Вычисление стороны треугольника по косинусу

Длина стороны треугольника

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Теорема косинусов и синусов

Вычисление стороны треугольника по косинусу

О чем эта статья:

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Вычисление стороны треугольника по косинусу

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Вычисление стороны треугольника по косинусу

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Вычисление стороны треугольника по косинусу

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Вычисление стороны треугольника по косинусу

Видео:Стороны треугольника через синус косинус и тангенсСкачать

Стороны треугольника через синус косинус и тангенс

Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что в любом произвольном треугольнике можно найти третью сторону, зная две других и угол между ними. a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

Доказательство теоремы косинусов проходит через прямоугольный треугольник, полученный внутри заданного дополнительным построением высоты. Предположим, что сторона а неизвестна, тогда проведем высоту на сторону с и найдем проекцию стороны b на сторону c из отношения косинуса в прямоугольном треугольнике. bc=b cos⁡α

Так как сторона с состоит из двух проекций сторон b и а на нее, следовательно, проекция ac равна следующей разности: ac=c-bc=c-b cos⁡α

Зная все составляющие внутренних прямоугольных треугольников, можем составить теорему Пифагора, для того чтобы выразить через нее высоту, являющуюся общим звеном для обеих фигур. h 2 =b 2 -bc 2 =b 2 -(b cos⁡α) 2
h 2 =a 2 -ac 2 =a 2 -(c-b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2

Приравнивая полученные для высоты выражения друг к другу, приводим подобные слагаемые, и получаем, что неизвестная сторона а во второй степени равна сумме квадратов двух других сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними, что и требовалось доказать.
b 2 -(b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2
a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

📺 Видео

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Решение задачи с применением теоремы синусов

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦Скачать

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦

Фильм Вычисление сторон треугольникаСкачать

Фильм Вычисление сторон треугольника

9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | ТригонометрияСкачать

СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | Тригонометрия

Синус, косинус и тангенс Решение задач по геометрииСкачать

Синус, косинус и тангенс Решение задач по геометрии

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

Стороны треугольника через синус косинус и тангенсСкачать

Стороны треугольника через синус косинус и тангенс
Поделиться или сохранить к себе: