Используя векторы докажите что середины диагоналей четырехугольника и точка пересечения

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника касательно точки их пересечения, соотношения с диагоналями и т.д.

Примечание: далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Определение средней линии четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т.е. не пересекающий их), называется его средней линией.

• EF – средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
• GH – средняя линия, сеодиняющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.

Видео:№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать

Свойства средней линии четырехугольника

Свойство 1

Средние линии четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Примечание: Точка O является центроидом (или барицентром) четырехугольника.

Свойство 2

Точка пересечения средних линий четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

Свойство 3

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, который называется параллелограммом Вариньона.

Центром образованного таким образом параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей является середина средних линий исходного четырехугольника, т.е. точка их пересечения – O.

Примечание: Площадь параллелограмма равняется половине площади четырехугольника.

Свойство 4

Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, значит диагонали имеют одинаковую длину.

Свойство 5

Средняя линия четырехугольника меньше или равна полусумме непересекающих ее сторон (при условии, что данные стороны параллельны).

EF – средняя линия, не пересекающаяся со сторонами AD и BC.

Иначе говоря, средняя линия четырехугольника равняется половине суммы не пересекающих ее сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В этом случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.

Свойство 6

Для вектора средней линии произвольного четырехугольника выполняется следующее равенство:

Видео:№ 908 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

Используя векторы докажите что середины диагоналей четырехугольника и точка пересечения

Докажите, что если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Решение . Заметим, что и тем самым, так как и векторы и коллинеарны.

Аналогично, коллинеарны векторы и при и Тогда четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Докажите, что средние линии любого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.

Решение . Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD, точки M, N, P и Q — середины его сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Введём векторы как показано на рисунке: пусть а Ясно, что по правилу сложения векторов

Выразим векторы и через векторы и

Пусть O — середина MP, тогда

По правилу сложения векторов таким образом, подставляя выражение этих векторов через векторы и окончательно получим:

Таким образом, убедились, что середина MP является серединой NQ, а значит, точкой пе-ресечения эти отрезки делятся пополам.

Следствие. Заметим, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом. Такой параллелограмм называется параллелограммом Вариньона.

Сформулируем важное свойство четырёхугольников: для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам.

Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, проходят через точку пересечения диагоналей.

Решение . Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в одной точке со средними линиями. Введём обозначения, как показано на рисунке. По правилу сложения векторов имеем: и Тогда а значит, Аналогично для следовательно, тем самым, Получается, две стороны четырёхугольника равны и параллельны, а значит, ABCD — параллелограмм.

Видео:№797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.Скачать

Презентация внеклассного занятия по геометрии «Бимедианы четырехугольника. Теорема Вариньона в теориях и задачах»

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Конспект внеклассного занятия по геометрии 8 класс «Бимедианы четырёхугольника. Теорема Вариньона в теории и задачах» Автор:: Ковалева Людмила Леонидовна учитель математики, высшей квалификационной категории, «Почётный работник общего образования РФ», МБОУ «СОШ №77» г.Кемерово

Актуальность темы: 1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств. 2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. 3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике. 4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .

Цель работы: Расширить свой кругозор, узнать новую информацию из раздела геометрии, познакомиться с теоремой Вариньона и научиться применять её на практике. Объект исследования: Теорема Вариньона Предмет исследования: геометрия

Задачи: 1. Изучить теоретический материал: ознакомиться с понятием “параллелограмм Вариньона”, рассмотреть способы решения задач по данной теореме, вывести доказательство и сделать следствие по теореме Вариньона. 2. Сравнить способы решения с помощью обыденного решения задач, и используя теорему Вариньона. 3. Показать наглядно способы решения на примере конкурсных и олимпиадных заданий, применяя теорему Вариньона.

Вариньон Пьер. Вариньон Пьер(1654-1722)-выдающийся механик и учёный, член Французской Академии Наук(с 1688 г.). Изучал философию, математику в частности. Место рождения-Каен. Главнейшие научные заслуги Вариньона относятся к механике. Вариньон исходя из принципа равновесия рычага, начала параллелограмма сил и применяя теорему моментов, выводит условия равновесия всех простых машин. Является первым учёным, который доказал, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Основные теоретические сведения. Определение. Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

Теорема Вариньона Параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона Середины сторон четырёхугольника называют вершинами параллелограмма. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Теорема Вариньона. Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника. Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND Доказать: 1) KLMN – параллелограмм; 2) SKLMN= SABCD/2

Доказательство: Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника, т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2. Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы. Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD Доказать: KLMN – ромб а) диагонали равны (см. рис. 2.1.) б) бимедианы перпендикулярны (см. рис. 2.2). Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; KM и LN перпендикулярны Доказать: KLMN – ромб

Следствия из теоремы. Следствие 2.1. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны (см. рис 3.1.); Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника). б) бимедианы равны (см. рис. 3.2.). Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Следствия из теоремы. Следствие 2.2. Бимедианы четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Доказательство. Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD. То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, .1 и 5.2); обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника). Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:LQ║CD║PN и PL║AB║NQ. Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы. Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4.1.); Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата). б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4.2.). Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Следствия из теоремы. Следствие 3.(теорема Эйлера). Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть .

Следствия из теоремы. Следствие 4.(теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны. Доказательство: Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем: Что и требовалось доказать

Разбор задач задачи из школьного курса геометрии Задача 1. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Решение. параллелограмм; со сторонами параллелограмм; со сторонами и Ответ: Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Разбор задач задачи из школьного курса геометрии Задача 2. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решение. См. теорему Вариньона.

Конкурсные задачи. Задача 3. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: SABCD= KM*LN Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать

Конкурсные задачи. Задача 5. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

Конкурсные задачи. Задача 5. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

Конкурсные задачи. Задача 4. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: SABCD= KM*LN Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать

Задача 6 Задача 7 Задача 8 На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки так, что Докажите, что и точка A находится между и B, точка B – между и C, точка C – между и D, точка D – между и A Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD . Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке

Заключение «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер. Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Заключение Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается больше времени, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает наименьшее время. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет около 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных задач. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой, задачи решены.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

Список литературы: Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50 В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2008. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996. Интернет-ресурсы easymath.com.ua/ Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с. Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 — №22.

интернет — ресурсы шаблона: images.yandex.ru luzan.ucoz.ru shimrg.rusedu.net

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 338 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .

• Ковалева Людмила ЛеонидовнаНаписать 1548 31.05.2019

Номер материала: ДБ-609669

31.05.2019 135

31.05.2019 138

30.05.2019 2123

30.05.2019 153

30.05.2019 165

30.05.2019 99

30.05.2019 75

30.05.2019 335

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📸 Видео

№750. Докажите, что если векторы АВ и СD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают.Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задачСкачать

№569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллеленСкачать

№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являютсяСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать

9 вариант ЕГЭ Ященко 2024 математика профильный уровеньСкачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Середины диагоналей трапеции. (Полуразность оснований)Скачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать