Граничные условия для вектора поляризации (5 видео)

Граничные условия для векторов поляризации

Вы будете перенаправлены на Автор24

Содержание

Что такое граничные условия
Уравнения поля
Готовые работы на аналогичную тему
Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков
Граничные условия для вектора поляризации
Потенциал положительно заряженного провода
🎦 Видео

Видео:46. Граничные условия для электрического поляСкачать

Что такое граничные условия

Граничными условиями называют связь между векторами, характеризующими поле, по разные стороны поверхности, которая разграничивает две области. Такая поверхность может разделять вещества, обладающие различными свойствами, может отделять вещество от вакуума, может быть воображаемой границей.

В любом случае граничные условия позволяют определить изменения векторов поля при переходе через границу. Их получают с помощью уравнений поля.

Видео:2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать

Уравнения поля

Если два разных диэлектрика находятся в электрическом поле, то на их границе возникают поверхностные заряды. Это понятно, при одинаковой напряженности электрического поля поляризованность разных диэлектриков различна. Значит, граница диэлектриков пересекается разным количеством поляризационных зарядов со стороны каждого диэлектрика. В конечном итоге около границы собирается некоторый связанный заряд, который является поверхностным зарядом, его поверхностную плотность будем обозначать $_$. Так, при переходе через границу двух различных диэлектриков можно записать следующее выражение:

где $P_$-нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 2, $P_$ — нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 1. Граничное условие для вектора поляризации (1) можно записать несколько иначе:

$overrightarrow$-единичный вектор нормали, который направлен из первой во вторую среду. $overrightarrow

,overrightarrow

$. Формулы (1,2) могут применяться и для границы диэлектрик — вакуум (для вакуума поляризованность полагается равной нулю), то есть $P_=0$, получим в таком случае:

где $P_n$ — перпендикулярная составляющая вектора поляризации на границе диэлектрика с вакуумом.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора $overrightarrow$ можно записать:

где $sigma $ — поверхностная плотность распределения свободных зарядов на границе диэлектриков. $overrightarrow$ — нормаль, которая проведена в сторону второй среды. Если свободных зарядов на границе раздела двух диэлектриков нет, то:

Для тангенциальной составляющей:

Нормальная же составляющая напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков терпит разрыв (силовые линии преломляются). Если около границы нет свободных зарядов, то можно записать:

В том случае если $_2>_1$, следовательно, $E_

Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора напряженности ($E_$) при переходе из одного диэлектрика в другой имеют вид:

Граничные условия выполняются для полей изменяющихся во времени. Эти условия справедливы и для границы с вакуумом. Надо только помнить, что диэлектрическая проницаемость вакуума полагается равна единице.

Задание: Объясните, как ведет себя поле (с точки зрения рисунка силовых линий), если в него внести шаровой слой диэлектрика с достаточно большой диэлектрической проницаемостью (рис.1).

При переходе через границу раздела воздух — диэлектрик силовые линии поля преломляются. Так как воздух имеет меньшую диэлектрическую проницаемость, чем шаровой слой, то силовые линии удаляются от нормали к границе шарового слоя. Если полый диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью внести в электрическое поле, то вследствие преломления линии поля будут концентрироваться преимущественно в слое диэлектрика. Внутри полости они расположатся редко. Поле внутри полости будет ослаблено в сравнении с внешним полем. Полость обладает экранирующим действием. Однако экранирование не является полным. Чем больше $varepsilon $, тем больше экранирующее действие (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: Получите закон преломления линий электрического смещения при переходе границы между двумя диэлектриками (рис.3).

Основой для решения задачи станет тот факт, что линии смещения электрического поля ($overrightarrow$) проходят границу раздела двух диэлектриков не прерываясь (рис.3). Количество линий приходящих к площадке $triangle S$ из диэлектрика с номером (1) будет равно:

[D_1triangle S_1=D_1triangle Scosalpha left(2.1right).]

Количество линий выходящих из площадки $triangle S$ в диэлектрик с номером (2) равно:

[D_2triangle S_2=D_2triangle Scosbeta left(2.2right).]

Так как линии не претерпевают разрыва, то из количества должны быть одинаковы, то есть запишем, что:

[D_1triangle Scosalpha =D_2 triangle Scosв left(2.3right),]

[D_1cosalpha =D_, D_2cosbeta =D_left(2.4right).]

На границе диэлектриков линии электрического смещения терпят преломление, угол между нормалью к поверхности раздела и линией электрического смещения изменяется ($alpha to beta $). Из рис 3. следует, что

следовательно, подставляя граничные условия для составляющих вектора смещения в (2.5) получим закон преломления линий электрического смещения:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 12 2022

Видео:Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать

Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков

Изучим поведение векторов напряженности Е и электрического смещения D электростатического поля на границе раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред 1 (?),/),) и 2 (E₂,D₂). Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть е, и с₂ — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использовать теорему о циркуляции вектора Е (12.16) и теорему Гаусса для вектора (13.14).

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела и по нормали (п) к ней, направленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны А/, а две другие равны АИ (рис. 13.3, а). При любом значении АИ должна выполняться теорема о циркуляции вектора Е (12.16):

Перейдем к пределу при Ah —> 0:

В этом случае значения интеграла j E dI вдоль боковых сторон (АИ) прямоугольного контура L тоже стремятся к нулю. Верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. При обходе контура L по часовой стрелке с учетом выражения (13.16) получаем, что

Рис. 13.3. К получению условий на границе двух диэлектриков: а — для тангенциальных компонент векторов Ё и D, б — для нормальных компонент векторов

где проекции вектора Ё взяты на направление обхода контура, показанное стрелками на рис. 13.3, а. Учтем, что в проекции на вектор т выполняется E_W=

E_U. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля

т.е. тангенциальная составляющая вектора Ё напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Согласно формулам (13.12а) и (13.17), имеем и получаем первое граничное условие для электрического смещения:

т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе раздела диэлектриков разрыв.

Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью AS. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред 1 и 2. Пусть образующие цилиндра длиной Аh параллельны вектору п нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны п (рис. 13.3, б).

В теореме Гаусса (13.14) для вектора D

где q — суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при А/г —> 0 :

В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела lim q = oAS, где о — поверхностная плотность сто-

роннего заряда на границе раздела. Тогда должно выполняться равенство

Получаем граничное условие для вектора D в виде

Если на поверхности раздела сред нет поверхностных сторонних зарядов, то Пт

Рис. 13.4. Преломление линий напряженности на границе двух диэлектриков (е₂ > е,)

В частности, если первая среда — вакуум, то ?| = 1 и Е_2п — Е_1п/е₂. Это условие важно для практического применения в решении задач.

Преломление линий векторов Е и D. Полученные выше условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, что линии данных векторов на этой границе преломляются (рис. 13.4). Найдем соотношение между углами а, и а₂, образуемыми линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то по формулам (13.17) и (13.21) получаем

Из рис. 13.4 следует, что углы а_< и а₂ удовлетворяют условиям

Тогда закон преломления линий напряженности электростатического поля

на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности сторонних зарядов в соответствии с уравнением (13.21) запишется так:

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если на рис. 13.3, б, среда I — проводник, а среда 2 — диэлектрик, то D_ln — D_n, a D_ln — 0, так как внутри проводника Е — 0. Из формулы (13.19) следует, что

где И — внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника. Можно доказать, что если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик (объемная плотность связанных зарядов р’ = 0), то на границе диэлектрика с проводником будут связанные заряды с поверхностной плотностью о’:

где о — поверхностная плотность стороннего заряда на проводнике. При этом знаки связанного и стороннего зарядов будут противоположны.

Сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном диапазоне температур спонтанной поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Они используются в конденсаторах большой емкости при малых размерах. Примеры: сегнетова соль NaKC₄H₄0₆ 4Н₂0, титанат бария ВаТЮ₃.

Домены — это области сегнетоэлектриков с различными направлениями поляризации. Доменная структура отражает особенности развития фазового перехода в реальном сегнетоэлектрике. Температура, выше которой исчезают сегнетоэлектрические свойства и вещество ведет себя как изотропный диэлектрик, называют тонкой Кюри Т_с . В некотором температурном интервале у сегнетоэлектриков ?

10 000 . Например, у сегнето- вой соли Т_с — 258 —296 К, спонтанная поляризация p_s — 2,6 нКл/м 2 , ?-200; у титаната бария Г_С=391К, спонтанная поляризация p_s = 158 нКл/м 2 , ?-3000.

Рис. 13.5. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлект-

Для сегнетоэлектриков связь между вектором напряженности внешнего электрического поля Е и вектором поляризации Р нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса — сохранения остаточной поляризованности Р_0СТ при снятии внешнего поля (рис. 13.5). Поляризация образца исчезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления, напряженность которого Е =

Е_С. Величина Е_с называется коэрцитивной силой.

Пьезоэлектрики — это кристаллические диэлектрики, в которых при сжатии или растяжении возникает электрическая поляризация — прямой пьезоэффект. Обратный пьезоэффект — появление механической деформации под действием электрического поля.

Видео:Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриковСкачать

Граничные условия для вектора поляризации

1.1. Основные уравнения

Для электростатических полей, обусловленных действием неподвижных электрических зарядов, справедливы уравнения:

или (1.1)

или , (1.2)

где L — контур интегрирования; S — поверхность интегрирования; r — объёмная плотность свободных зарядов; S q — сумма свободных зарядов. Поля подобного типа являются безвихревыми, что позволяет исследовать их путём введения потенциальной функции j , которая связанным с напряженностью соотношением:

. (1.3)

Вектора напряженности электрического поля и электрической индукции для большинства задач определены линейным соотношением:

где Ф/м – электрическая постоянная, e — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

В однородной среде ( e = const ) для потенциала справедливо уравнение Пуассона –

(1.4)

и, в частности, где отсутствуют свободные заряды, уравнение Лапласа –

. (1.5)

Граничные условия

Граничные условия определяют поведение векторов поля (нормальных и тангенциальных составляющих) на границе раздела двух сред, параметры которых меняются скачком. Для всех электрических полей имеют место основные граничные условия, которые являются прямым следствием системы уравнений Максвелла:

или (1.6)

. (1.7)

Здесь t означает тангенциальную составляющую проекции вектора к границе раздела двух сред, а n – нормальную составляющую. При этом предполагается, что нормаль к поверхности раздела сред n направлена из первой среды во вторую. Символом s обозначают поверхностную плотность свободных зарядов, которая имеет размерность Кл/м 2 , совпадающую с размерностью вектора электрической индукции D .

Граничные условия для диэлектриков

На границе раздела двух диэлектриков свободный поверхностный заряд s = 0. Следовательно,

или . (1.8)

В диэлектрике кроме векторов и рассматривают вектор поляризации вещества , который связан с основными векторами поля выражением:

или , (1.9)

где — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. На границе раздела диэлектриков возникает связный электрический заряд , который с учётом выражения (1.9) определяется условием:

. (1.10)

Граничные условия на поверхности раздела диэлектрик – проводник

Электростатическое поле может создаваться системой точечных — q , поверхностных — s и линейных — t зарядов. В технике в качестве источников поля используют систему заряженных поводящих тел (электродов), несущих на себе независимый заряд или заряд, обусловленный дополнительными источниками питания. В статике движения свободных зарядов внутри проводника быть не может. Поэтому весь заряд электрода q распределяется только по поверхности ( s ¹ 0 ), а поле внутри проводника становится равным нулю ( ; ). Тогда граничные условия (1.6, 1.7) на поверхности проводника примут вид

, (1.11)

т.е. на поверхности проводящего тела вектор электрической индукции изменяется скачком на величину поверхностной плотности свободного заряда в данной точке, а направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности проводника n .

Условие (1.11) с учетом (1.3) принимает вид

(1.12)

и его называют граничным условием Неймана, записанным в дифференциальной форме. То же граничное условие в интегральной форме

, (1.13)

где под q понимают суммарный заряд электрода.

Поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью, что записывают в виде

(1.14)

и называют граничным условием Дирихле.

1.2. Прямая задача электростатики

Во многих случаях приходится решать сложные задачи, из которых наиболее типичными являются следующие:

1. Нахождение поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. В инженерной практике потенциалы электродов обычно задаются источниками питания и могут быть измерены или вычислены.

2. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого заданным распределением объёмных электрических зарядов в пространстве.

Прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Пуассона (1.4), которое в декартовой системе координат принимает вид

(1.15)

или уравнения Лапласа (1.5):

. (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Эти уравнения в зависимости от симметрии задачи могут быть записаны в цилиндрических или сферических координатах.

Для получения единственного решения уравнения (1.15) или (1.16) необходимо дополнить их граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1. Граничное условие Дирихле : значение j задано на некоторой замкнутой области. Обычно это проводящая поверхность или поверхность электрода, потенциал которой постоянен (см. 1.14).

2. Граничное условие Неймана : на границе области задана нормальная производная функции потенциала j (см. 1.12 или 1.13). Это граничное условие определено поверхностной плотностью заряда s , которое также поддаётся анализу для широкого круга задач. К граничным условиям Неймана следует также отнести задание точечных — q и линейных — t зарядов.

3. Смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Целью расчёта является нахождение потенциала j и напряженности поля по заданному расположению и форме заряженных тел – электродов – и граничным условиям. Такая задача называется прямой задачей. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона. Если же требуется найти поле в диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела, то ищут решение уравнения Лапласа, т.е. решают прямую задачу электростатики в постановке Неймана или Дирихле. При этом совокупность всех проводящих тел образуют границу области существования поля. Эта задача имеет единственное решение, если найденная потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным граничным условиям.

Обратная задача электростатики предполагает определение по известному полю местоположения источников поля и величины зарядов, создающих это поле . Такого рода задачи рассматривают, например, в геологоразведке при поиске полезных ископаемых.

1.3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики. Ограничимся здесь лишь указанием некоторых приемов, изложенных в учебной электротехнической литературе [1] – [7]. К ним следует отнести:

а) Использование интегральных уравнений для решения симметричных задач;

б) Метод наложения;

в) Метод изображений;

г) Метод участков;

д) Метод средних потенциалов;

е) Метод разделения переменных (Фурье).

В настоящем пособии рассматриваются метод наложения совместно с методом зеркальных изображений.

Метод наложения. Формулы Максвелла

В случае линейной среды ( = const ) по методу наложения имеем:

Потенциалы и заряды проводящих тел связаны между собой линейными соотношениями, которые называются формулами Максвелла. Если известны заряды электродов, то их потенциалы могут быть найдены путём решения задачи Неймана. В этом случае связь осуществляется потенциальными коэффициентами a :

(1.17)

где и — потенциалы и заряды электродов, причем собственный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный потенциальный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Если известны потенциалы электродов, то, решив задачу Дирихле, можно найти заряды электродов и записать формулы Максвелла с емкостными коэффициентами:

(1.18)

где собственный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Вместо линейных соотношений (1.18) более удобно применять формулы с частичными емкостями, которые связывают заряды электродов и напряжения между ними.

Формулы с частичными емкостями:

(1.19)

где собственная частичная емкость при , взаимная частичная емкость при (кроме ).

Символом обозначают потенциал электрода, значительно удалённого от области исследования поля. Для системы электродов, линейные размеры которых ограничены, за ноль принимается потенциал бесконечно удаленной точки. Если электроды (теоретически) уходят в бесконечность, то в качестве известного нулевого потенциала указывают точку (или линию), расположенную на границе симметрии задачи. Определять потенциал этой точки необходимо, так как только в этом случае однозначно определяются потенциалы остальных точек (электродов).

1.4. Поля электродов простых геометрических форм

Поле шарового заряда

Заряд q на проводящей шаровой поверхности радиуса R в силу симметрии распределяется равномерно, и потенциал вне сферы определяется выражением:

. (1.20)

Уравнение r = const будет уравнением эквипотенциальной поверхности, все они образуют концентрически расположенные сферы.

Если положить потенциал в бесконечности ( r = ¥ ) равным нулю, то постоянная const _S = 0. Может оказаться целесообразным положить равным нулю значение потенциала на поверхности некоторой внешней сферы радиуса . В таком случае:

Если с этой сферой совместить проводящую поверхность второго электрода, т.е. металлизировать эквипотенциальную поверхность, то можно найти ёмкость сферического конденсатора:

Вектор напряженности поля направлен радиально и равен

. (1.21)

Поле длинной заряженной оси, кругового цилиндра и коаксиальных цилиндров

Для длинной заряженной оси – тонкого провода, направленного вдоль оси z , рассматривают заряд на единицу длины провода t . В силу осевой симметрии задачи вектора и имеют единственную радиальную составляющую

; . (1.22)

Соответственно потенциал определится логарифмической функцией:

. (1.23)

Эквипотенциальные поверхности – боковые поверхности цилиндров, оси которых совпадают с заряженной осью ( r = const ). Радиусы соседних поверхностей, потенциалы которых отличаются на одну и ту же величину, выбираются в геометрической прогрессии с произвольным знаменателем. Поле между двумя металлизированными цилиндрическими поверхностями совпадает с полем цилиндрического конденсатора и с полем заряженного провода.

Если положить равным нулю потенциал на некоторой цилиндрической поверхности радиуса , то

; .

Если известна разность потенциалов между двумя цилиндрическими металлизированными соосными поверхностями радиусами r и , то можно найти ёмкость цилиндрического конденсатора на единицу длины:

Силовые линии вектора напряжённости поля и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Для характеристики силовых линий вводится понятие функции потока V , которая имеет постоянное значение на выбранной силовой линии: . Одну из силовых линий рассматривают как нулевую, полагая на ней V = 0, что можно сделать, так как функция определяется с точностью до постоянной. Для линейного провода эта функция имеет вид

(1.24)

где q — угловая полярная координата, т.е. угол, вершиной которого является точка на оси провода. = 0, если q = 0. Переменная q изменяется в пределах от 0 до 2 p . Коэффициент показывает, сколько единичных линий напряженности заключено внутри угла, равного одному радиану. Приращение D V функции потока при переходе от к–ой до (к+1)–ой линии напряжённости поля принято задавать постоянным числом:

, или .

Область, заключённая между двумя силовыми линиями, называется силовой трубкой. Поток вектора внутри силовой трубки постоянен и определён частью заряда электрода.

Потенциал и функция потока не могут выбираться произвольно, они связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые называют условиями Коши – Римана:

; .

Эти условия для рассматриваемого случая легко проверяются, если в выражениях (1.21) и (1.22) от полярных координат перейти к декартовым по формулам:

; .

Решения (1.23) и (1.24) имеют большое прикладное значение, так как расчет поля системы длинных параллельных проводов, применяемых, например, для передачи энергии или для телефонной связи, сводится практически к сложению полей нескольких пар бесконечно длинных разноимённо заряженных осей.

Поле двух разноимённо заряженных осей

Для определения поля системы тонких проводов равномерно и разноимённо заряженных с линейной плотностью заряда + t и — t , расположенных на расстоянии 2 a друг от друга, применим метод наложения. На основании выражения (1.23) имеем

где и — расстояния от точки наблюдения до отрицательно и положительно заряженных проводов соответственно (рис. 1.1), или

Рис. 1.1. Построение эквипотенциали для двух разноименно заряженных осей

Первое слагаемое обращается в нуль при , т.е. в точках плоскости, перпендикулярной отрезку 2а и проходящей через её середину. След этой плоскости обычно совмещают с одной из осей координат. Если принять потенциал этой плоскости за нуль, то const = 0 , и окончательно получим

. (1.25)

Эквипотенциальные поверхности (линии в плоскости чертежа) представляют собой окружности со смещенными центрами. На рис. 1.1 точка p лежит на эквипотенциальной поверхности.

Из выражения (1.25) следует условие постоянства потенциала при выполнении условия , где k — параметр семейства этих линий. Радиус эквипотенциальной поверхности R и смещение центра s связаны с параметрами а и k условиями:

или . (1.26)

Если k > 1 ( ), окружность охватывает след провода с зарядом + t , если k 1 , то точку — t . Точки 1 и 2, определяющие положение электрических осей относительно эквипотенциальных поверхностей радиуса R , расположены инверсно друг по отношению друга, что следует из соотношений (1.26), т.е. являются взаимно обратными.

Функция потока V определяется методом наложения с использованием выражения (1.24):

где = 0, если считать V = 0 при q ₁ = q ₂ , что имеет место на отрезках оси абсцисс, уходящих от проводов в бесконечность. Уравнение любой линии напряженности поля имеет вид:

, или .

Семейство силовых линий поля образуют дуги окружностей, проходящих через заряженные оси, а центры окружностей расположены на оси симметрии задачи, т.е. на линии, где j = 0 (рис. 1.2) .

Рис. 1.2. Построение силовых линий напряженности электрического поля для двух разноименно заряженных осей

Координаты центра окружности связаны с заданным значением J условием:

; .

Из любой точки силовой линии отрезок 2а наблюдается под одним и тем же углом J , что и доказывает правильность такого построения.

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать разность одинаковой для двух соседних линий. Для этого необходимо изменять угол J на постоянную величину D J = const .

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля взаимно перпендикулярны.

Поле параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Любую эквипотенциальную поверхность можно совместить с поверхностью электрода, потенциал которого равен потенциалу этой поверхности. При этом внешнее поле, которое существует между электродами, не изменится. Этот приём называют металлизацией эквипотенциальных поверхностей.

Если известны радиусы проводящих цилиндров , и расстояние между геометрическими осями цилиндров d , то потенциальную функцию j можно определить по той же формуле (1.23), предварительно определив положение электрических осей — а и расстояние геометрического центра каждого провода — , до линии нулевого потенциала. Для случая, изображенного на рис. 1.3, на основании (1.24) имеем систему:

. (1.27)

Рис. 1.3. Взаимное внутреннее расположение двух несоосных цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.4, третье уравнение в системе (1.27) следует заменить на . Вычислив неизвестные , и a , можно через них на основании (1.26) выразить потенциалы цилиндров, напряжение между цилиндрами, а также ёмкость между ними на единицу длины.

Рис. 1.4. Взаимное внешнее расположение двух цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.3, имеем

;

. (1.28)

Для случая, изображенного на рис. 1.4,

;

(так как );

. (1.29)

Линейная плотность заряда вычисляется по формуле (1.28) или (1.29) по заданной величине напряжения .

Вектор напряженности поля находят по формуле (1.3), которая для плоскопараллельного поля принимает вид:

(1.30)

Для того чтобы воспользоваться формулой (1.30), необходимо выбрать систему координат, совмещенную с осями симметрии задачи. Например, ось x направить горизонтально через электрические оси электродов, а ось y совместить с линией нулевого потенциала, т.е. использовать электрическую симметрию задачи.

Поле и ёмкость системы цилиндр – плоскость

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над проводящей плоскостью (например, над поверхностью Земли) и приложенное напряжение U . Этот пример является частным случаем электродов, изображенных на рис. 1.3, где , . Положение электрических осей (рис. 1.5) можно определить из уравнений (1.26) при замене ; .

Рис. 1.5. Взаимное расположение заряженного цилиндра и плоскости

(1.31)

где — собственный потенциальный коэффициент, связывающий потенциал и заряд цилиндра (первого электрода).

Потенциал плоскости (второго электрода) . Напряжение . Линейная плотность , а ёмкость на единицу длины

Если радиус цилиндра (тонкого провода) мал по сравнению с высотой h , то в последней формуле можно считать :

. (1.32)

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Пусть известны радиусы цилиндров (проводов), расстояние между геометрическими осями и приложенное к проводам напряжение . Положение электрических осей определяются из уравнений

; ,

как частный случай расположения электродов (рис. 1.4): ; .

Потенциал положительно заряженного провода

потенциал отрицательно заряженного провода

напряжение, ёмкость на единицу длины и заряд на единицу длины

Эти выражения можно упростить для тонких проводов, если считать совпадающими электрические и геометрические оси проводов: .

1.5. Метод зеркальных отражений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных отражений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркальные отражения заданных зарядов.

При отражении точечного заряда q (или линейного заряда t ), расположенного в близи плоской проводящей границы, отраженный заряд , т.е. меняет свой знак на обратный. При этом граничные условия для векторов поля на проводящей поверхности тождественно выполняются во всех точках, что позволяет исключить из анализа саму поверхность. Заряд заменяет своим интегральным действием наведённый свободный заряд s проводящей поверхности.

Если заряд (или ) расположен у границы двух диэлектриков (рис. 1.6 a ), то на поверхности раздела наводятся связанные электрические заряды, которые подчиняются граничному условию (1.10).

Исключить действие этих зарядов с заменой их эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд (рис. 1.6б), определяется зарядом и зарядом

, (1.33)

где . При этом вторая среда замещается первой, т.е. становится однородной с диэлектрической проницаемостью . Правильное поле потенциала определяется в этом случае в верхней полуплоскости;

Рис. 1.6. а) заряд вблизи границы двух диэлектрических сред; б) расположение эквивалентных зарядов для расчета поля в 1-й среде; в) то же для 2-й среды

б) Поле по другую сторону границы, т.е. в нижней полуплоскости (среда с ) , определяется зарядом

, (1.34)

где . При этом первая среда замещается второй и становится однородной с диэлектрической проницаемостью (рис. 1.6в).

Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Поле и ёмкость двухпроводной линии с учётом влияния Земли

Два длинных тонких провода радиусом R протянуты параллельно поверхности Земли; расстояние между проводами d , высота подвеса и (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Взаимное расположение линейных заряженных проводов относительно плоской проводящей поверхности (“земли”)

Пусть заданы постоянные линейные плотности заряда каждого провода и . Для определённости будем считать их положительными. Требуется определить потенциалы проводов, если поверхность Земли считать эквипотенциальной поверхностью с нулевым потенциалом.

Непосредственное решение задачи невозможно: на поверхности Земли наводятся заряды, поверхностная плотность которых заранее не известна. Так как поверхность Земли эквипотенциальна, то её можно убрать, т. е. принять, что параметры нижнего полупространства одинаковы с параметрами верхнего полупространства, и зеркально разместить электрические заряды обратных знаков в нижней полуплоскости. При этом сохраняется прежнее граничное условие на поверхности Земли . В данном случае в качестве изображений следует взять два проводника, расположенные под плоскостью раздела, симметрично верхним проводникам и несущие заряды и на единицу длины (рис. 1.8).

В результате получатся две пары разноименно заряженных осей и в однородной среде. Потенциал в любой точке верхней полуплоскости находится методом наложения от каждой пары зарядов на основании формулы (1.25):

где , – расстояния от точки, в которой определяется поле, до отрицательно заряженных осей; , – то же от положительных осей. Перемещая точку наблюдения на поверхность первого провода, найдём потенциал как сумму потенциалов от собственной пары заряженных осей, для которых ; , и от соседней пары заряженных осей (для них ; ):

(1.35)

Потенциал на поверхности второго провода — , удаленной от первой пары осей на расстояния , , а от собственной, второй пары — на расстояния , , аналогично определится как

(1.36)

Множители при зарядах и – потенциальные коэффициенты.

Рис. 1.8. Расчетная модель задачи с двухпроводной линией над Землей по методу зеркальных отражений

В данном случае собственные потенциальные коэффициенты определяются как

, ,

а взаимные потенциальные коэффициенты

Они всегда положительны и имеют размерность м/Ф. Полученные формулы связывают заряды и потенциалы проводов. Если заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из решения системы уравнений (1.35) и (1.36):

Множители при потенциалах и — емкостные коэффициенты. Собственные ёмкостные коэффициенты и всегда положительны, а взаимные коэффициенты и – отрицательны.

1.6. Пример аналитического решения задачи электростатики

Двухпроводная линия находится в однородном поле грозовой тучи с напряженностью , направленной вертикально (Рис. 1.9). U = -10 кВ; = 2 кВ/м; h = 0,5 м, d = 0,3 м; радиус проводов = 10 мм.

1. Рассчитать и построить распределение потенциала вдоль оси y при х = 0;

2. Рассчитать и построить распределение плотности заряда s на поверхности земли;

3. Определить частичные емкости проводов.

Поле системы заряженных проводов и тучи определим методом наложения, используя понятие потенциальных коэффициентов проводов (см. (1.35); (1.36)) и известного решения для поля плоского конденсатора, имеющего значительную протяженность по координатам x и z и конечную длину по координате y . Заряженная туча играет роль верхней пластины конденсатора, “земля” – нижней пластины.

По условию задачи напряженность поля тучи направлена сверху и вниз. Это означает, что туча заряжена положительно и обеспечивает одинаковое значение напряженности поля в любой точке пространства , на некотором удалении от проводов и в том числе на поверхности тучи, устанавливая поверхностную плотность заряда (см. 1.11). Соответственно на поверхности “земли” устанавливается отрицательный поверхностный заряд . Потенциальная функция изменяется по линейному закону , где константа С = 0, т.к. при y = 0 потенциал “земли” принимается равным нулю: .

Рис. 1.9. Двухпроводная линия передачи с заземленным верхним проводом

Поле заряженных проводов суммируется с полем тучи. Используя метод наложения, получим связь потенциалов и зарядов электродов, по формулам Максвелла для потенциальных коэффициентов:

(1.37)

где ; ; найдены по формулам (1.35) и (1.36) и имеют размерность м ¤ Ф. Провода можно считать тонкими, так как выполняется условие , , что предполагает совпадение геометрических и электрических осей проводов.

Потенциалы проводов “жестко” заданы источником питания U = -10 кВ: для нижнего провода = -10 кВ; для верхнего провода, соединённого с “землёй” = 0. Из решения системы (1.37) при = 0, = -10 кВ и = 2 кВ/м найдем Кл/м и Кл/м.

Используя найденные линейные заряды проводов, а также напряженность , сформируем окончательно потенциальную функцию j в системе координат x – y , где ось y проходит через геометрические оси проводов, а точка наблюдения определяется в верхней полуплоскости расстояниями до электрических осей проводов (рис. 1.10):

где ,

(1.38)

и в, частности, при :

где — в вольтах, x и y – в метрах.

Рис. 1.10. Расчетная модель задачи двухпроводной линии с заземленным верхним проводом по методу зеркальных отражений

Поверхностная плотность заряда на поверхности “земли” определяется нормальной составляющей напряженности суммарного поля:

(1.39)

где x – в метрах. Откуда видно, что к заряду обусловленному наличием тучи добавляются два слагаемых, учитывающих влияние каждого из заряженных проводов.

Емкостные коэффициенты можно выразить через потенциальные коэффициенты :

, ,

Частичные ёмкости связаны с ёмкостными коэффициентами выражениями: ; ; . Получим ; ; . Как , так и в данной задаче измеряются в Ф ¤ м.

Для графического представления картины поля воспользуемся возможностями пакета MathCAD .

Для начала отметим характерные особенности при работе в пакете MathCAD , при этом все действия стандартно производятся при англоязычной (международной) раскладке клавиатуры, русская используется только для ввода текстовых вставок и комментариев. В MathCAD для того чтобы присвоить переменной значение в поле рабочего файла следует, удерживая клавишу Shift , нажать на клавишу « :». В появившемся поле ввода “■:=■” слева вводится имя переменной, справа ее величина, например “ :=2”. Если после имени переменной (в примере y ) нажать клавишу « .», то появится маркер ввода нижнего индекса (в примере k ). Чтобы присвоить переменной несколько дискретных значений с постоянным шагом изменения в поле “■:=■” справа вводится начальная величина переменной, далее следует нажать одну за другой клавиши « ,» и « :». После чего поле ввода преобразуется к виду “■:=■,■..■”. После запятой вводится величина равная начальному значению переменной плюс шаг изменения, после двоеточия заносится конечное значение переменной. Отметим, что при вводе чисел в MathCAD необходимо использовать точку. Для возведения числа или переменной в степень следует, удерживая клавишу Shift , нажать клавишу « ^» и далее ввести показатель степени.

Для ввода графиков в пакете MathCAD можно использовать:

— меню Insert опция Graph главного меню пакета (рис. 1.11) с последующим выбором типа графика из выпадающего меню;

— вторую кнопку панели Math , если панель отсутствует, то ее следует активировать View / Toolbars / Math .

— специальные клавиши: например, для создания шаблона двумерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Shift ; для создания шаблона трехмерного графика следует нажать клавишу «2», удерживая при этом клавишу Ctrl .

Все эти пути приводят к одинаковому результату – в поле рабочего файла появляется шаблон двумерного или трехмерного графика соответствующего типа. Шаблоны графиков имеют маркеры ввода “■”, которые необходимо заполнить (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Поле рабочего файла в пакете MathCAD с вкладками панели Math

Шаблон двумерного графика по умолчанию имеет два маркера ввода (по одному для осей ординат и абсцисс). Их число может быть увеличено для каждой из осей нажатием на клавишу « ,». В маркеры следует ввести имена функций и их аргументов. После заполнения всех маркеров ввода появление графика вызывается щелчком левой кнопки мыши вне его зоны. График появится при корректном вводе данных и только в том случае, когда он расположен ниже части документа, в которой определяются используемые для построения переменные и функции. В противном случае будет выдано сообщение об ошибке.

Построим график изменения потенциала вдоль вертикальной оси y при х = 0 (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Пример программирования в MathCAD потенциальной функции и ее графического представления

Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла – граничную координату по у (м), – число точек по оси y , – шаги изменения переменной, – выбранное значение x . Далее вводим функцию в соответствии c полученным выражением (1.38).

При построении графиков и не следует забывать о физически обусловленной зависимости поведения этих функций вблизи и внутри электродов, что обычно не учитывается в соответствующих математических выражениях и может привести к неверным результатам. Так если расчетная точка попадает внутрь электрода, то следует определить потенциал этой точки равным заданному потенциалу электрода, а напряженность поля внутри электрода для всех точек приравнять нулю.

Следовательно, для описания поведения подобных функций целесообразно пользоваться условными логическими операторами. Через операторы присваивания указываем в поле рабочего файла радиус провода = 0,01 (м), = 0, = -10 000 (В). Задаем граничные условия Дирихле в областях внутри электродов и на их поверхностях, используя логические операторы if и otherwise из панели Programming (см. рис. 1.11), которая вызывается через меню View/Toolbars/Programming.

Из рисунка (1.12) видно как изменяется потенциальная функция вдоль оси y при х = 0. Так поверхность нижнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной -10 кВ. Аналогично, поверхность верхнего провода эквипотенциальна и величина потенциала остается неизменной от до и равной нулю. Далее с увеличением y влияние системы заряженных проводов на картину поля сказывается все слабее и потенциальная функция изменяется по линейному закону .

Функция распределения плотности свободного заряда s не содержит особенностей и является четной функцией относительно начала координат. Определим границы её изменения и зададим шаг приращения аргумента х. При построении графика распределения плотности свободного заряда s на поверхности земли (рис. 1.13) можно применить полученное аналитически выражение (1.39), которое вводится с клавиатуры в поле рабочего файла. Можно также использовать возможности пакета MathCAD , отыскав с его помощью производную от исследуемой функции. Оператор дифференцирования применяется для вычисления производной исследуемой функции и вызывается щелчком левой кнопкой мыши на соответствующей кнопке панели Calculus (рис. 1.11), вызываемой через меню View/Toolbars/Calculus.

Потенциальная функция, к которой идет обращение (рис. 1.13), задана ранее (см. рис. 1.12). Полученные результаты практически идентичны, поэтому на рис. (1.13) для того чтобы отличить графики, последний незначительно смещен (вверх). Характер изменения функции свободного заряда указывает на его положительные значения в области действия нижнего провода, несущего отрицательный заряд. При значительном удалении от проводов заряд стремится к своему предельному значению s = — 1 . 7 7 0 8 × 10 — 8 , обусловленному влиянием поля тучи.

Рис. 1.13. Пример программирования в MathCAD функции поверхностного свободного заряда

Отметим, что для изменения параметров выводимого графика и масштабной сетки в MathCAD необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши на графике, при этом он выделится синей рамкой, и далее нажать правую кнопку мыши. В возникшем контекстном меню следует выбрать команду “ Format …”, после чего появится окно редактирования параметров выводимого графика (рис. 1.14).

Для редактирования масштабной сетки следует использовать подраздел X — Y Axes (рис. 1.14), который включает следующие возможности: Log Scale – позволяет использовать логарифмический масштаб по соответствующей оси; Grid Lines – осуществляет вывод линий масштабной сетки по соответствующей оси; Numbered – осуществляет оцифровку масштаба по оси; Auto Grid – автоматически устанавливает число линий масштабной сетки по соответствующей оси (при установленном флаге) или позволяет ввести число линий масштабной сетки по соответствующей оси вручную в графе Number of Grids (при снятом флаге).

Активация того или иного пункта подраздела осуществляется установкой флага (в виде галочки) левой кнопкой мыши.

Рис. 1.14. Окно редактирования параметров выводимого графика

Для изменения параметров линий выводимых графиков необходимо использовать подраздел Traces окна редактирования параметров графика.

3 D -Графики. Создание графика поверхности и карты линий уровня

Шаблон 3 D -графика по умолчанию имеет один маркер ввода. В простейшем случае используется только один маркер, в который вводится имя массива (матрицы). При построении нескольких трехмерных графиков в одних осях число маркеров ввода увеличивается с использованием клавиши « ,».

Среди 3 D -графиков наиболее часто используются графики поверхности ( Surface Plot ) в ортогональной системе координат. Графики линий уровня ( Contour Plot ) и векторного поля ( Vector Field Plot ) по существу являются двумерными и позволяют исследовать линии равных значений двумерной функции и крутизну поверхности в каждой ее точке. Типы Data Points (точечный), Bar Plot (столбчатый), Patch Plot (ярусный) позволяют осуществлять изображение поверхностей в различном виде.

Трехмерный график можно построить тремя основными способами:

— по двумерному массиву данных в форме ряда значений;

— применением встроенной функции , где m и n – число строк и столбцов матрицы, f – имя функции двух переменных.

— формированием массива данных в виде матрицы путем программирования функциональной зависимости ее элемента от аргументов;

Если выражение для исследуемой функции определено, то последний способ находит наибольшее применение. В этом случае производят следующие действия:

а) Определяют функцию двух переменных;

б) Указывают границы расчетной области;

в) Задают сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введением дискретных аргументов i и j индексируются точки, где определяются значения функции;

г) Определяют координаты и точек через введённые дискретные переменные;

д) Через операцию присваивания определяют значения двумерного массива – матрицы значений исследуемой функции. MathCad линейно интерполирует значения этой матрицы и формирует требуемый график.

Построим график поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева).

На координатных осях x — y 3- D графиков откладывается число указанных пользователем индексных точек. По вертикальной оси z график исследуемой функции отображается в указанных пользователем размерных единицах. График потенциальной функции, изображённый на рис. 1.12, как функции одной переменной y , совпадает с сечением поверхности потенциальной функции двух переменных при значениях x = 0.

MathCAD позволяет представлять одну и ту же картину поля в различных типах. Выбор типа осуществляется с панели Graph при создании графика (см. рис. 1.11). Если панель Graph свернута, ее можно вызвать через основное меню View / Toolbars / Graph . При создании графика поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева) использовался тип Surface Plot , карты линий равного уровня тип Contour Plot (рис. 1.15 справа).

График определенного типа может быть создан заново или следует скопировать уже созданный и поменять его тип. Для копирования объекта (формулы или графика) необходимо предварительно его выделить, для чего следует: щелкнуть левой кнопкой мыши рядом с объектом, удерживая кнопку переместить курсор мыши на другую его сторону, отпустить кнопку. При этом объект выделяется синей рамкой и может быть скопирован в буфер обмена при нажатии комбинации клавиш Ctrl + C . Щелчок левой кнопкой мыши в свободной части рабочего файла и нажатие комбинации клавиш Ctrl + V позволяет скопировать содержимое буфера в указанное поле экрана. Операции копирования и вставки могут осуществляться также соответствующими командами “ Copy ” и “ Paste ” меню Edit .

Рис. 1.15. Пример построения потенциальной двумерной функции и эквипотенциалей в заданном сечении

Для того чтобы поменять тип уже созданного 3 D -графика нужно:

— дважды щелкнуть на графике левой кнопкой мыши или однократно щелкнуть на графике правой кнопкой мыши и выбрать из контекстного меню команду “ Format …”, появится окно 3- D Plot Format ;

— подраздел General , выбрать необходимый тип графика (рис. 1.16).

Отметим, что MathCAD предоставляет различные возможности изменить внешний вид графика: изменение масштаба; изменение цвета и форматирование линий; форматирование осей введением сетки.

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot , не выведены, то следует вызвать окно 3- D Plot Format , выбрать подраздел Special , столбец Contour Options , активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Рис. 1.16. Пример выбора типа графика в подразделе General окна 3- D Plot Format

Рис. 1.17. Пример назначения оцифровки линий равного уровня в подразделе Special окна 3- D Plot Format

При создании карты линий равного потенциала на рисунке (1.15) пункт Numbered был активирован, также как пункт Auto Contour , при этом MathCAD автоматически выводит значения функции на некотором числе линий уровня. Отключение пункта Auto Contour и задание в графе Number , активированном таким образом, числа шагов, позволяет пользователю самостоятельно изменять количество оцифрованных линий уровня. В большинстве случаев более удобным решением является использование встроенной функции CreateMesh .

Применение функции CreateMesh для построения линии равного уровня

Обращение : CreateMesh ( F ( или G , или f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap).

Возвращает в виде множества трехмерных векторов x — , y — и z = F координат исследуемой поверхности, определённых функцией F , G , или набором функций f 1 , f 2 и f 3 . Все аргументы функций не являются обязательными.

F – трёхэлементный вектор – функция двух переменных u и v ;

G – скалярная функция двух переменных u и v ;

f 1 , f 2 , f 3 – скалярные функции двух переменных u и v ;

s 0 – нижнее значение для независимой переменной u ;

s 1 – верхний предел (значение) для независимой переменной u ;

t 0 – нижний предел для независимой переменной v ;

t 1 – верхний предел для переменной v ;

sgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной u ;

tgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной v ;

fmap – вещественная функция трёхэлементного вектора трёх переменных, который определяет систему координат, начиная от декартовой (по умолчанию). Функция может быть определена или как функция трёх скаляров, или как функция отдельного вектора. Имеются две встроенные графические функции, которые могут использоваться в аргументах fmap : sph 2 xyz и syl 2 xyz . Это функции перехода от сферических (полярных) и круговых (цилиндрических) систем координат, соответственно, к декартовым координатам.

Пример описания векторной функции:

;