Где используются векторы в физике

В математике вектор — это направленный отрезок определенной длины. В физике под векторной величиной понимают полную характеристику некоторой физической величины, которая обладает модулем и направлением действия. Рассмотрим основные свойства векторов, а также примеры физических величин, которые являются векторными.

Видео:Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать

Скаляры и вектора

Скалярные величины в физике являются параметрами, которые могут быть измерены и представлены одним числом. Например, температура, масса и объем являются скалярами, поскольку они измеряются числом градусов, килограмм и кубических метров соответственно.

В большинстве же случаев оказывается, что число, определяющее скалярную величину, не несет исчерпывающей информации. Например, рассматривая такую физическую характеристику, как ускорение, будет недостаточно сказать, что оно равно 5 м/с 2 , поскольку нужно знать, куда оно направлено, против скорости движения тела, под некоторым углом к этой скорости или иначе. Помимо ускорения, примером векторной величины в физике является скорость. Также в эту категорию входят сила, напряженность электрического поля и многое другие.

Согласно определению векторной величины как направленного в пространстве отрезка, она может быть представлена в виде набора чисел (компонент вектора), если ее рассматривать в определенной системе координат. Чаще всего в физике и математике возникают задачи, которые для описания вектора требуют знания его двух (задачи на плоскости) или трех (задачи в пространстве) компонентов.

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Определение вектора в n-мерном пространстве

В n-мерном пространстве, где n — целое число, вектор будет однозначно определен, если известны его n компонент. Каждая компонента представляет собой координату конца вектора вдоль соответствующей оси координат при условии, что начало вектора находится в начале системы координат n-мерного пространства. В итоге вектор может быть представлен так: v = <a₁, a₂, a₃, . a_n>, где a₁ — скалярное значение 1-й компоненты вектора v. Соответственно, в 3-х мерном пространстве вектор запишется как v = <a₁, a₂, a₃>, а в 2-х мерном — v = <a₁, a₂>.

Как обозначается векторная величина? Любой вектор в 1-мерном, 2-мерном и 3-мерном пространствах можно представить как направленный отрезок, лежащий между точками A и B. В этом случае он обозначается как AB → , где стрелка показывает, что речь идет о векторной величине. Последовательность букв принято указывать от начала вектора к его концу. Это означает, что если координаты точек A и B, например, в 3-мерном пространстве, равны <x₁, y₁, z₁> и <x₂, y₂, z₂> соответственно, тогда компоненты вектора AB → будут равны <x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁>.

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Графическое представление вектора

На рисунках принято изображать векторную величину в виде отрезка, на его конце имеется стрелочка, указывающая направление действия физической величины, представлением которой она является. Этот отрезок обычно подписывают, например, v → или F → , чтобы было понятно, о какой характеристике идет речь.

Графическое представление вектора помогает понять, куда приложена и в каком направлении действует физическая величина. Кроме того, многие математические операции над векторами удобно совершать, используя их изображения.

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Математические операции над векторами

Векторные величины, так же как и обычные числа, можно складывать, вычитать и умножать как друг с другом, так и с другими числами.

Под суммой двух векторов понимают третий вектор, который получается, если суммируемые параметры расположить так, чтобы конец первого совпадал с началом второго вектора, а затем, соединить начало первого и конец второго. Для выполнения этого математического действия разработаны три основных метода:

1. Метод параллелограмма, заключающийся в построении геометрической фигуры на двух векторах, которые выходят из одной и той же точки пространства. Диагональ этого параллелограмма, которая выходит из общей точки начала векторов, будет являться их суммой.
2. Метод многоугольника, суть которого состоит в том, что начало каждого последующего вектора следует располагать в конце предыдущего, тогда суммарный вектор будет соединять начало первого и конец последнего.
3. Аналитический метод, который состоит в попарном сложении соответствующих компонент известных векторов.

Что касается разницы векторных величин, то ее можно заменить сложением первого параметра с тем, который противоположен по направлению второму.

Умножение вектора на некоторое число A выполняется по простому правилу: на это число следует умножить каждую компоненту вектора. В результате получается также вектор, модуль которого в A раз больше исходного, а направление либо совпадает, либо противоположно исходному, все зависит от знака числа A.

Делить вектор или число на него нельзя, а вот деление вектора на число A аналогично умножению на число 1/A.

Видео:Вектор в Физике. Как Рисовать Вектор? Модуль Вектора || Урок Физики 8 класс // Подготовка к ЕГЭСкачать

Скалярное и векторное произведения

Умножение векторов можно выполнять двумя различными способами: скалярно и векторно.

Скалярным произведением векторных величин называется такой способ их умножения, результатом которого является одно число, то есть скаляр. В матричном виде скалярное произведение записывается как строки компонента 1-го вектора на столбец компонент 2-го. В итоге в n-мерном пространстве получается формула: (A → *B → ) = a₁*b₁+a₂*b₂+. +a_n*b_n.

В 3-мерном пространстве можно определить скалярное произведение иначе. Для этого нужно умножить модули соответствующих векторов на косинус угла между ними, то есть (A → *B → ) = |A → |*|B → |*cos(θ_AB). Из этой формулы следует, что если вектора направлены в одном направлении, то скалярное произведение равно умножению их модулей, а если вектора перпендикулярны друг другу, тогда оно оказывается равным нулю. Отметим, что модуль вектора в прямоугольной системе координат определяется как квадратный корень от суммы квадратов компонент этого вектора.

Под векторным произведением понимают такое умножение вектора на вектор, результатом которого также является вектор. Его направление оказывается перпендикулярно каждому из умножаемых параметров, а длина равна произведению модулей векторов на синус угла между ними, то есть A → x B → = |A → |*|B → |*sin(θ_AB), где значок «x» обозначает векторное произведение. В матричном виде этот вид произведения представляется как определитель, строками которого являются элементарные вектора данной системы координат и компоненты каждого вектора.

Как скалярное, так и векторное произведения используют в математике и физике для определения многих величин, например, площади и объема фигур.

Далее в статье приводятся примеры векторных величин в физике.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Скорость и ускорение

Под скоростью в физике понимают быстроту изменения местоположения данной материальной точки. Измеряется скорость в системе СИ в метрах в секунду (м/с), а обозначается символом v → . Под ускорением понимают быстроту изменения скорости. Ускорение измеряется в метрах в квадратную секунду (м/с 2 ), а обозначается обычно символом a → . Значение 1 м/с 2 говорит о том, что за каждую секунду тело увеличивает свою скорость на 1 м/с.

Скорость и ускорение — это векторные величины, которые участвуют в формулах второго закона Ньютона и перемещения тела как материальной точки. Скорость всегда направлена вдоль направления движения, ускорение же может быть направлено произвольным образом относительно движущегося тела.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Физическая величина сила

Сила — векторная физическая величина, которая отражает интенсивность взаимодействия между телами. Обозначается она символом F → , измеряется в ньютонах (Н). По определению, 1 Н — это сила, способная за каждую секунду времени изменять скорость тела, имеющего массу 1 кг, на 1 м/с.

Эта физическая величина широко применяется в физике, поскольку с ней связаны энергетические характеристики процессов взаимодействия. Природа силы может быть самой разной, например, гравитационные силы планет, сила, которая заставляет двигаться автомобиль, упругие силы твердых сред, электрические силы, описывающие поведение электрических зарядов, магнитные, ядерные силы, которые обуславливают стабильность атомных ядер, и так далее.

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Векторная величина давление

С понятием силы тесно связана другая величина — давление. Под ним в физике понимают нормальную проекцию силы на площадку, на которую она действует. Поскольку сила является вектором, то, согласно правилу умножения числа на вектор, давление также будет векторной величиной: P → = F → /S, где S — площадь. Давление измеряется в паскалях (Па), 1 Па — это параметр, при котором перпендикулярная сила в 1 Н действует на поверхность площадью 1 м 2 . Исходя из определения, вектор давления направлен в том же направлении, что и вектор силы.

В физике понятие давления часто используется при изучении явлений в жидкостях и газах (например, закон Паскаля или уравнение состояния идеального газа). Давление тесно связано с температурой тела, поскольку кинетическая энергия атомов и молекул, представлением которой является температура, объясняет природу существования самого давления.

Видео:ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Напряженность электрического поля

Вокруг любого заряженного тела существует электрическое поле, силовой характеристикой которого является его напряженность. Определяется эта напряженность как сила, действующая в данной точке электрического поля на единичный заряд, помещенный в эту точку. Обозначается напряженность электрического поля буквой E → и измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл). Вектор напряженности направлен вдоль силовой линии электрического поля в ее направлении, если заряд положительный, и против нее, если заряд отрицательный.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно определить в любой точке, используя закон Кулона.

Видео:Как проецировать вектора за 1 минуту?! | ЕГЭ по физике | Саня Эбонит | 100балльный репетиторСкачать

Магнитная индукция

Магнитное поле, как показали в XIX веке ученые Максвелл и Фарадей, тесно связано с электрическим полем. Так, изменяющееся электрическое поле порождает магнитное, и наоборот. Поэтому оба вида полей описываются в рамках электромагнитных физических явлений.

Магнитная индукция описывает силовые свойства магнитного поля. Магнитная индукция — величина скалярная или векторная? Понять это можно, зная, что она определяется через силу F → , действующую на заряд q, который пролетает со скоростью v → в магнитном поле, согласно следующей формуле: F → = q*|v → x B → |, где B → — магнитная индукция. Таким образом, отвечая на вопрос, величина скалярная или векторная — магнитная индукция, можно сказать, что это вектор, который направлен от северного магнитного полюса к южному. Измеряется B → в теслах (Тл).

Видео:Лекторий ЗФТШ. Ф-9. Векторы в физикеСкачать

Физическая величина кандела

Еще одним примером векторной величины является кандела, которая вводится в физику через световой поток, измеряемый в люменах, проходящий через поверхность, ограниченную углом в 1 стерадиан. Кандела отражает яркость света, поскольку показывает плотность светового потока.

Видео:Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Векторная величина в физике. Примеры векторных величин

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Видео:Физика. ЕГЭ2021. Векторы в физике. Как правильно их применять?Скачать

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Видео:Лекция 5. Сложение и вычитание векторов │ФИЗИКА С НУЛЯ теорияСкачать

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Видео:Векторы в физике | Открытый урок | Азат Адеев | Физика ОГЭ | 100балльный репетиторСкачать

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Видео:Физика. 9 класс. Векторы в механикеСкачать

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Видео:Физика: Понятие Вектор, Вектор СкоростиСкачать

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Видео:Новая задача в ЕГЭ 2024 по математике Векторы #денисжучков #математика #егэ2024 #егэпоматематикеСкачать

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v₁, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m₁, платформы — m₂. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m₁ и v₁.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m₁ * v₁ = (m₁ + m₂) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m₁ * v₁ / (m₁ + m₂).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m₁ и m₂. Их скорости соответственно будут v₁ и v₂. Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v₂.

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m₁ + m₂) * v = m₁ * v₁ — m₂ * v₂. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v₂ = ((m₁ + m₂) * v — m₁ * v₁) / m₂. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v₁ и собственная скорость катера v₂. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v₁ / v₂. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v₁ / v₂).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v₁ и v₂. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v₁ и v₂. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

Применение векторов при решении задач по физике

Геометрический подход к решению физических задач наследуется еще от древних греков. Векторный анализ является пограничной чертой между математикой и физикой. На языке векторов формируются понимание основных законов механики и электродинамики.

На уроках физики учитель при изучении механических явлений дает определение радиус-вектора. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку пространства. Многие физические величины, как и радиус-вектор характеризуют и числовым значением и направлением. Например: скорость, перемещение, импульс, напряженность электрического поля, сила являются физическими векторными величинами. Длину такого вектора называют модулем вектора. Интуитивное понимание вектора у учащихся складывается с первых же уроков физики в 7 и 8 классе.

Проведем сравнение понятия вектора в физике и математике:

Понимание вектора в физике и математике происходит поэтапно, когда ученики раскрывают и изучают следующие вопросы:

Вектор – как графическое представление перемещения тела. При прямолинейном движении в одном направлении путь и перемещение совпадают.

Если начальное и конечное положение тела совпадают, то вектор перемещения равен нулю. При этом путь может иметь значение отличное от нуля. Например, когда тело движется по окружности.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала.

При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например, . Соответствующий многоугольник (треугольник) перемещений выглядит таким образом:

Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением , то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид: .

Прикладной характер правил сложения векторов виден не только при определении перемещения тела, но и при сложении скоростей движущегося тела.

Учителя математики и физики должны комбинировать этот материал, разбавлять свои уроки дополнительной информацией из смежных предметов. Глубокое понимание вектора и действий с векторами у учеников сложится только посредством интеграции математического и физического определения этих понятий. Она должна быть как на уроках математики, так и на уроках физики все время, которое отводится на изучении темы «вектор».

Рассмотрим некоторые физические задачи, которые учитель математики может решить на уроках геометрии.

Задача. Парашютист со скоростью 4 м/с спускается с высоты 2 км вертикально вниз. Скорость горизонтального ветра равно 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения?

1. Запишем закон сложения скоростей в векторном виде.
2. Сделаем чертеж, произведя сложение векторов скоростей.
3. Искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора вычислим её, найдя тем самым модуль скорости.
4. Зная, что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения пропорционален скорости, составим пропорцию и найдем модуль искомого перемещения.

Следующие задачи рекомендуем рассмотреть после изучения тригонометрических функций острого угла.

Задача. Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с.Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.

Задача. С какой силой F (эф) надо удерживать груз весом Р (пэ) на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?

Решение: Пусть O – центр тяжести груза, к которому приложена сила P. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе. Поэтому .

Задача. Тело движется по окружности со скоростью v. Найдите модуль изменения скорости тела за четверть периода.

Решение: Пусть в начале движения в точке A скорость равна v . За четверть периода тело оказалось в точке B. Модуль скорости не изменяется и равен v. Различно направление скорости. Выполним вычитание векторов и придем к результату .

Теперь рассмотрим метод решения задач кинематики и динамики, основанный на построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей, ускорений, сил, импульсов. Рассмотрим краткие теоретические основы и некоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных) способов решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. Применение векторных способов требует знания основ тригонометрии, в частности, теорем синусов и косинусов.

Векторная запись многих уравнений физики более полно отображает соответствующие процессы, в частности в современном школьном курсе механики. Векторная форма уравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическую ситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Есть определенные алгоритмы решения физической задачи векторным способом.

Для вычислений при решении задачи чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций по следующему алгоритму:

• изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;
• спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;
• найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;
• обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;
• если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+», если нет, то приписать проекции знак “-«.
• записать в уравнении длину отрезка проекции вектора с соответствующим знаком.

Теперь решим задачи:

Задача.Тело брошено вверх перпендикулярно плоскости, наклоненной под угломαк горизонту. На каком расстоянии от места броска тело упадет на эту наклонную плоскость? Сопротивлением движения пренебречь.

Решение: Изобразим треугольник перемещений, соответствующий условию задачи и соотношению . Видим, что , откуда время движения . Тогда искомое расстояние будет .

Задача. Две частицы брошены одновременно из одной точки с одинаковыми по модулю скоростямиv: первая – вертикально вверх, вторая – горизонтально. Найдите расстояние между ними спустя время t.

Решение: Так как движение частиц происходит под действием силы тяжести, ускорения частиц одинаковы и равны g. Следовательно, относительное движение второй частицы к первой — равномерное и прямолинейное с постоянной скоростью . Тогда искомое расстояние будет равным: .

Задача. Тело брошено горизонтально со скоростью v₀. Найдите скорость тела и угол отклонения через время t.

Решение: В векторной форме процесс описан так: . Проекция скорости на вертикальную и горизонтальную оси: . По теореме Пифагора получаем .

Изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат, физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективно служивших делу физической науки математических способах и приемах. Математика является языком физики, и свободное владение математическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений и процессов.