Какие отрезки являются радиусами окружности

Как найти радиус окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:№143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрамиСкачать

№143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Видео:№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Какие отрезки являются радиусами окружности

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Какие отрезки являются радиусами окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Какие отрезки являются радиусами окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Какие отрезки являются радиусами окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Какие отрезки являются радиусами окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Какие отрезки являются радиусами окружностиТеорема о бабочке

Какие отрезки являются радиусами окружности

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКакие отрезки являются радиусами окружности
КругКакие отрезки являются радиусами окружности
РадиусКакие отрезки являются радиусами окружности
ХордаКакие отрезки являются радиусами окружности
ДиаметрКакие отрезки являются радиусами окружности
КасательнаяКакие отрезки являются радиусами окружности
СекущаяКакие отрезки являются радиусами окружности
Окружность
Какие отрезки являются радиусами окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКакие отрезки являются радиусами окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКакие отрезки являются радиусами окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКакие отрезки являются радиусами окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКакие отрезки являются радиусами окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКакие отрезки являются радиусами окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКакие отрезки являются радиусами окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКакие отрезки являются радиусами окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКакие отрезки являются радиусами окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКакие отрезки являются радиусами окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКакие отрезки являются радиусами окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКакие отрезки являются радиусами окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Какие отрезки являются радиусами окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКакие отрезки являются радиусами окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКакие отрезки являются радиусами окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКакие отрезки являются радиусами окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКакие отрезки являются радиусами окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКакие отрезки являются радиусами окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКакие отрезки являются радиусами окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Какие отрезки являются радиусами окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКакие отрезки являются радиусами окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКакие отрезки являются радиусами окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКакие отрезки являются радиусами окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКакие отрезки являются радиусами окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Какие отрезки являются радиусами окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Пересекающиеся хорды
Какие отрезки являются радиусами окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Какие отрезки являются радиусами окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Какие отрезки являются радиусами окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Какие отрезки являются радиусами окружности
Пересекающиеся хорды
Какие отрезки являются радиусами окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Какие отрезки являются радиусами окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Тогда справедливо равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Какие отрезки являются радиусами окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Какие отрезки являются радиусами окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Какие отрезки являются радиусами окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🔥 Видео

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)
Поделиться или сохранить к себе: