Два треугольника имеют общий угол

Два треугольника имеют общий угол

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Два треугольника имеют общий уголДоказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Два треугольника имеют общий уголДоказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Два треугольника имеют общий уголДва треугольника имеют общий уголДоказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Два треугольника имеют общий уголДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Два треугольника имеют общий уголДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Два треугольника имеют общий уголДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Подобные треугольники

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Два треугольника имеют общий угол

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Два треугольника имеют общий угол

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Два треугольника имеют общий угол II признак подобия треугольников

Два треугольника имеют общий угол

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Два треугольника имеют общий угол

Видео:Задание 26 Отношение площадей Треугольник ЧетырёхугольникСкачать

Задание 26 Отношение площадей Треугольник Четырёхугольник

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Два треугольника имеют общий угол
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Два треугольника имеют общий угол

2. Треугольники Два треугольника имеют общий уголи Два треугольника имеют общий угол, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Два треугольника имеют общий угол

Два треугольника имеют общий угол

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Два треугольника имеют общий угол

Два треугольника имеют общий угол

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Углы треугольника с площадью 2 и гипотенузой 4Скачать

Углы треугольника с площадью 2 и гипотенузой 4

51. Планиметрия Два треугольника имеют общий уголЧитать 0 мин.

Видео:Два прямоуголных треугольника в полуокружностиСкачать

Два прямоуголных треугольника в полуокружности

51.506. Отношения

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.

Два треугольника имеют общий угол

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = fracBC$

Два треугольника имеют общий угол

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = fracAB$

Два треугольника имеют общий угол

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

Два треугольника имеют общий угол

Прямоугольник или квадрат:

Два треугольника имеют общий угол

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_ = S_ = S$

Два треугольника имеют общий угол

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

Два треугольника имеют общий угол

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $fracS$

Два треугольника имеют общий угол

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Два треугольника имеют общий угол

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Два треугольника имеют общий угол

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

Два треугольника имеют общий угол

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

Два треугольника имеют общий угол

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

Два треугольника имеют общий угол

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

📽️ Видео

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Теоремы об отношениях площадей треугольников, имеющих равные основания, высоты и углы.Скачать

Теоремы об отношениях площадей треугольников, имеющих равные основания, высоты и углы.

Отношение площадей треугольниковСкачать

Отношение площадей треугольников

№553. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углуСкачать

№553. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

ОГЭ Задание 26 Свойства площадейСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойства площадей

8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольников

ОГЭ Задание 26 Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

ОГЭ Задание 26 Отношение площадей треугольников с равным углом

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Строим прямой уголСкачать

Строим прямой угол

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 частьСкачать

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 часть
Поделиться или сохранить к себе: