Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

Радиус и диаметр окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Свойство диаметров одной окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Свойство радиусов и диаметров одной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойство радиусов и диаметров одной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Свойство радиусов и диаметров одной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство радиусов и диаметров одной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство радиусов и диаметров одной окружностиТеорема о бабочке

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойство радиусов и диаметров одной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойство радиусов и диаметров одной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойство радиусов и диаметров одной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойство радиусов и диаметров одной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Пересекающиеся хорды
Свойство радиусов и диаметров одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойство радиусов и диаметров одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойство радиусов и диаметров одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойство радиусов и диаметров одной окружности
Пересекающиеся хорды
Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Тогда справедливо равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Свойство радиусов и диаметров одной окружности

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства окружности

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

    Теорема о касательной и секущей

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

    Теорема о секущих

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

    Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    Углы в окружности

    Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Свойства углов, связанных с окружностью

    Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

    Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

    Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

    Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

    8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

    Длины и площади

    Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

    Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

    Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

    Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

    Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

    РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

    Вписанные и описанные окружности


    Окружность и треугольник

    центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

    где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

    центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

    здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

    Окружность и четырехугольники

    около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

  • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
  • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
  • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Свойства касательныхСкачать

    Свойства касательных

    Что такое окружность: определение, свойства, формулы

    В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

    Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

    Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

    Определение окружности

    Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

    Свойство радиусов и диаметров одной окружности

    Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

    Диаметр окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

    Свойство радиусов и диаметров одной окружности

    Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Свойства окружности

    Свойство 1

    Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

    Свойство 2

    Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

    Свойство радиусов и диаметров одной окружности

    Свойство 3

    Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Формулы

    1. Диаметр окружности (d):

    🎦 Видео

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия
  • Поделиться или сохранить к себе: