Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур

Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1. Все подмножества, образующие разбиение, не пусты.
2. Любые два таких подмножества не пересекаются.

1. Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают.

Символическая запись этого определения следующая.

Совокупность подмножеств А₁, А₂, . А_пназывается разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия:

1. А_i , i = 1, 2,…, n.
2. A_iA_j = , i, j = 1, 2, …,n; i  j.
3. A₁A₂…A_n = A

Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.

Учащийся из множества четырехугольников выделил подмножества трапеций, параллелограммов и прямоугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?

Пусть А – множество четырехугольников. А₁ – множество трапеций А₂ – множество параллелограммов, А₃ – множество прямоугольников.

Разбиение множества А на классы произойдет, если будут выполнены условия (1, 2, 3).

1. А_i, где i = 1, 2, 3, т.к. каждое множество содержит хотя бы по oдной фигуре.

Второе условие не выполняется, значит разбиения множества на классы не произошло.

На какие классы разбивается множество натуральных чисел, если использовать такие свойства: «делится на 2» и «быть однозначным»?

Обозначим через А множество четных натуральных чисел, В – множество однозначных чисел, N–множество натуральных чисел. Заметим, то А  В , т.к. некоторые четные числа являются однозначными, а некоторые однозначные числа – четными. Далее с помощью кругов Эйлера изобразим множества А, В, Nи выделим классы разбиения. Из рисунка видим, что их 4. Охарактеризуем каждый из них.

I – множество четных однозначных натуральных чисел.

II – множество четных неоднозначных натуральных чисел.

III – множество нечетных однозначных натуральных чисел.

IV – множество нечетных неоднозначных натуральных чисел.
Упражнения

93. Из множества Р = выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком случае произошло разбиение множества Р на классы:

94. Множество А состоит из 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; множество В – его подмножество, состоящее из чисел, которые делятся на 3; множество С – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1; множество D – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Можно ли утверждать, что множество А разбивается в этом случае на попарно непересекающиеся подмножества В, С и D? Произошло ли разбиение множества на классы, если да, то сколько классов?

95. На координатной прямой выделены два множества: (–;2) и (2; +). Можно ли утверждать, что множество действительных чисел разбито на два класса? Можно ли разбить множество точек координатной прямой на 3 класса? на 4 класса? Ответ проиллюстрируйте на примере.

96. Выясните, в каких случаях классификация выполнена верно:

а) треугольники делятся на прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные;

б) углы классифицируются на острые, прямые и развернутые;

в) целые числа можно разбить на натуральные числа, число 0 и отрицательные целые числа;

г) глаголы русского языка делятся на глаголы настоящего, прошедшего и будущего времени;

д) члены предложения бывают главные и второстепенные.

97. Из множества Т треугольников выделили два подмножества: X– подмножество прямоугольных треугольников и Y – подмножество равнобедренных треугольников. Постройте для данных множеств круги Эйлера; установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество Т, и все множества, изображенные этими областями, задайте описанием характеристического свойства. При помощи скольких свойств произведено разбиение множества треугольников на классы?

98. Разбейте множество четырехугольников на классы: а) по какому-либо одному свойству; б) по двум свойствам. Укажите эти свойства, для каждого случая постройте круги Эйлера, установите число непересекающихся областей и выясните, какие множества изображаются этими областями.

99. Множества Р ромбов, Т треугольников и К многоугольников, имеющих угол 30°, являются подмножествами множества М многоугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М, и для всех множеств, изображенных этими областями, укажите характеристическое свойство.

100. Из множества треугольников выделены подмножества прямоугольных, равнобедренных и тупоугольных треугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?

101. Произведите разбиение на классы множества целых чисел, используя свойства «быть кратным 4» и «быть кратным 5».

102. Укажите классы разбиения множества треугольников, которые получаются при рассмотрении таких свойств, как «иметь хотя две равные стороны» и «иметь прямой угол».

103. Из множества четырехугольников выделили следующие подмножества: а) прямоугольников, не являющихся ромбами; б) ромбов не являющихся прямоугольниками; в) квадратов; г) четырехугольников, не являющихся ни ромбами, ни прямоугольника. Произошло ли разбиение множества на классы?

104. Истинно ли высказывание: «Параллелограммы делятся на прямоугольники, ромбы и квадраты»? Почему?

105. На множестве геометрических фигур плоскости выделены множества фигур, имеющих: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) не имеющих ни центра, ни оси симметрии. Можно ли считать, что произошло разбиение множества на классы?

106. Произведите разбиение множества целых чисел на классы используя такие свойства: «быть однозначным числом» и «быть двузначным числом».

107. Укажите, какие классы разбиения получаются при рассмотрении на множестве треугольников таких свойств: «иметь тупой угол» и «все углы острые».

108. Произошло ли разбиение множества натуральных чисел на классы, если из него выделены подмножества чисел, делящихся на три чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1?

109. Установите, правильны ли следующие классификации:

а) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;

б) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами;

в) треугольники бывают равносторонними и неравносторонними;

г) четырехугольники делятся на параллелограммы и трапеции.

110. Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 4. Постройте круги Эйлера для множеств N, А и В; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N; укажите характеристические свойства этих множеств.

111. Из множества параллелограммов выделили подмножество прямоугольников и подмножество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. Можно ли утверждать в данном случае, что множество параллелограммов разбито на 3 попарно непересекающихся подмножества: квадраты; прямоугольники, не являющиеся квадратами; параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками?
6. ДЕКАРТОВО УМНОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В назы­вают множество АВ, элементами которого являются все пары(х,у), такие, что х  А, уВ, т.е. АВ = .

Найдем, например, декартово произведение множеств А = <1,3> и В =.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведе­ние, называют декартовым умножением множеств.

Декартово умножение множеств не обладает ни свойством комму­тативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:

для любых множеств А, В, С имеют место равенства:

Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.

Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:

В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.

АВ = . Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А, а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.

В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2, либо 6, а вторая компонента – действительное число из промежутка [1,4].

Все пары, первая компонента которых есть число 2, а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6, а вторая – любое действительное число из промежутка [1,4], – точками отрезка РS(рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и РS.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому,первой компонентой пар, принадлежащих множеству АВ, является любое число из промежутка [2, 6]. Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕL(рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.
Контрольные вопросы

1. Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:

а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А =, а знаменателем – число из множества В = <5,6, 7>.

б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.

1. Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо раве­нство (АВ)С = (АС)(ВС). Проиллюстрируйте его выпол­нимость для множеств А= ,В=, С = .
2. Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = и В = R
3. Определите, декартово произведение каких множеств А и В изо­бражено на рисунке 10.

112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = , а цифры единиц – множеству В = .

113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= <3, 5, 7>, а знаменатель – из множества В= .

114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = , а знаменатель – из множества В= <4, 6,8>.

116.Известно, что АВ = . Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

119. Известно, что АВ = . Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

120. Найдите декартово произведение множеств А = и В = и выделите из него подмножество пар, в которых:

а) первая компонента больше второй; б) первая компонента равна 5; в) вторая компонента равна 7.

121. Перечислите элементы, принадлежащие декартову произ­ведению множеств А, В и С, если:

122. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова про­
изведения множеств А и В, если:

125. Фигуры, приведенные на рис. 14, являются результатом изображения на координатной плоскости декартова произведения множеств X и Y. Укажите для каждой фигуры эти множества.

126. Выясните, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полуплоскости. Рассмотрите все случаи.

127. Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде прямого угла, который образуется при пересечении координатных осей.

128. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

129. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОY и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

130. На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2, 0) и (2, 0) и параллельными оси ОY. Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.

131. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого служат точки А (–3, 5), В (–3, 8), С (7, 5), D(7, 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.

132. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

133. На координатной плоскости изобразите элементы декартова произведения множеств XиY, если:

а) X = R, Y = ; б) X = R, Y = [–3; 3]; в) X = [0; ), Y = (, 0].

134. На координатной плоскости постройте фигуру F, если

135. Постройте прямоугольник с вершинами в точках (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Укажите характеристическое свойство точек, принадлежащих этому прямоугольнику.

136. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОХ и проходящие через точки (2, 3) и (2, –1). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.

137. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОY и проходящие через точки (2, 3) и (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.

138. Изобразите в прямоугольной системе координат множество XY, если:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Учебник. Демидова 3 класс 2 часть. Страница 49

2.19 Высказывания со словами ВСЕ, НЕ ВСЕ, НИКАКИЕ, ЛЮБОЙ, КАЖДЫЙ

3. Костя сделал рисунок множеств.

Какое из множеств является подмножеством другого? Почему?

Множество «Розы» и множество «Ромашки» являются подмножествами множества «Цветы», поскольку и розы и ромашки являются цветами.

Какое из множеств не является подмножеством другого? Почему?

Множество «Цветы» не является подмножеством множеств «Ромашки» или «Розы», поскольку далеко не все цветы являются ромашками или розами, существуют и другие цветы.

Также множество «Розы» не является подмножеством «Ромашки» и наоборот «Ромашки» не являются подмножеством «Розы», поскольку розы — это не ромашки, а ромашки — это не розы. Можно сказать, что эти множества не пересекаются, поскольку у них нет ни одного общего элемента.

Составьте для этих множеств истинные высказывания:

а) все ромашки — … ;

ВСЕ ромашки — цветы. (Это значит, что все без исключения ромашки являются цветами и это действительно так)

б) все … -цветы;

ВСЕ розы — цветы. (Это значит, что все без исключения розы являются цветами и это действительно так)

в) не каждый цветок — … ;

НЕ КАЖДЫЙ цветок — роза. (Это значит, существуют цветы, не являющиеся розами. Действительно, васильки, одуваньчики, гладиолусы и миллионы других видов цветов не являются розами)

г) никакие розы — не … .

НИКАКИЕ розы — не ромашки. (Это значит, что ни одну из роз нельзя назвать ромашкой. Действительно, розы и ромашки — это совершенно разные виды цветов. Логическое высказывание «НИКАКИЕ розы — не ромашки» звучит немного не по-русски, но это общепринятая установившаяся форма логического высказывания. Её надо просто запомнить)

Какие ещё высказывания можно составить к этим множествам?

НИКАКИЕ ромашки — не розы.

НЕ ВСЕ цветы — ромашки.

НЕ ВСЕ цветы — розы.

ЛЮБЫЕ розы — цветы.

КАЖДАЯ ромашка — цветок.

4. Найдите рисунки множеств, которые соответствуют ложным высказываниям.

На рисунке показано, что множество «Вороны» является подмножеством «Галки». Если верить рисунку, то можно составить высказывание: «ВСЕ вороны — галки», что не соответствует истине. То есть этот рисунок соответствует ложному высказыванию.

На рисунке показано, что множество «Зайцы» множество «Тигры» являются подмножествами множества «Животные». Если верить рисунку, то можно составить высказывание: «ВСЕ зайцы и тигры — животные», что соответствует истине. То есть этот рисунок соответствует истиному высказыванию.

На рисунке показано, что множество «Четырехугольники» является подмножеством множества «Прямоугольники» и, в свою очередь, множество «Прямоугольники» является подмножеством множества «Квадраты».

Если верить рисунку, то можно составить высказывания: «ВСЕ четырехугольники — прямоугольники», «ВСЕ прямоугольники — квадраты» и «ВСЕ четырёхугольники — квадраты». Ни одно из этих высказываний не соответствует истине. То есть этот рисунок соответствует ложным высказываниям.

Ответ: рисунки а) и в).

5. а) Выполните деление с остатком.

б) Вычислите:

6. Найдите значение выражений при a — b = 240.

Придумайте задачу к одному из выражений.

Вертолет летит на 240 км/ч быстрее автомобиля. На сколько быстрее автомобиля будет лететь вертолёт, если и автомобиль, и вертолёт увеличат скорость на 60 км/ч?

Решение. Пусть скорость вертолёта a км/ч, а скорость автомобиля b км/ч. Тогда a — b = 240.

Если и автомобиль, и вертолёт прибавят скорость на 60 км/ч, то можем составить выражение:

(a + 60) — (b + 60) = a + 60 — b — 60 = (a — b) + (60 — 60) = (a — b) + 0 = a — b = 240 (км/ч).

Ответ: Вертолёт будет лететь быстрее автомобиля все также на 240 км/ч.

7. Для циркового номера «Собака-математик» Витя вырезал из золотой фольги некоторое число четырёхугольников. Третью часть этих четырёхугольников составляли прямоугольники, а 1/8 этих прямоугольников — 4 квадрата. Сколько четырёхугольников вырезал Витя из золотой фольги?
1) 4 • 8 = 32 (фигуры) — прямоугольники.

📺 Видео

Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебраСкачать

Подмножество. 5 класс.Скачать

ПОДМНОЖЕСТВА. Операции над множества. §14 алгебра 8 классСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Как изображать множества на диаграммахСкачать

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Математика. 3 класс. Множества. ПодмножестваСкачать

Множество. Элементы множества. 5 класс.Скачать

Этой задачей русские дети 10 лет мучили американцев. Американцы не понимали, что делают не такСкачать

Выписать подмножества множестваСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№38 - Множества чисел.)Скачать

Подмножество. Видеоурок по алгебре 9 классСкачать

Теорема КантораСкачать

Подмножества Математика 3 классСкачать

Как бы вы изменились в четырехмерном пространстве?Скачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

5 класс Математика. 2.2. Подмножества. Дополнение множествСкачать

#211. ГИПЕРКУБ и четвертое измерениеСкачать