или сохранить к себе: