Известно что около четырехугольника

Известно что около четырехугольника

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.

Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Решение №1222 Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АD и ВС …

Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и КСD подобны.

Источник: ОГЭ Ященко 2021 (36 вар)

Известно что около четырехугольника

В ΔКАВ и ΔКСD ∠К общий.
Четырёхугольник АВСD вписан в окружность сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180º
∠ABC = 180º – ∠ADC

∠ADC и ∠СDK смежные их сумма равна 180º:

∠ADC + ∠СDK = 180º
∠СDK = 180º – ∠ADC

Из этих двух равенств получаем:

∠ABC = ∠СDK

Тогда ΔКАВ и ΔКСD подобны по двум равным углам.
Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжениеСкачать

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Известно что около четырехугольникаДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Известно что около четырехугольника

Известно что около четырехугольника

Известно что около четырехугольника

Известно что около четырехугольника

Известно что около четырехугольника

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Известно что около четырехугольникаПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Известно что около четырехугольникаПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

🎬 Видео

Задача 25 ОГЭ Математика 2 ЯщенкоСкачать

Задача 25 ОГЭ Математика 2 Ященко

ОГЭ по математике. Задача 25-2Скачать

ОГЭ по математике. Задача 25-2

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Подобие || ОГЭ по математике №24Скачать

Подобие || ОГЭ по математике №24

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

5 Описанная окружность около четырехугольника. СвойствоСкачать

5 Описанная  окружность около четырехугольника. Свойство

Окружность, описанная около четырёхугольникаСкачать

Окружность, описанная около четырёхугольника

Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 26 Вписанный четырёхугольник

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.
Поделиться или сохранить к себе: