Граничные условия вектора e (8 видео) | Курс школьной геометрии

Лекция 12. Условия на границе раздела диэлектриков. Энергия электрического поля

Введение вспомогательного вектора D позволило вынести описание поляризации диэлектрика за рамки уравнений Максвелла. Поле вектора D можно изображать с помощью силовых линий, направление и густота которых определяются также, как и для вектора Е. Однако линии вектора Е могут начинаться как на свободных, так и на связанных зарядах. Поскольку источниками вектора D являются только свободные заряды, на них начинаются и заканчиваются линии вектора D. Через области поля, содержащие связанные заряды, линии вектора D проходят, не прерываясь.

В качестве иллюстрации полезности вектора D рассмотрим пример. Пусть точечный свободный заряд q находится в центре шара радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. Найдем напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра.

В этой задаче невозможно воспользоваться теоремой Гаусса для вектора Е, несмотря на то, что симметрия задачи располагает к этому, потому что не дано распределение связанного заряда. Однако поток вектора D зависит только от свободного заряда, который дан. Поэтому сначала применим теорему Гаусса для вектора D, выбрав в качестве гауссовой поверхности сферу произвольного радиуса r

при r£R;

Рис.39

при r>R.

Из сопоставления последних двух формул (они отличаются множителем e в знаменателе) видно, что при r=R величина Е испытываетскачок. Графики зависимостей Е и D от r представлены на рис.39.

Условия для векторов E и D на границе раздела диэлектриков. Выясним, как связаны компоненты векторов E и D по разные стороны от границы диэлектриков 1 и 2 (рис.40). Пусть S — цилиндрическая поверхность пренебрежимо малой высоты. Поток вектора D через S равен нулю, так как внутри нее нет свободных зарядов. Поток через боковую поверхность очень мал, так как мала ее площадь. Поэтому поток через нижнее основание равен потоку через верхнее основание: , Þ

. (129)

Рис.40 Рис.41

Таким образом, нормальная составляющая D_nсохраняется.

Рассмотрим теперь прямоугольный замкнутый контур (рис.41), сторона которого l параллельна границе раздела, а высота а много меньше длины. Так как циркуляция вектора Е электростатического поля равна нулю, для изображенного на рисунке контура это значит, что , следовательно,

, (130)

т.е. при переходе через границу раздела диэлектриков сохраняется тангенциальная составляющая E_t.

Покажем, что величины составляющих E_n и D_t меняются на границе раздела. Поскольку векторы Е и D связаны соотношением (128), и D_n сохраняется, следовательно, e₂E₂_n = e₁E₁_n, или

. (131)

Аналогично из (128) и сохранения Е_t следует, что

. (132)

Из граничных условий в частности следует, что если диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем (например, в плоском конденсаторе), то напряженность поля Е в нем будет в e раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика.

Рис.42

Энергия электрического поля. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора (рис.42). Пусть верхняя пластина заряжена положительно зарядом +q до потенциала j₁, а нижняя— зарядом -q до j₂. Работа против сил поля при переносе заряда dq>0 с нижней пластины на верхнюю идет на увеличение энергии взаимодействия зарядов

Выразим напряжение U через емкость С: U=q/С, тогда dW=qdq/C. Интегрируя, получаем энергию электрического поля заряженного конденсатора

. (133)

Как известно, емкость плоского конденсатора С=ee_oS/d, где S — площадь одной пластины, d — расстояние между пластинами. Подставим С в (133) и учтем, что напряженность однородного поля между пластинами равна Е=U/d

где V=Sd — объем пространства между пластинами. Отношение W/V характеризует энергию единицы объема и называется плотностью энергии электрического поля

(134)

Если поле неоднородно, то плотность энергии электрического поля равна производной w_E=dW/dV. Учитывая, что Е=D/ee_о, a D=e_оЕ+Р запишем

. (135)

Полученное выражение представляет собой сумму плотности электрической энергии в вакууме и плотности энергии поляризации диэлектрика. Следовательно, электрическая энергия локализована в самом поле: как там, где есть вещество, так и там, где его нет. Однако если поле стационарно, то при исчезновении порождающих его зарядов, исчезает и само поле. Независимо от породивших их зарядов могут существовать только переменные поля.

Содержание

Граничные условия вектора e
Потенциал положительно заряженного провода
Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей
📹 Видео

Видео:6 Граничные условия для векторов E и DСкачать

Граничные условия вектора e

1.1. Основные уравнения

Для электростатических полей, обусловленных действием неподвижных электрических зарядов, справедливы уравнения:

или (1.1)

или , (1.2)

где L — контур интегрирования; S — поверхность интегрирования; r — объёмная плотность свободных зарядов; S q — сумма свободных зарядов. Поля подобного типа являются безвихревыми, что позволяет исследовать их путём введения потенциальной функции j , которая связанным с напряженностью соотношением:

. (1.3)

Вектора напряженности электрического поля и электрической индукции для большинства задач определены линейным соотношением:

где Ф/м – электрическая постоянная, e — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

В однородной среде ( e = const ) для потенциала справедливо уравнение Пуассона –

(1.4)

и, в частности, где отсутствуют свободные заряды, уравнение Лапласа –

. (1.5)

Граничные условия

Граничные условия определяют поведение векторов поля (нормальных и тангенциальных составляющих) на границе раздела двух сред, параметры которых меняются скачком. Для всех электрических полей имеют место основные граничные условия, которые являются прямым следствием системы уравнений Максвелла:

или (1.6)

. (1.7)

Здесь t означает тангенциальную составляющую проекции вектора к границе раздела двух сред, а n – нормальную составляющую. При этом предполагается, что нормаль к поверхности раздела сред n направлена из первой среды во вторую. Символом s обозначают поверхностную плотность свободных зарядов, которая имеет размерность Кл/м 2 , совпадающую с размерностью вектора электрической индукции D .

Граничные условия для диэлектриков

На границе раздела двух диэлектриков свободный поверхностный заряд s = 0. Следовательно,

или . (1.8)

В диэлектрике кроме векторов и рассматривают вектор поляризации вещества , который связан с основными векторами поля выражением:

или , (1.9)

где — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. На границе раздела диэлектриков возникает связный электрический заряд , который с учётом выражения (1.9) определяется условием:

. (1.10)

Граничные условия на поверхности раздела диэлектрик – проводник

Электростатическое поле может создаваться системой точечных — q , поверхностных — s и линейных — t зарядов. В технике в качестве источников поля используют систему заряженных поводящих тел (электродов), несущих на себе независимый заряд или заряд, обусловленный дополнительными источниками питания. В статике движения свободных зарядов внутри проводника быть не может. Поэтому весь заряд электрода q распределяется только по поверхности ( s ¹ 0 ), а поле внутри проводника становится равным нулю ( ; ). Тогда граничные условия (1.6, 1.7) на поверхности проводника примут вид

, (1.11)

т.е. на поверхности проводящего тела вектор электрической индукции изменяется скачком на величину поверхностной плотности свободного заряда в данной точке, а направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности проводника n .

Условие (1.11) с учетом (1.3) принимает вид

(1.12)

и его называют граничным условием Неймана, записанным в дифференциальной форме. То же граничное условие в интегральной форме

, (1.13)

где под q понимают суммарный заряд электрода.

Поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью, что записывают в виде

(1.14)

и называют граничным условием Дирихле.

1.2. Прямая задача электростатики

Во многих случаях приходится решать сложные задачи, из которых наиболее типичными являются следующие:

1. Нахождение поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. В инженерной практике потенциалы электродов обычно задаются источниками питания и могут быть измерены или вычислены.

2. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого заданным распределением объёмных электрических зарядов в пространстве.

Прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Пуассона (1.4), которое в декартовой системе координат принимает вид

(1.15)

или уравнения Лапласа (1.5):

. (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Эти уравнения в зависимости от симметрии задачи могут быть записаны в цилиндрических или сферических координатах.

Для получения единственного решения уравнения (1.15) или (1.16) необходимо дополнить их граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1. Граничное условие Дирихле : значение j задано на некоторой замкнутой области. Обычно это проводящая поверхность или поверхность электрода, потенциал которой постоянен (см. 1.14).

2. Граничное условие Неймана : на границе области задана нормальная производная функции потенциала j (см. 1.12 или 1.13). Это граничное условие определено поверхностной плотностью заряда s , которое также поддаётся анализу для широкого круга задач. К граничным условиям Неймана следует также отнести задание точечных — q и линейных — t зарядов.

3. Смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Целью расчёта является нахождение потенциала j и напряженности поля по заданному расположению и форме заряженных тел – электродов – и граничным условиям. Такая задача называется прямой задачей. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона. Если же требуется найти поле в диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела, то ищут решение уравнения Лапласа, т.е. решают прямую задачу электростатики в постановке Неймана или Дирихле. При этом совокупность всех проводящих тел образуют границу области существования поля. Эта задача имеет единственное решение, если найденная потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным граничным условиям.

Обратная задача электростатики предполагает определение по известному полю местоположения источников поля и величины зарядов, создающих это поле . Такого рода задачи рассматривают, например, в геологоразведке при поиске полезных ископаемых.

1.3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики. Ограничимся здесь лишь указанием некоторых приемов, изложенных в учебной электротехнической литературе [1] – [7]. К ним следует отнести:

а) Использование интегральных уравнений для решения симметричных задач;

б) Метод наложения;

в) Метод изображений;

г) Метод участков;

д) Метод средних потенциалов;

е) Метод разделения переменных (Фурье).

В настоящем пособии рассматриваются метод наложения совместно с методом зеркальных изображений.

Метод наложения. Формулы Максвелла

В случае линейной среды ( = const ) по методу наложения имеем:

Потенциалы и заряды проводящих тел связаны между собой линейными соотношениями, которые называются формулами Максвелла. Если известны заряды электродов, то их потенциалы могут быть найдены путём решения задачи Неймана. В этом случае связь осуществляется потенциальными коэффициентами a :

(1.17)

где и — потенциалы и заряды электродов, причем собственный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Если известны потенциалы электродов, то, решив задачу Дирихле, можно найти заряды электродов и записать формулы Максвелла с емкостными коэффициентами:

(1.18)

где собственный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Вместо линейных соотношений (1.18) более удобно применять формулы с частичными емкостями, которые связывают заряды электродов и напряжения между ними.

Формулы с частичными емкостями:

(1.19)

где собственная частичная емкость при , взаимная частичная емкость при (кроме ).

Символом обозначают потенциал электрода, значительно удалённого от области исследования поля. Для системы электродов, линейные размеры которых ограничены, за ноль принимается потенциал бесконечно удаленной точки. Если электроды (теоретически) уходят в бесконечность, то в качестве известного нулевого потенциала указывают точку (или линию), расположенную на границе симметрии задачи. Определять потенциал этой точки необходимо, так как только в этом случае однозначно определяются потенциалы остальных точек (электродов).

1.4. Поля электродов простых геометрических форм

Поле шарового заряда

Заряд q на проводящей шаровой поверхности радиуса R в силу симметрии распределяется равномерно, и потенциал вне сферы определяется выражением:

. (1.20)

Уравнение r = const будет уравнением эквипотенциальной поверхности, все они образуют концентрически расположенные сферы.

Если положить потенциал в бесконечности ( r = ¥ ) равным нулю, то постоянная const _S = 0. Может оказаться целесообразным положить равным нулю значение потенциала на поверхности некоторой внешней сферы радиуса . В таком случае:

Если с этой сферой совместить проводящую поверхность второго электрода, т.е. металлизировать эквипотенциальную поверхность, то можно найти ёмкость сферического конденсатора:

Вектор напряженности поля направлен радиально и равен

. (1.21)

Поле длинной заряженной оси, кругового цилиндра и коаксиальных цилиндров

Для длинной заряженной оси – тонкого провода, направленного вдоль оси z , рассматривают заряд на единицу длины провода t . В силу осевой симметрии задачи вектора и имеют единственную радиальную составляющую

; . (1.22)

Соответственно потенциал определится логарифмической функцией:

. (1.23)

Эквипотенциальные поверхности – боковые поверхности цилиндров, оси которых совпадают с заряженной осью ( r = const ). Радиусы соседних поверхностей, потенциалы которых отличаются на одну и ту же величину, выбираются в геометрической прогрессии с произвольным знаменателем. Поле между двумя металлизированными цилиндрическими поверхностями совпадает с полем цилиндрического конденсатора и с полем заряженного провода.

Если положить равным нулю потенциал на некоторой цилиндрической поверхности радиуса , то

; .

Если известна разность потенциалов между двумя цилиндрическими металлизированными соосными поверхностями радиусами r и , то можно найти ёмкость цилиндрического конденсатора на единицу длины:

Силовые линии вектора напряжённости поля и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Для характеристики силовых линий вводится понятие функции потока V , которая имеет постоянное значение на выбранной силовой линии: . Одну из силовых линий рассматривают как нулевую, полагая на ней V = 0, что можно сделать, так как функция определяется с точностью до постоянной. Для линейного провода эта функция имеет вид

(1.24)

где q — угловая полярная координата, т.е. угол, вершиной которого является точка на оси провода. = 0, если q = 0. Переменная q изменяется в пределах от 0 до 2 p . Коэффициент показывает, сколько единичных линий напряженности заключено внутри угла, равного одному радиану. Приращение D V функции потока при переходе от к–ой до (к+1)–ой линии напряжённости поля принято задавать постоянным числом:

, или .

Область, заключённая между двумя силовыми линиями, называется силовой трубкой. Поток вектора внутри силовой трубки постоянен и определён частью заряда электрода.

Потенциал и функция потока не могут выбираться произвольно, они связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые называют условиями Коши – Римана:

; .

Эти условия для рассматриваемого случая легко проверяются, если в выражениях (1.21) и (1.22) от полярных координат перейти к декартовым по формулам:

; .

Решения (1.23) и (1.24) имеют большое прикладное значение, так как расчет поля системы длинных параллельных проводов, применяемых, например, для передачи энергии или для телефонной связи, сводится практически к сложению полей нескольких пар бесконечно длинных разноимённо заряженных осей.

Поле двух разноимённо заряженных осей

Для определения поля системы тонких проводов равномерно и разноимённо заряженных с линейной плотностью заряда + t и — t , расположенных на расстоянии 2 a друг от друга, применим метод наложения. На основании выражения (1.23) имеем

где и — расстояния от точки наблюдения до отрицательно и положительно заряженных проводов соответственно (рис. 1.1), или

Рис. 1.1. Построение эквипотенциали для двух разноименно заряженных осей

Первое слагаемое обращается в нуль при , т.е. в точках плоскости, перпендикулярной отрезку 2а и проходящей через её середину. След этой плоскости обычно совмещают с одной из осей координат. Если принять потенциал этой плоскости за нуль, то const = 0 , и окончательно получим

. (1.25)

Эквипотенциальные поверхности (линии в плоскости чертежа) представляют собой окружности со смещенными центрами. На рис. 1.1 точка p лежит на эквипотенциальной поверхности.

Из выражения (1.25) следует условие постоянства потенциала при выполнении условия , где k — параметр семейства этих линий. Радиус эквипотенциальной поверхности R и смещение центра s связаны с параметрами а и k условиями:

или . (1.26)

Если k > 1 ( ), окружность охватывает след провода с зарядом + t , если k 1 , то точку — t . Точки 1 и 2, определяющие положение электрических осей относительно эквипотенциальных поверхностей радиуса R , расположены инверсно друг по отношению друга, что следует из соотношений (1.26), т.е. являются взаимно обратными.

Функция потока V определяется методом наложения с использованием выражения (1.24):

где = 0, если считать V = 0 при q ₁ = q ₂ , что имеет место на отрезках оси абсцисс, уходящих от проводов в бесконечность. Уравнение любой линии напряженности поля имеет вид:

, или .

Семейство силовых линий поля образуют дуги окружностей, проходящих через заряженные оси, а центры окружностей расположены на оси симметрии задачи, т.е. на линии, где j = 0 (рис. 1.2) .

Рис. 1.2. Построение силовых линий напряженности электрического поля для двух разноименно заряженных осей

Координаты центра окружности связаны с заданным значением J условием:

; .

Из любой точки силовой линии отрезок 2а наблюдается под одним и тем же углом J , что и доказывает правильность такого построения.

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать разность одинаковой для двух соседних линий. Для этого необходимо изменять угол J на постоянную величину D J = const .

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля взаимно перпендикулярны.

Поле параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Любую эквипотенциальную поверхность можно совместить с поверхностью электрода, потенциал которого равен потенциалу этой поверхности. При этом внешнее поле, которое существует между электродами, не изменится. Этот приём называют металлизацией эквипотенциальных поверхностей.

Если известны радиусы проводящих цилиндров , и расстояние между геометрическими осями цилиндров d , то потенциальную функцию j можно определить по той же формуле (1.23), предварительно определив положение электрических осей — а и расстояние геометрического центра каждого провода — , до линии нулевого потенциала. Для случая, изображенного на рис. 1.3, на основании (1.24) имеем систему:

. (1.27)

Рис. 1.3. Взаимное внутреннее расположение двух несоосных цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.4, третье уравнение в системе (1.27) следует заменить на . Вычислив неизвестные , и a , можно через них на основании (1.26) выразить потенциалы цилиндров, напряжение между цилиндрами, а также ёмкость между ними на единицу длины.

Рис. 1.4. Взаимное внешнее расположение двух цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.3, имеем

;

. (1.28)

Для случая, изображенного на рис. 1.4,

;

(так как );

. (1.29)

Линейная плотность заряда вычисляется по формуле (1.28) или (1.29) по заданной величине напряжения .

Вектор напряженности поля находят по формуле (1.3), которая для плоскопараллельного поля принимает вид:

(1.30)

Для того чтобы воспользоваться формулой (1.30), необходимо выбрать систему координат, совмещенную с осями симметрии задачи. Например, ось x направить горизонтально через электрические оси электродов, а ось y совместить с линией нулевого потенциала, т.е. использовать электрическую симметрию задачи.

Поле и ёмкость системы цилиндр – плоскость

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над проводящей плоскостью (например, над поверхностью Земли) и приложенное напряжение U . Этот пример является частным случаем электродов, изображенных на рис. 1.3, где , . Положение электрических осей (рис. 1.5) можно определить из уравнений (1.26) при замене ; .

Рис. 1.5. Взаимное расположение заряженного цилиндра и плоскости

(1.31)

где — собственный потенциальный коэффициент, связывающий потенциал и заряд цилиндра (первого электрода).

Потенциал плоскости (второго электрода) . Напряжение . Линейная плотность , а ёмкость на единицу длины

Если радиус цилиндра (тонкого провода) мал по сравнению с высотой h , то в последней формуле можно считать :

. (1.32)

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Пусть известны радиусы цилиндров (проводов), расстояние между геометрическими осями и приложенное к проводам напряжение . Положение электрических осей определяются из уравнений

; ,

как частный случай расположения электродов (рис. 1.4): ; .

Потенциал положительно заряженного провода

потенциал отрицательно заряженного провода

напряжение, ёмкость на единицу длины и заряд на единицу длины

Эти выражения можно упростить для тонких проводов, если считать совпадающими электрические и геометрические оси проводов: .

1.5. Метод зеркальных отражений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных отражений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркальные отражения заданных зарядов.

При отражении точечного заряда q (или линейного заряда t ), расположенного в близи плоской проводящей границы, отраженный заряд , т.е. меняет свой знак на обратный. При этом граничные условия для векторов поля на проводящей поверхности тождественно выполняются во всех точках, что позволяет исключить из анализа саму поверхность. Заряд заменяет своим интегральным действием наведённый свободный заряд s проводящей поверхности.

Если заряд (или ) расположен у границы двух диэлектриков (рис. 1.6 a ), то на поверхности раздела наводятся связанные электрические заряды, которые подчиняются граничному условию (1.10).

Исключить действие этих зарядов с заменой их эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд (рис. 1.6б), определяется зарядом и зарядом

, (1.33)

где . При этом вторая среда замещается первой, т.е. становится однородной с диэлектрической проницаемостью . Правильное поле потенциала определяется в этом случае в верхней полуплоскости;

Рис. 1.6. а) заряд вблизи границы двух диэлектрических сред; б) расположение эквивалентных зарядов для расчета поля в 1-й среде; в) то же для 2-й среды

б) Поле по другую сторону границы, т.е. в нижней полуплоскости (среда с ) , определяется зарядом

, (1.34)

где . При этом первая среда замещается второй и становится однородной с диэлектрической проницаемостью (рис. 1.6в).

Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Поле и ёмкость двухпроводной линии с учётом влияния Земли

Два длинных тонких провода радиусом R протянуты параллельно поверхности Земли; расстояние между проводами d , высота подвеса и (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Взаимное расположение линейных заряженных проводов относительно плоской проводящей поверхности (“земли”)

Пусть заданы постоянные линейные плотности заряда каждого провода и . Для определённости будем считать их положительными. Требуется определить потенциалы проводов, если поверхность Земли считать эквипотенциальной поверхностью с нулевым потенциалом.

Непосредственное решение задачи невозможно: на поверхности Земли наводятся заряды, поверхностная плотность которых заранее не известна. Так как поверхность Земли эквипотенциальна, то её можно убрать, т. е. принять, что параметры нижнего полупространства одинаковы с параметрами верхнего полупространства, и зеркально разместить электрические заряды обратных знаков в нижней полуплоскости. При этом сохраняется прежнее граничное условие на поверхности Земли . В данном случае в качестве изображений следует взять два проводника, расположенные под плоскостью раздела, симметрично верхним проводникам и несущие заряды и на единицу длины (рис. 1.8).

В результате получатся две пары разноименно заряженных осей и в однородной среде. Потенциал в любой точке верхней полуплоскости находится методом наложения от каждой пары зарядов на основании формулы (1.25):

где , – расстояния от точки, в которой определяется поле, до отрицательно заряженных осей; , – то же от положительных осей. Перемещая точку наблюдения на поверхность первого провода, найдём потенциал как сумму потенциалов от собственной пары заряженных осей, для которых ; , и от соседней пары заряженных осей (для них ; ):

(1.35)

Потенциал на поверхности второго провода — , удаленной от первой пары осей на расстояния , , а от собственной, второй пары — на расстояния , , аналогично определится как

(1.36)

Множители при зарядах и – потенциальные коэффициенты.

Рис. 1.8. Расчетная модель задачи с двухпроводной линией над Землей по методу зеркальных отражений

В данном случае собственные потенциальные коэффициенты определяются как

, ,

а взаимные потенциальные коэффициенты

Они всегда положительны и имеют размерность м/Ф. Полученные формулы связывают заряды и потенциалы проводов. Если заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из решения системы уравнений (1.35) и (1.36):

Множители при потенциалах и — емкостные коэффициенты. Собственные ёмкостные коэффициенты и всегда положительны, а взаимные коэффициенты и – отрицательны.

1.6. Пример аналитического решения задачи электростатики

Двухпроводная линия находится в однородном поле грозовой тучи с напряженностью , направленной вертикально (Рис. 1.9). U = -10 кВ; = 2 кВ/м; h = 0,5 м, d = 0,3 м; радиус проводов = 10 мм.

1. Рассчитать и построить распределение потенциала вдоль оси y при х = 0;

2. Рассчитать и построить распределение плотности заряда s на поверхности земли;

3. Определить частичные емкости проводов.

Поле системы заряженных проводов и тучи определим методом наложения, используя понятие потенциальных коэффициентов проводов (см. (1.35); (1.36)) и известного решения для поля плоского конденсатора, имеющего значительную протяженность по координатам x и z и конечную длину по координате y . Заряженная туча играет роль верхней пластины конденсатора, “земля” – нижней пластины.

По условию задачи напряженность поля тучи направлена сверху и вниз. Это означает, что туча заряжена положительно и обеспечивает одинаковое значение напряженности поля в любой точке пространства , на некотором удалении от проводов и в том числе на поверхности тучи, устанавливая поверхностную плотность заряда (см. 1.11). Соответственно на поверхности “земли” устанавливается отрицательный поверхностный заряд . Потенциальная функция изменяется по линейному закону , где константа С = 0, т.к. при y = 0 потенциал “земли” принимается равным нулю: .

Рис. 1.9. Двухпроводная линия передачи с заземленным верхним проводом

Поле заряженных проводов суммируется с полем тучи. Используя метод наложения, получим связь потенциалов и зарядов электродов, по формулам Максвелла для потенциальных коэффициентов:

(1.37)

где ; ; найдены по формулам (1.35) и (1.36) и имеют размерность м ¤ Ф. Провода можно считать тонкими, так как выполняется условие , , что предполагает совпадение геометрических и электрических осей проводов.

Потенциалы проводов “жестко” заданы источником питания U = -10 кВ: для нижнего провода = -10 кВ; для верхнего провода, соединённого с “землёй” = 0. Из решения системы (1.37) при = 0, = -10 кВ и = 2 кВ/м найдем Кл/м и Кл/м.

Используя найденные линейные заряды проводов, а также напряженность , сформируем окончательно потенциальную функцию j в системе координат x – y , где ось y проходит через геометрические оси проводов, а точка наблюдения определяется в верхней полуплоскости расстояниями до электрических осей проводов (рис. 1.10):

где ,

(1.38)

и в, частности, при :

где — в вольтах, x и y – в метрах.

Рис. 1.10. Расчетная модель задачи двухпроводной линии с заземленным верхним проводом по методу зеркальных отражений

Поверхностная плотность заряда на поверхности “земли” определяется нормальной составляющей напряженности суммарного поля:

(1.39)

где x – в метрах. Откуда видно, что к заряду обусловленному наличием тучи добавляются два слагаемых, учитывающих влияние каждого из заряженных проводов.

Емкостные коэффициенты можно выразить через потенциальные коэффициенты :

, ,

Частичные ёмкости связаны с ёмкостными коэффициентами выражениями: ; ; . Получим ; ; . Как , так и в данной задаче измеряются в Ф ¤ м.

Для графического представления картины поля воспользуемся возможностями пакета MathCAD .

Для начала отметим характерные особенности при работе в пакете MathCAD , при этом все действия стандартно производятся при англоязычной (международной) раскладке клавиатуры, русская используется только для ввода текстовых вставок и комментариев. В MathCAD для того чтобы присвоить переменной значение в поле рабочего файла следует, удерживая клавишу Shift , нажать на клавишу « :». В появившемся поле ввода “■:=■” слева вводится имя переменной, справа ее величина, например “ :=2”. Если после имени переменной (в примере y ) нажать клавишу « .», то появится маркер ввода нижнего индекса (в примере k ). Чтобы присвоить переменной несколько дискретных значений с постоянным шагом изменения в поле “■:=■” справа вводится начальная величина переменной, далее следует нажать одну за другой клавиши « ,» и « :». После чего поле ввода преобразуется к виду “■:=■,■..■”. После запятой вводится величина равная начальному значению переменной плюс шаг изменения, после двоеточия заносится конечное значение переменной. Отметим, что при вводе чисел в MathCAD необходимо использовать точку. Для возведения числа или переменной в степень следует, удерживая клавишу Shift , нажать клавишу « ^» и далее ввести показатель степени.

Для ввода графиков в пакете MathCAD можно использовать:

— меню Insert опция Graph главного меню пакета (рис. 1.11) с последующим выбором типа графика из выпадающего меню;

— вторую кнопку панели Math , если панель отсутствует, то ее следует активировать View / Toolbars / Math .

— специальные клавиши: например, для создания шаблона двумерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Shift ; для создания шаблона трехмерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Ctrl .

Все эти пути приводят к одинаковому результату – в поле рабочего файла появляется шаблон двумерного или трехмерного графика соответствующего типа. Шаблоны графиков имеют маркеры ввода “■”, которые необходимо заполнить (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Поле рабочего файла в пакете MathCAD с вкладками панели Math

Шаблон двумерного графика по умолчанию имеет два маркера ввода (по одному для осей ординат и абсцисс). Их число может быть увеличено для каждой из осей нажатием на клавишу « ,». В маркеры следует ввести имена функций и их аргументов. После заполнения всех маркеров ввода появление графика вызывается щелчком левой кнопки мыши вне его зоны. График появится при корректном вводе данных и только в том случае, когда он расположен ниже части документа, в которой определяются используемые для построения переменные и функции. В противном случае будет выдано сообщение об ошибке.

Построим график изменения потенциала вдоль вертикальной оси y при х = 0 (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Пример программирования в MathCAD потенциальной функции и ее графического представления

Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла – граничную координату по у (м), – число точек по оси y , – шаги изменения переменной, – выбранное значение x . Далее вводим функцию в соответствии c полученным выражением (1.38).

При построении графиков и не следует забывать о физически обусловленной зависимости поведения этих функций вблизи и внутри электродов, что обычно не учитывается в соответствующих математических выражениях и может привести к неверным результатам. Так если расчетная точка попадает внутрь электрода, то следует определить потенциал этой точки равным заданному потенциалу электрода, а напряженность поля внутри электрода для всех точек приравнять нулю.

Следовательно, для описания поведения подобных функций целесообразно пользоваться условными логическими операторами. Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла радиус провода = 0,01 (м), = 0, = -10 000 (В). Задаем граничные условия Дирихле в областях внутри электродов и на их поверхностях, используя логические операторы if и otherwise из панели Programming (см. рис. 1.11), которая вызывается через меню View/Toolbars/Programming.

Из рисунка (1.12) видно как изменяется потенциальная функция вдоль оси y при х = 0. Так поверхность нижнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной -10 кВ. Аналогично, поверхность верхнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной нулю. Далее с увеличением y влияние системы заряженных проводов на картину поля сказывается все слабее и потенциальная функция изменяется по линейному закону .

Функция распределения плотности свободного заряда s не содержит особенностей и является четной функцией относительно начала координат. Определим границы её изменения и зададим шаг приращения аргумента х. При построении графика распределения плотности свободного заряда s на поверхности земли (рис. 1.13) можно применить полученное аналитически выражение (1.39), которое вводится с клавиатуры в поле рабочего файла. Можно также использовать возможности пакета MathCAD , отыскав с его помощью производную от исследуемой функции. Оператор дифференцирования применяется для вычисления производной исследуемой функции и вызывается щелчком левой кнопкой мыши на соответствующей кнопке панели Calculus (рис. 1.11), вызываемой через меню View/Toolbars/Calculus.

Потенциальная функция, к которой идет обращение (рис. 1.13), задана ранее (см. рис. 1.12). Полученные результаты практически идентичны, поэтому на рис. (1.13) для того чтобы отличить графики, последний незначительно смещен (вверх). Характер изменения функции свободного заряда указывает на его положительные значения в области действия нижнего провода, несущего отрицательный заряд. При значительном удалении от проводов заряд стремится к своему предельному значению s = — 1 . 7 7 0 8 × 10 — 8 , обусловленному влиянием поля тучи.

Рис. 1.13. Пример программирования в MathCAD функции поверхностного свободного заряда

Отметим, что для изменения параметров выводимого графика и масштабной сетки в MathCAD необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши на графике, при этом он выделится синей рамкой, и далее нажать правую кнопку мыши. В возникшем контекстном меню следует выбрать команду “ Format …”, после чего появится окно редактирования параметров выводимого графика (рис. 1.14).

Для редактирования масштабной сетки следует использовать подраздел X — Y Axes (рис. 1.14), который включает следующие возможности: Log Scale – позволяет использовать логарифмический масштаб по соответствующей оси; Grid Lines – осуществляет вывод линий масштабной сетки по соответствующей оси; Numbered – осуществляет оцифровку масштаба по оси; Auto Grid – автоматически устанавливает число линий масштабной сетки по соответствующей оси (при установленном флаге) или позволяет ввести число линий масштабной сетки по соответствующей оси вручную в графе Number of Grids (при снятом флаге).

Активация того или иного пункта подраздела осуществляется установкой флага (в виде галочки) левой кнопкой мыши.

Рис. 1.14. Окно редактирования параметров выводимого графика

Для изменения параметров линий выводимых графиков необходимо использовать подраздел Traces окна редактирования параметров графика.

3 D -Графики. Создание графика поверхности и карты линий уровня

Шаблон 3 D -графика по умолчанию имеет один маркер ввода. В простейшем случае используется только один маркер, в который вводится имя массива (матрицы). При построении нескольких трехмерных графиков в одних осях число маркеров ввода увеличивается с использованием клавиши « ,».

Среди 3 D -графиков наиболее часто используются графики поверхности ( Surface Plot ) в ортогональной системе координат. Графики линий уровня ( Contour Plot ) и векторного поля ( Vector Field Plot ) по существу являются двумерными и позволяют исследовать линии равных значений двумерной функции и крутизну поверхности в каждой ее точке. Типы Data Points (точечный), Bar Plot (столбчатый), Patch Plot (ярусный) позволяют осуществлять изображение поверхностей в различном виде.

Трехмерный график можно построить тремя основными способами:

— по двумерному массиву данных в форме ряда значений;

— применением встроенной функции , где m и n – число строк и столбцов матрицы, f – имя функции двух переменных.

— формированием массива данных в виде матрицы путем программирования функциональной зависимости ее элемента от аргументов;

Если выражение для исследуемой функции определено, то последний способ находит наибольшее применение. В этом случае производят следующие действия:

а) Определяют функцию двух переменных;

б) Указывают границы расчетной области;

в) Задают сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введением дискретных аргументов i и j индексируются точки, где определяются значения функции;

г) Определяют координаты и точек через введённые дискретные переменные;

д) Через операцию присваивания определяют значения двумерного массива – матрицы значений исследуемой функции. MathCad линейно интерполирует значения этой матрицы и формирует требуемый график.

Построим график поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева).

На координатных осях x — y 3- D графиков откладывается число указанных пользователем индексных точек. По вертикальной оси z график исследуемой функции отображается в указанных пользователем размерных единицах. График потенциальной функции, изображённый на рис. 1.12, как функции одной переменной y , совпадает с сечением поверхности потенциальной функции двух переменных при значениях x = 0.

MathCAD позволяет представлять одну и ту же картину поля в различных типах. Выбор типа осуществляется с панели Graph при создании графика (см. рис. 1.11). Если панель Graph свернута, ее можно вызвать через основное меню View / Toolbars / Graph . При создании графика поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева) использовался тип Surface Plot , карты линий равного уровня тип Contour Plot (рис. 1.15 справа).

График определенного типа может быть создан заново или следует скопировать уже созданный и поменять его тип. Для копирования объекта (формулы или графика) необходимо предварительно его выделить, для чего следует: щелкнуть левой кнопкой мыши рядом с объектом, удерживая кнопку переместить курсор мыши на другую его сторону, отпустить кнопку. При этом объект выделяется синей рамкой и может быть скопирован в буфер обмена при нажатии комбинации клавиш Ctrl + C . Щелчок левой кнопкой мыши в свободной части рабочего файла и нажатие комбинации клавиш Ctrl + V позволяет скопировать содержимое буфера в указанное поле экрана. Операции копирования и вставки могут осуществляться также соответствующими командами “ Copy ” и “ Paste ” меню Edit .

Рис. 1.15. Пример построения потенциальной двумерной функции и эквипотенциалей в заданном сечении

Для того чтобы поменять тип уже созданного 3 D -графика нужно:

— дважды щелкнуть на графике левой кнопкой мыши или однократно щелкнуть на графике правой кнопкой мыши и выбрать из контекстного меню команду “ Format …”, появится окно 3- D Plot Format ;

— подраздел General , выбрать необходимый тип графика (рис. 1.16).

Отметим, что MathCAD предоставляет различные возможности изменить внешний вид графика: изменение масштаба; изменение цвета и форматирование линий; форматирование осей введением сетки.

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot , не выведены, то следует вызвать окно 3- D Plot Format , выбрать подраздел Special , столбец Contour Options , активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Рис. 1.16. Пример выбора типа графика в подразделе General окна 3- D Plot Format

Рис. 1.17. Пример назначения оцифровки линий равного уровня в подразделе Special окна 3- D Plot Format

При создании карты линий равного потенциала на рисунке (1.15) пункт Numbered был активирован, также как пункт Auto Contour , при этом MathCAD автоматически выводит значения функции на некотором числе линий уровня. Отключение пункта Auto Contour и задание в графе Number , активированном таким образом, числа шагов, позволяет пользователю самостоятельно изменять количество оцифрованных линий уровня. В большинстве случаев более удобным решением является использование встроенной функции CreateMesh .

Применение функции CreateMesh для построения линии равного уровня

Обращение : CreateMesh ( F ( или G , или f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap).

Возвращает в виде множества трехмерных векторов x — , y — и z = F координат исследуемой поверхности, определённых функцией F , G , или набором функций f 1 , f 2 и f 3 . Все аргументы функций не являются обязательными.

F – трёхэлементный вектор – функция двух переменных u и v ;

G – скалярная функция двух переменных u и v ;

f 1 , f 2 , f 3 – скалярные функции двух переменных u и v ;

s 0 – нижнее значение для независимой переменной u ;

s 1 – верхний предел (значение) для независимой переменной u ;

t 0 – нижний предел для независимой переменной v ;

t 1 – верхний предел для переменной v ;

sgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной u ;

tgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной v ;

fmap – вещественная функция трёхэлементного вектора трёх переменных, который определяет систему координат, начиная от декартовой (по умолчанию). Функция может быть определена или как функция трёх скаляров, или как функция отдельного вектора. Имеются две встроенные графические функции, которые могут использоваться в аргументах fmap : sph 2 xyz и syl 2 xyz . Это функции перехода от сферических (полярных) и круговых (цилиндрических) систем координат, соответственно, к декартовым координатам.

Пример описания векторной функции:

;

Пример описания скалярной функции:

Пример описания трёх функций:

f1(x,y) := x f2(x,y) := y f3(x,y) := sin (x) + cos (y).

Число ячеек в созданной сетке: ( sgrid – 1 ) × ( tgrid – 1).

MathCAD использует внутренние возможности при создании массива значений функции двух переменных.

Пример использования функции CreateMesh приведён в Разделе 2.

Видео:2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать

Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей

Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соответственно из второго (1.37) и первого (1.31) уравнений Максвелла в интегральной форме. В рассматриваемом случае можно считать, что контур Г в уравнении (1.37) не зависит от времени. Поэтому, внося производную по t под знак интеграла, получаем

(1.90)

Сравнивая (1.90) с первым уравнением Максвелла (1.31), замечаем, что равенство (1.90) формально может быть получено из уравнения (1.31), если в последнем положить j = 0 и заменить Н на Е и D на В. Следовательно, можно ограничиться выводом граничного условия для касательной составляющей вектора Н из (1.31), а затем с помощью указанных преобразований получить граничное условие для касательной составляющей вектора Е.

Пусть S0 – граница раздела двух изотропных сред, характеризуемых параметрами ε1, μ1, σ1 и ε2, μ2, σ2 соответственно. Из произвольной точки MS проведем единичную нормаль n0, направленную из второй среды в первую (рис. 1.15). Через n0 проведем плоскость Р. На линии пересечения поверхности раздела S0 с плоскостью Р выделим достаточно малый отрезок Δl, содержащий точку М. Размеры отрезка должны быть такими, чтобы, во-первых, его можно было считать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределение касательной составляющей вектора Н в пределах Δl в обеих средах можно было считать равномерным. В плоскости Р построим прямоугольный контур ABCD, как показано на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Прямоугольный контур ABCD

Стороны АВ и CD параллельны Δl и находятся в разных средах. Кроме того, в точке М проведем единичную касательную τ0 к линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р и единичную нормаль N0 к плоскости Р так, чтобы орты n0, τ0 и N0 составляли правую тройку векторов:

а обход контура ABCD образовывал правовинтовую систему с вектором N0. Применим к контуру ABCD первое уравнение Максвелла (1.31):

(1.91)

где ΔS – площадь, охватываемая контуром ABCD, а dS = N0dS. Левую часть этого равенства можно представить в виде суммы четырех интегралов:

(1.92)

Отметим, что стороны ВС и DA параллельны и равны 2Δh, а направление элемента dl определяется выбранным обходом контура: dl= τ0 dl на АВ и dl= -τ0 dl на CD.

Устремляя Δh к нулю (при этом стороны АВ и CD рассматриваемого контура совпадут с Δl) и учитывая, что функции Н и являются ограниченными, приходим к соотношениям:

где Н1 и Н2 – значения вектора Н на границе раздела S в первой и второй средах соответственно, а H1τ и H2τ – проекции векторов Н1 и Н2 на касательную τ0. Используя эти соотношения при переходе к пределу при Δh→0 в уравнении (1.92), получаем

(1.93)

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, правая часть равенства (1.93) равна нулю. В этом случае касательная составляющая вектора Н оказывается непрерывной:

Касательная составляющая вектора В, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей:

(1.95)

Особый интерес представляет случай, когда токи распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными токами. Плотность поверхностных токов (ее часто называют также поверхностной плотностью) определяется соотношением:

(1.96)

где i0 – единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; ΔL – элемент линии, перпендикулярный вектору i0; ΔI – ток, протекающий через ΔL (рис. 1.16).

Рис. 1.16 Поверхностные токи

Плотность поверхностных токов измеряется в амперах на метр (А/м). В этом случае правая часть равенства (1.95) уже не будет равна нулю. Считая распределение поверхностного тока на отрезке ΔL равномерным (если это не выполняется, нельзя считать равномерным распределение касательной составляющей вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства следующим образом:

где jSN – проекция вектора jS на направление N0. Подставляя это выражение в (1.93) и деля обе части получающегося равенства на Δl, приходим к соотношению:

H1τ – H2τ = jSN. (1.97)

Уравнение (1.97) справедливо для любого направления касательной τ0, и его можно переписать в векторной форме:

jS = [n0, H1 – Н2], (1.98)

где H1 и Н2 – значения вектора Н у границы раздела в первой и во второй средах соответственно.

Уравнения (1.97) и (1.98) показывают, что при переходе через границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касательная составляющая вектора Н претерпевает разрыв, величина которого определяется значением плотности поверхностных токов в рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (1.97) к касательным составляющим вектора В, получаем:

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заряды, обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя токов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя касательная составляющая вектора Н непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального токового слоя бесконечно тонким (т.е. поверхностными токами) приходится считать, что Нτ изменяется скачком.

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е может быть формально получено из равенства (1.97) на основе указанных выше изменений. Полагая в (1.97) jSN = 0 и заменяя касательные составляющие вектора Н на соответствующие касательные составляющие вектора Е, приходим к соотношению:

Равенство (1.99) показывает, что касательная составляющая вектора Е непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. Касательная составляющая вектора D, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями. Выражая E1τ и E2τ в равенстве (1.99) через D1τ и D2τ, получаем

Граничные условия, полученные для составляющих векторов электрического поля, показывают, что на границе раздела векторы Е и D преломляются. Обозначим углы между нормалью n0 к поверхности раздела и векторами Е1 и Е2 соответственно через α1 и α2 (рис. 1.17). Так как tg α1 = E1τ / E1n, a tg α2= E2τ /E2n, то, используя граничные условия (1.86) и (1.99), получаем, что при отсутствии поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следующее соотношение:

(1.100)

Рис. 1.17. Углы между нормалью n0 к поверхности раздела и векторами Е1 и Е2

В изотропных средах векторы Е и D направлены одинаково. Поэтому соотношение (1.100) определяет также преломление вектора D. Очевидно, аналогичное соотношение может быть получено и для векторов магнитного поля. Пусть α1 и α2 – углы между нормалью n0 и векторами H1 и Н2. Тогда, как следует из уравнений (1.89) и (1.94), имеет место соотношение: