Использование координат и векторов в решении математических

Методическая разработка темы «Координаты и векторы» по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов 1 курса специальности 34.02.01 Сестринское дело

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

Рассмотрено ЦМК общеобразовательных, общих гуманитарных, социально-экономических, математических и общих естественнонаучных дисциплин

Председатель ________ / _______________/

«_____» ____________ 2019 г.

темы «Координаты и векторы»

по учебной дисциплине

«Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия»

для студентов 1 курса

по специальности 34.02.01 Сестринское дело

Организация-разработчик: Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижнеудинское медицинское училище».

Быкова Н.Г. – преподаватель математики, высшая квалификационная категория

Данная методическая разработка предназначена для проведения учебных занятий по теме «Координаты и векторы» в соответствии с рабочей программой по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для специальности 34.02.01 Сестринское дело.

На изучение данной темы отводится 10 часов по рабочей программе

Прямоугольная система координат в пространстве. 2ч

Расстояния между двумя точками 2ч

Методическая разработка содержит информационный материал в виде опорного конспекта, задания для исходного уровня знаний и контролирующего материала для закрепления знаний, а так же задания для внеаудиторной самостоятельной работы.

Тема: «Прямоугольная система координат в пространстве»

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение: раздаточный материал.

Место проведения: учебный кабинет.

Ввести понятия: Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

• Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен уметь:

Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Понятие вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

1. Организационный момент

Проверка внешнего вида студентов, отметка отсутствующих

Готовятся к занятию

2.Опеделение целей занятия. Мотивация темы.

Сообщение темы и цели занятия, плана его проведения. Мотивация цели занятия

Слушают, записывают в тетради тему занятия

3.Определение исходного уровня знаний

Отвечает на вопросы с места,

4.Изучение нового материала

Излагает новый материал

Слушают, конспектируют в тетради

5.Закрепление нового материала. Контроль конечного уровня знаний.

Демонстрирует задания, активизирует деятельность студентов, корректирует ответы

6.Рефлексия. Подведение итогов занятия.

Оценивается работа группы и в целом и каждого студента с обоснованием оценок

Анализируют свою работу

7. Домашнее задание

Задает и комментирует домашнее задание

Записывают задание на дом

1. Действия над векторами в координатной форме.
2. Сложение, вычитание векторов.
3. Правило параллелограмма.
4. Даны векторы и Постойте векторы:

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси ( Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x a , y a ) и B(x b , y b ) на плоскости:

AB = √(x b — x a ) 2 + (y b — y a ) 2

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x a , y a , z a ) и B(x b , y b , z b ) в пространстве:

AB = √(x b — x a ) 2 + (y b — y a ) 2 + (z b — z a ) 2

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2)

Найти длину вектора a = .

Найти длину вектора a = .

Найти координаты вектора = , если А (-1; -2), В (4; 5)

Запишите координаты вектора: = 2 +4 -3 , = -3 -2 +2 , = — , = 3 , =- —

Запишите координаты вектора: = 3 +2 -5 , = -2 -3 +4 , = — , = 2 , =- +

Даны векторы , , , запишите разложение этих векторов по координатным векторам , , .

Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника ABC.

Выразить через единичные векторы и следующие векторы:

1) = (-2; 4) 2) = , А (-2; -1), В (4; -3)

1. Выучить формулы

2. Выполнить задание

Вершины треугольника имеют координаты А( -1; 1), В(1; -1), С(0; 4). Найдите длины сторон треугольника ABC.

3. Самостоятельная работа

Подготовить реферат на тему «Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»

Занятие №2. Расстояния между двумя точками

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение: раздаточный материал.

Место проведения: учебный кабинет.

Ввести понятия: Формула расстояния между двумя точками. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

• Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен уметь:

Применять теорию при решении задач на применения формулы расстояния между двумя точками, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Формула расстояния между двумя точками. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

1. Организационный момент

Проверка внешнего вида студентов, отметка отсутствующих

Готовятся к занятию

2.Опеделение целей занятия. Мотивация темы.

Сообщение темы и цели занятия, плана его проведения. Мотивация цели занятия

Слушают, записывают в тетради тему занятия

3.Определение исходного уровня знаний

Приложение № 2. 1

Отвечает на вопросы с места

4.Изучение нового материала

Излагает новый материал

Слушают, конспектируют в тетради

5.Закрепление нового материала. Контроль конечного уровня знаний.

Приложение № 2. 3

Демонстрирует задания, активизирует деятельность студентов, корректирует ответы

6.Рефлексия. Подведение итогов занятия.

Оценивается работа группы и в целом и каждого студента с обоснованием оценок

Анализируют свою работу

7. Домашнее задание

Задает и комментирует домашнее задание

Записывают задание на дом

1. Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

2. Формулы вычисления расстояния между двумя точками

1. Выучить определения и формулы

2. Объясните, как задаются точки в пространстве?

∙ Какие прямые называются координатными осями?

∙ Формула расстояния между двумя точками, заданными координатами в пространстве .

Занятие №3 . Векторы.

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение: раздаточный материал.

Место проведения: учебный кабинет.

Ввести понятия: Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

• Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен уметь:

Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Понятие вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

1. Организационный момент

Проверка внешнего вида студентов, отметка отсутствующих

Готовятся к занятию

2.Опеделение целей занятия. Мотивация темы.

Сообщение темы и цели занятия, плана его проведения. Мотивация цели занятия

Слушают, записывают в тетради тему занятия

3.Определение исходного уровня знаний

Отвечает на вопросы

4.Изучение нового материала

Излагает новый материал

Слушают, конспектируют в тетради

5.Закрепление нового материала. Контроль конечного уровня знаний.

Приложение № 3 .3

Демонстрирует задания, активизирует деятельность студентов, корректирует ответы

6.Рефлексия. Подведение итогов занятия.

Оценивается работа группы и в целом и каждого студента с обоснованием оценок

Анализируют свою работу

7. Домашнее задание

Приложение № 3. 4

Задает и комментирует домашнее задание

Записывают задание на дом

1. вектор в пространстве,
2. длина по координатам начала и конца вектора
3. основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число
4. коллинеарные
5. компланарные векторы.

В наши дни понятие «вектор» постоянно встречается в газетных и журнальных публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованного человека. Термин «вектор» ввел в науку в середине XIX в. выдающийся ученый Уильям Гамильтон (1805-1865), профессор астрономии в Дублинском университете и королевский астроном Ирландии. Механика и астрономия дали важнейший импульс процессу создания векторного исчисления, где впервые были изучены векторные величины — сила и скорость. Еще в школе Аристотеля был введен термин «сложение движений», т. е. скоростей и астрономы средневекового Востока постоянно использовали «сложение движений». В 1844 г. в первой публикации по теории кватернионов Гамильтон ввел термин «вектор», образовав его от латинского слова «vehere» — «нести». Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносу подвижной точки из начального положения в конечное».

Так в геометрии трудами многих ученых к середине XIX в. была создана теория направленных отрезков, включающая операции сложения и вычитания, умножения на число, отыскания длин отрезков и углов между ними.

В курсе 9 класса вы изучали векторы на плоскости.

Перед нами стоит задача – дать определение вектора в пространстве, научиться находить его длину по координатам начала и конца вектора и рассмотреть основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, а также рассмотреть коллинеарные и компланарные векторы.

Поставленную перед нами задачу мы будем решать на основе сравнительного анализа и установления закономерностей: как давались определения вектора и операций над векторами на плоскости и как они формулируются для векторов в пространстве. На каждой парте лежат опорные конспекты, правую часть которых необходимо заполнить учащимся, пользуясь материалом учебника.

Видео:8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задачСкачать

Определение вектора

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают. Нулевой вектор обычно обозначается как 0.Длина нулевого вектора равна нулю.

Видео:Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами . (рис. 5).

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины: a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

Единичный вектор

Единичным вектором или ортом — называется вектор, длина которого равна единице.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a x 2 + a y 2

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √a x 2 + a y 2 + a z 2

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = и b = можно найти воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = и b = можно найти воспользовавшись следующими формулами:

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:

Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: и .

Дан вектор ( -1; -2). Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А:

Перпендикулярны ли векторы:

1) (-2;3) и (-1;2); 2) (4;-1) и (3;12); 3) (3,5; 2; -1) и (4; -1,25; 0,5); 4) (2; 3; -5) и (-1; 4; 2).

Коллинеарны ли векторы:

1) (1;2) и (-2;-4); 2) (1;-1;2) и (2; 2;-4);

3) и , если А (8;2), В (3;4), С (11;7), D (21, 19).

Найти сумму векторов a = и b = .

Найти сумму векторов a = и b = .

Найти разность векторов a = и b = .

Найти разность векторов a = и b = .

Найти произведение вектора a = на 3.

Найти произведение вектора a = на -2.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Выучить определения и формулы

Видео:🔹📐 ВЕКТОР и его Координаты 🔹📐Скачать

Ответить на вопросы:

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Коллинеарные вектора

Видео:Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

Сонаправленные вектора

2. Выполнить задание

Найти сумму векторов a = и b = .

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний

Вид занятия: практическое занятие

Оснащение: раздаточный материал.

Место проведения: учебный кабинет.

Обобщение понятий: Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

• Воспитание умения слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен уметь:

Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Понятие вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тип занятия: закрепления изученного материала

Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

Применение векторов и координат для решения задач

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Применение векторов и координат для решения задач

Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется векторный метод.

Вы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель нашей работы: научиться применять знания для решения задач. Здесь большое значение имеет опыт: чем с большим числом приемов решений и доказательств вы ознакомились – тем “мощнее” ваш арсенал.

Дадим несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты:

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить геометрическое место точек (т. е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие некоторому условию);

В-третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

Вооружившись этими советами и повторив материал по школьному учебнику геометрии[1], вы можете двигаться дальше. В следующем параграфе изложен материал, который не включен в школьный учебник, но может быть весьма полезен нам в дальнейшем.

§2 Свойства и теоремы о векторах и координатах на плоскости

п.1. Разные способы определения координат точки на плоскости

1.1. В математике используется два способа введения координат. В первом случае используются понятия: “систе­ма координат”, “координатные оси”, “координаты точки”. Тогда координаты точки определяются как координаты ее проекций на координатные оси (ОХ) и (OY). Аналогично определяются и координаты вектора. Остановимся на этом по подробнее: В прямоугольной системе координат векторы , и отложим от точки О – начала координат (см. Рис. 1). В этом случае координаты вектора совпадают с координатами точки А в рассматриваемой системе координат. Поэтому координаты вектора вычисляются как координаты его конца – точки А.

Во “взрослой” математике применяется другой способ определения координат точки. Познакомимся с ним. Рассмотрим вектор, начало которого находится в начале координат, а конец – в некоторой точке А. Вектор называют радиус-вектором точки А. Коэффициенты разложения радиус-вектора по векторам и мы и будем называть координатами точки А.

Такое определение может показаться ненужным, с его помощью координаты построенной на чертеже точки не найдешь. Но оно позволяет применять аппарат векторной алгебры для работы с координатами точек. В этом читатель может убедиться, познакомившись с примерами.

Пример 1. Пусть нам даны координаты точек М1 и М2: М1(х1; у1), М2(х2; у2). Надо найти координаты точки М, такой, что (где λ – некоторое действительное число, не равное -1).

Решение: При изучении темы “Векторы” в 8 классе вы узнали, что для любой точки О и указанных выше точек М1, М2 и М имеет место векторное равенство:

(2.1)

Выберем точку О так, чтобы она совпала с началом координат. Тогда векторы , и и будут радиус-векторами точек М1, М2 и М и их координаты будут совпадать с координатами самих точек.

Применим к уравнению (2.1) известные правила действий над векторами в координатах. Мы получим для координат (х; у) вектора следующие выражения:

(2.2)

Так как координаты радиус-вектора равны координатам точки, то формулы (2.2) дают нам искомое решение.

Следующий пример показывает, как можно задать координаты точек, лежащих на некоторой прямой.

Пример 2. Пусть нам известны координаты двух разных точек А и В (А(х1; у1), В(х2; у2)). Требуется выразить через них координаты (x, y) любой точки М, лежащей на прямой АВ.

Решение: Конечно, мы можем попробовать составить уравнение прямой так, как этому вас учат на уроках алгебры. Однако попробуем векторный метод. На рисунке 2 вы видите, что радиус-вектор точки М – вектор по правилу треугольника можно представить в виде суммы . Обратим также внимание на то, что векторы и коллинеарны, и значит (по признаку коллинеарности) , где t – некоторое число. Заметим также, что , поэтому окончательно получим:

.

Для координат (х; у) точки М имеем:

(2.3)

Замечание 1. В примере мы изначально считаем, что число t — любое. Если же ввести ограничение 0≤t≤1, то получатся координаты всех точек отрезка АВ.

Замечание 2. Уравнения (2.3) называют параметрическими уравнениями прямой (число t – параметр).

Параметрические уравнения прямой можно получить и по другому. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(х0; у0) и параллельной вектору имеют вид

(2.3’)

п.2. Длина вектора и отрезка

Напомним, что если вектор имеет координаты (а1; а2), то его длина равна: (2.4)

Если известны координаты концов отрезка (А(х1; у1), В(х2; у2)), то его длина равна:

(2.5)

Обратим внимание читателей еще на один интересный факт, связанный с координатами вектора единичной длины.

Пример 3. Найдите координаты единичного вектора , если он составляет с осью ОХ угол .

Решение: Отложим единичный вектор от начала координат. Пусть .

Координаты точки М (а значит, и вектора ) равны и , где М1 и М2 – проекции точки М на координатные оси. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМ1М. Его прилежащий катет ОМ1=×cosa. Заметим, что по условию. Таким образом, =cosa. Теперь рассмотрим : т. к. ОМ1ММ2 – прямоугольник, то .

С другой стороны, М1М – противолежащий катет треугольника ОМ1М, и его длина равна: . Отсюда и . Таким образом, координаты вектора такие: (2.6)

Замечание: Мы рассмотрели случай, когда лежит в I-ом координатном угле. Другие случаи можно рассмотреть аналогично.

1.1. Напомним, что для длин векторов выполняется неравенство треугольника: (2.7)

Как следствие, длина суммы двух единичных векторов не больше двух, а длина суммы n единичных векторов не превосходит число n:

, где все (2.8)

п.3 Векторы и многоугольники

3.1. В некоторых задачах на векторы требуется выяснить, можно ли из данных векторов составить многоугольник. Поясним, что это означает: векторы откладываются так, что конец предыдущего является началом следующего. Если конец последнего вектора совпадет с началом первого, то “цепочка” замкнется и получится замкнутая ломаная. Это и означает, что из векторов можно построить многоугольник.

Алгебраически это означает, что сумма рассматриваемых векторов равна нулевому вектору: (2.9)

Замечание: Иногда это условие заменяется другим: один из векторов равен сумме остальных, т. е. (2.10)

4.1. Иногда встречаются задачи, в которых рассматриваются точки, координаты которых – целые числа. Такие точки принято называть узлами и вот почему. Отметим на оси ОХ точки с целыми координатами и проведем через них прямые, параллельные оси ОY. Затем также поступим с аналогичными точками оси OY. В результате мы получим “решетку”, каждая “ячейка” которой – квадрат со стороной, равной единице. Точки с целыми координатами будут служить вершинами ячеек – узлами.

4.2. Если параллелограмм имеет целочисленные вершины, и одна из его сторон параллельна какой-нибудь координатной оси, то площадь параллелограмма – целое число.

Чтобы убедиться в этом, посмотрим на рисунок 5. Мы видим, что параллелограмм АВСD и прямоугольник АВС1D1 имеют общее основание АВ и равные высоты. Очевидно, что если координаты вершин прямоугольника – целые числа, то его длина и высота – также целые числа. Значит и площадь прямоугольника – целое число. С другой стороны, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника. Значит она тоже целое число.

Замечание: Мы далее получим формулу, из которой следует, что у любого параллелограмма с целочисленными вершинами, площадь – целое число.

п.5. Скалярное произведение векторов

5.1. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(2.11)

5.2. Скалярное произведение в координатах находим по формуле:

(2.12)

здесь .

5.3. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

^ Û ).

5.4. Пример 4. Для вектора найдите перпендикулярный, равный ему по длине.

Решение: Рассмотрим векторы и . Очевидно, что (формула 2.4). Легко убедиться, что ^. Действительно, Þ ^. Аналогично показывается, что ^.

Таким образом, и – искомые векторы.

5.5. Угол между векторами вычисляется по формуле (2.13)

В координатах эта формула имеет вид: (2.14)

5.6. Из определения синуса и косинуса угла в прямоугольном треугольнике следует, что для его острых углов a и b имеют места равенства и . Так как b=90°-a (из свойств углов прямоугольного треугольника), то и . (2.15)

Найдем формулу для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и . Воспользуемся известной формулой для вычисления площади параллелограмма: (*). Из рисунка 6 видно, что и . Поэтому по формуле (2.4) . Нам теперь нужно найти sina. Поступим следующим образом. Рассмотрим векторы и из пункта (5.4). На чертеже 6 видно, что один из углов , или равен 90°-a. (Какой именно, зависит от того, с какой стороны от лежит вектор . Если и лежат по одну сторону от , берем первый угол, если по разные стороны – второй).

Найдем . Используем формулы (2.14)

Подставим все найденные значения в формулу (*). Получим окончательное выражение для площади параллелограмма:

Итак (2.16)

п.6 Задание геометрического места точек аналитическим условием на их координаты.

6.1. Вы уже знаете, что некоторые геометрические фигуры можно задать уравнением. Например: прямая задается (в прямоугольной системе координат) уравнением y=kx+b, а окружность с центром в точке M0(x0, y0) и радиусом R, задается уравнением: (x-x0)2+(y-y0)2=R2.

С другой стороны, геометрическую фигуру можно задать как геометрическое место точек, например:

· множество точек, удаленных от данной точки на расстояние R (окружность),

· множество точек, равноудаленных от концов данного отрезка (серединный перпендикуляр к отрезку),

· множество точек, равноудаленных от сторон угла (прямая, содержащая биссектрису этого угла).

Ниже мы рассмотрим более сложные примеры геометрических мест точек.

Теперь подробнее остановимся на понятии “аналитическое условие”. Задать фигуру аналитическим условием, значит в некоторой системе координат найти уравнения или неравенства, которым удовлетворяют координаты точек этой фигуры.

Система неравенств задает на координатной плоскости квадрат, длины сторон которого равны двум, центр совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат.

6.3. В геометрии можно рассматривать три основных задачи:

· отыскание аналитических условий для некоторого геометрического места точек,

· определение по аналитическим условиям вида и строения геометрического места точек (что собой представляет данное множество, какая это фигура –окружность, отрезок, луч и т. п.),

· использование аналитических условий для исследования геометрических свойств фигуры.

В рамках данной статьи мы ограничимся рассмотрением нескольких примеров нахождения аналитических условий.

§ 3. Примеры решения задач

3.1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1, 0), В(4, -3), С(12, 5). Точки М и N лежат на сторонах АВ и ВС соответственно и делят их в одинаковом отношении 1:2. Найдите координаты середины отрезка MN.

Из чертежа (рис. 7) и условия задачи следует, что и . Найдем координаты точек М и N по формулам (2.2):

Теперь, зная координаты концов отрезка MN, найдем координаты его середины:

Ответ: .

3.2. На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы AKLB, BMNC и CPQA (рисунок 8). Можно ли составить треугольник из векторов и ?

Сумма векторов , так как они образуют замкнутый контур. Так как и , то из первого равенства получаем, что . А из п. 3.1. следует, что эти векторы могут составить треугольник.

3.3. Не производя построение, определите, являются ли точки А (1, 2), В (6, -2), С (3, 4) и

D (-12, 0) вершинами выпуклого четырехугольника.

Необходимым и достаточным условием того, что четырехугольник выпуклый, является то, что отрезки АС и BD – диагонали – пересекаются (рисунок 9). Составим параметрические уравнения отрезков АС и BD:

Приравняем координаты и , тогда мы получим два уравнения относительно неизвестных и . Найдем их решения. Если выполнены условия и , то точка пересечения прямых AC и BD лежит внутри обеих диагоналей, значит, диагонали пересекаются и четырехугольник – выпуклый. Если хотя бы одно условие нарушено, четырехугольник не выпуклый. Итак:

Мы видим, что t1 не удовлетворяет условию 0 b) – полуосями эллипса.

Задание для самостоятельного решения

Необходимо решить предложенные ниже задачи, оформить их решения отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М.10.11.1. Докажите, что прямая, проходящая через точку М1(х1; у1) и М2(х2; у2) может быть задана уравнением .

Указание: в уравнениях (2.3) §2 выразите параметр t и приравняйте правые части.

М.10.11.2. Векторы и образуют угол, докажите, что вектор лежит на биссектрисе этого угла.

М.10.11.3. Даны координаты вершин треугольника: А(0; 1), В(1; 0), С(6; -3), найдите параметрические уравнения биссектрисы угла .

Указание: используйте результаты задач М.10.8.1 и М.10.8.3.

М.10.11.4. В условиях задачи 3.1.2 из §3 проверьте, могут ли векторы и служить сторонами треугольника.

М.10.11.5. АВСD – ромб со стороной 2 см и углом при вершине А в 60°. Введите систему координат, поместив ее начало в т. А, направив ось ОХ по прямой АВ, а ось OY – перпендикулярно к АВ, в ту сторону, с которой лежит сам ромб. Найдите координаты всех вершин ромба и точки пересечения его диагоналей.

М.10.11.6. Точки А(7; -1) и С(3; 0) – противоположные вершины прямоугольника АВСD. Найдите координаты двух других вершин, если стороны прямоугольника параллельны координатным осям.

М.10.11.7. Окружности радиусов r и R касаются внешним образом, прямая а – их общая касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных и прямой а.

М.10.11.8. Докажите, что площадь параллелограмма, координаты всех вершин которого – целые числа, целое число.

М.10.11.9. Решите систему

Указание: рассмотрите векторы с координатами (х; ) и (у; ), тогда левые части уравнений системы есть координаты суммы двух этих векторов. Рассмотрите длины трех этих векторов и убедитесь (докажите), что два первых – равны.

М.10.11.10. Докажите, что все точки параболы обладают следующим свойством: расстояние от любой точки M параболы до точки F(0,p) равно расстоянию от точки M до прямой .

(Точку F называют фокусом параболы, а прямую — директрисой.)

М.10.11.11. Сколько точек с целочисленными координатами лежит внутри треугольника АВС если вершины имеют координаты: А(1,-1), В(3,-8), С(11,6).

[1] Повторите материал из главы IX, X и §3 главы XI из учебника геометрии 7-9, авторов и др.

[2] Обращаем внимание читателей, что с термином “решетка” в математике связано несколько разных понятий.

Видео:Решение задач с помощью координат и векторовСкачать

Решение прикладных задач, используя координаты и векторы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение прикладных задач, используя координаты и векторы.docx

Открытый урок по теме :

«Решение прикладных задач, используя координаты и векторы».

Преподаватель : Никонова Н.О.

Образовательные цели : научить учащихся использовать знания о координатах и векторах при решении прикладных задач в физике и геометрии; развивать интерес учащихся к изучению математики и физики; активизировать познавательную активность учащихся.

Развивающие цели : развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса.

Воспитательные цели : развитие навыков коллективной работы, создание атмосферы доброжелательности на уроке.

Метод обучения: использование информационно-компьютерных технологий

Тип урока: урок применения, обобщения и систематизации знаний

Оборудование : компьютер, экран, проектор, доска, карточки с тестом и самостоятельной работой.

I .Организационный этап.

II . Подготовка к изучению нового материала.

2.1. Информация о целях и задачах урока.

2.2. Проверка домашнего задания.

III . Объяснение нового материала.

3.1 Объяснение и решение задачи учителем.

3.2 Решение задач на доске студентами.

IV . Проверка усвоения нового материала.

4.1 Устный опрос.

4.2 Самостоятельная работа.

V . Подведение итогов урока .

VI . Задание на дом

I .Организационный этап:

Здравствуйте студенты и гости нашего урока!

II . Тема сегодняшнего урока: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

На сегодняшнем уроке мы продолжаем изучать блок тем: «Координаты и векторы».

Эпиграф сегодняшнего занятия — шарада… постарайтесь отгадать

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Второй был тортом на столе,

Пока Т не убрали.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

от латинского vector , буквально несущий

На прошлых занятиях мы познакомились с тем, что такое, координаты, вектор, плоскость и пространство.

Как задается точка, отрезок, вектор на плоскости и в пространстве.

Научились совершать различные действия над векторами.

Вектор — многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением. Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках.

Векторы вокруг нас! Нам безусловно важно знать в каком направлении мы движемся (куда же нас несет): вошли мы в класс или вышли, в каком направлении повернули ручку комфорки духового шкафа когда там начинает подгорать пирог…. Все это вектора и они играют важную роль в нашей жизни.

На практике, векторы позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.

Поэтому цель сегодняшнего урока:

-полученные ранее знания научиться использовать как инструмент для решения прикладных задач. Сегодня разберем некоторые задачи по физике и геометрии.

Оценим свои знания дважды. В начале урока проверим знания и навыки которые были вами принесены сегодня и второй раз в конце урока — проведем проверку знаний которые вы сегодня от сюда вынесете.

Для начала проверим ДЗ. Вам было задано четыре задачи. Кто справился со всеми задачами? Какие задачи вызвали затруднения? Решение двух задач мы сегодня разберем.

-ДЗ задание на доске решают студенты:

Задача №3 Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

Задача №4 Найти векторное произведение векторов а (-1;2;-3), в (0;-4;1) и его длину.

Решение задачи №3. Ответ:7 (слайд№4)

Решение задачи №4. 1) Найдём векторное произведение векторов:

В результате

2) Вычислим длину векторного произведения.

Ответ :

Спасибо. Очень не плохо. Все кто отвечал будут оценены.

У вас на столах лежат тесты. Сейчас вы подписываете бланки тестов и приступаете к работе. На работу вам 10 мин. Затем вы самостоятельно сверив с доской свои ответы, проверите свою работу и в конце теста выставите полученный балл. А пока вы выполняете работу тем кто, работал с ДЗ, беседовал со мной я пройду проставлю на бланке теста дополнительный балл. За ДЗ по баллу, за ответы с места по 0,5 балла. Приступаем. Напоминаю! У вас 10 минут.

— Тест (проверка и коррекция теоретических знаний по теме “Координаты и векторы”)

Выбрать правильный ответ.

1. Что такое вектор?

а) вектор — это направленный отрезок;

б) вектор — это отрезок имеющий координаты;

в) вектор – это прямая, имеющая направление.

2. Что такое абсолютная величина вектора?

а) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор;

б) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется отрезок, изображающий вектор;

в) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина, изображающая вектор.

3.Что такое нулевой вектор?

а) вектор, абсолютная величина которого не существует;

б) вектор, у которого начало совпадает с его концом;

в) вектор, не имеющий ни начала, ни конца.

4. Какие векторы называются равными?

а) два вектора называются равными, если они не совмещаются параллельным переносом;

б) два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом;

в) два вектора называются равными, если они одинаково направлены.

5. Определение суммы векторов.

6. Определение разности векторов

7. Какие векторы называются коллинеарными?

а) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой;

б) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.. Они направлены либо одинаково, либо противоположно;

в) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на перпендикулярных прямых

8. Упростите выражение: КА > -СД > -ВО > -КМ > +АО > -МС >

10. расстояние d между точками M(x ₁ ;у ₁ ) и N(x ₂ ;y ₂ ) выражается формулой

-Оценка подведение итогов. За каждый правильный вопрос -0,5 балла. Получим общий балл. Кто получил 5 баллов, 4 и 3 балла.

Хорошо. Судя по результатам мы готовы к движению вперед к познанию.

III . Усвоение новых знаний и способов действий

3.1 Объяснение и решение задач (слайд презентации № )

Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав — судить не нам;
Да только воз и ныне там.

Если рассмотреть с точки зрения механики басню о том «как лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Результат получается совсем не похожий на вывод баснописца Крылова.

Перед нами механическая задача на сложение нескольких сил, действующих под углом друг к другу. направление сил определено в басне так:

. Лебедь рвется в облака,
рак пятится назад, а щука тянет в воду.

Это значит, что одна сила, тяга лебедя, — направлена вверх; другая, тяга щуки, — вбок; третья, тяга рака, — назад. Не забудем, что существует еще и четвертая сила — вес воза, которая направлена отвесно вниз. Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех, приложенных к возу сил равна нулю.

Так ли это? Посмотрим. Лебедь, рвущийся к облакам, не мешает работе рака и щуки, даже помогает им: тяга лебедя направлена против силы тяжести, облегчая вес воза, а может быть даже и уравновешивает его, — ведь груз невелик («поклажа бы для них казалась и легка»). Допустив для простоты последний случай, мы видим, что остаются только две силы: тяга рака и тяга щуки. О направлении этих сил говорится, что «рак пятится назад, а щука тянет в воду». Само собой разумелось, что вода находится не впереди воза, а где-нибудь сбоку. Значит силы рака и щуки направлены под углом одна к другой. Если приложенные силы не лежат на одной прямой, то равнодействующая их никак не может равняться нулю.

Поступая по правилам механики строим на обеих силах ОВ и ОС параллелограмм, диагональ его OD дает направление и величину равнодействующей. Ясно, что эта равнодействующая сила должна сдивинуть воз с места, тем более, что вес его частично или полностью уравновешивается тягой лебедя. Другой вопрос в какую сторону сдивинется воз: вперед, назад или вбок? Это зависит уже от соотношения сил и угла между ними

Задача №2. Говорят, что колёса поездов вращаются неравномерно, т.е. есть точки на колёсах которые перемещаются не вперёд, а назад.

Решение:
Дело опять-таки происходит так, словно верхняя часть колеса быстрее движется, чем нижняя. В чем же разгадка этого странного явления? Да просто в том, что верхняя часть катящегося колеса действительно движется быстрее, чем нижняя. Факт представляется с первого взгляда невероятным, а между тем простое рассуждение убедит нас в этом.
Каждая точка катящегося колеса совершает сразу два движения: обращается вокруг оси и в то же время подвигается вперед вместе с этой осью. Происходит в результате сложение двух движений: вращательного и поступательного. Скорость вращательного движения направлена по часовой стрелке и перпендикулярно радиусу колеса. Скорость поступательного движения направлена в сторону перемещения колеса.
Результат для верхней и нижней частей колеса получается разный. Вверху вращательное движение колеса прибавляется к поступательному, так как оба движения направлены в одну и ту же сторону. Внизу же вращательное движение направлено в обратную сторону и, следовательно, отнимается от поступательного. Вот почему верхние части колеса перемещаются относительно неподвижного наблюдателя быстрее, чем нижние.

Задача 3. Вычислить работу, совершаемую силой F = (1; 2; 3), при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (1; 0; 0) в положение С (10; 1;2).

Мы знаем, что физический смысл скалярного произведения векторов, есть ни что иное, как работа А совершенная силой F > по перемещению из одной точки пространства в другую (из В в С)

А = | F > | • | BC > | cos ( F > ; BC > ), т. е. A = F > • BC > — скалярному произведению

В нашем случае F > = (1; 2; 3), BC > = (9; 1; 2), поэтому по формуле скалярного произведения получаем:

А = 1•9 + 2•1 + 3•2 = 17 (ед. работы).

Таким образом, чтобы найти работу постоянной силы F > при перемещении материальной точки вдоль отрезка ВС > , достаточно вычислить скалярное произведение вектора силы F > и вектора перемещения BC > .

Задача №4. Даны вершины треугольника . Найти его площадь.

Решение : Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ :

Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, три последовательные вершины которого А( 1; 2; 0), В(3; 0; —3), С(5; 2; 6) заданы своими координатами в прямоугольной системе.

Так как S _{паралл.} = |[ AB > , BC > ]|, Так как S _{паралл.} = |[ AB > , BC > ]|, а согласно формуле векторного произведения векторов

N > =[АВ > ,ВС > ]=(12;24;8)

Таким образом, для вычисления площади параллелограмма можно найти векторное произведение двух векторов, построенных на любых двух смежных его сторонах, а затем вычислить его длину.

2.2 Решение задач по физике и математике на доске студентами (задание на экране слайд презентации № )

Задача №2. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A (2, -3), B (1, 1), C (-6, 5).

Задачу очень просто решить, воспользовавшись формулой

Подставляя эти числа в формулу, получим

III . Проверка усвоения нового материала.

3.1 Устный опрос (слайд презентации № )

3.2 Самостоятельная работа с рейтинговыми заданиями.

1. Задание на «3». Какую работу совершает сила F > (3;2;1), если груз был доставлен из пункта А(5;-2;0) в пункт В(7;2;-4)?

F > (3;2;1), А(5;-2;0), В(5;-2;0) А = | F > | • | АВ > | cos (F > ; BC > ), т. е. A = F > • АВ >

2. Найти площадь треугольника образованного векторами:

Найдём векторное произведение:

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Найдём вектор:
.
Векторное произведение:

Площадь параллелограмма:

Ответ :

IV . Подведение итогов урока.

V . Задание на дом. ( Творческое задание: Придумать, решить и оформить прикладную задачу на листах А4 и в электронном виде. )

VI . Рефлексия с использованием оценочного пространства, посредствам векторов.