Глава 5 четырехугольники параграф 1 многоугольники (6 видео)

§ 1. Многоугольники

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, . EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, . EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD. FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной. Концы ломаной ABCD . FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой, и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С₁C₅ и С₂С₃ (а также С₃С₄ и С₁C₅) имеют общую точку.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Содержание

Выпуклый многоугольник
Четырёхугольник
Задачи
Ответы к задачам
Глава 5 четырехугольники параграф 1 многоугольники
Подарочные сертификаты
Многоугольник
📺 Видео

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке 154 многоугольник F₁ является выпуклым, а многоугольник F₂ — невыпуклым.

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А_nА₁А₂, А₁А₂А₃, . А_n-1А_nА₁ называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.

Для этого соединим диагоналями вершину А₁ с другими вершинами. В результате получим n — 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг. Аn равна (n — 2) • 180°.

Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n — 2) • 180°.

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А₁А₂ . А_n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Четырёхугольник

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б — невыпуклый.

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).

Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2) • 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Задачи

363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

364. Найдите сумму углов выпуклого:

а) пятиугольника;
б) шестиугольника;
в) десятиугольника.

365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше второй.

368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.

370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Ответы к задачам

364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.

365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.

366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.

367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.

368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№1 - Многоугольники. Четырёхугольник.)Скачать

Глава 5 четырехугольники параграф 1 многоугольники

Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта «Инфоурок».

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей

Время чтения: 0 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Многоугольники. 8 класс.Скачать

Многоугольник

Ломаная — геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой. На рис.1, представлена ломаная АВС. FG, составленная из отрезков АВ, ВС, СD, . , ЕF, FG, смежными являются отрезки АВ и ВС, ВС и СD, . , EF и FG.

Элементы ломаной:

звенья — отрезки, из которых составлена ломаная;
вершины — концы звеньев.

Длина ломаной — сумма длин всех ее звеньев.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой совпадают начальная и конечная точки. На рис.1, б точки А и G ломаной АВС. FG совпадают, следовательно, в данном случае ломаная — замкнутая и звенья АВ и FG также считаются смежными.

Многоугольник — замкнутая ломаная, несмежные звенья которой не имеют общих точек, звенья ломаной — стороны многоугольника, а длина ломаной — периметр многоугольника.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. На рис.2 изображены четырехугольник АВСD и шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆. Также примером многоугольника является треугольник.

Соседние вершины многоугольника — вершины, принадлежащие одной стороне. На рис.2 у четырехугольника АВСD соседние вершины: А и В, В и С, С и D, А и D.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины. На рис.3 отрезки АС и ВD — диагонали четырехугольника АВСD.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. На рис.4 внутренние области многоугольников закрашены.