Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.
- Формула вычисления площади
- По диагоналям и углу между ними
- По четырем сторонам (формула Брахмагупты)
- По радиусу вписанной окружности и сторонам
- Пример задачи
- Площади четырехугольников
- Формулы для площадей четырехугольников
- Вывод формул для площадей четырехугольников
- Площадь четырехугольника
- Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
- Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
- Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
- Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
- Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
- Таблица с формулами площади четырехугольника
- Площадь частных случаев четырехугольников
- Определения
- 📽️ Видео
Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать
Формула вычисления площади
По диагоналям и углу между ними
Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.
По четырем сторонам (формула Брахмагупты)
Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.
p – полупериметр, вычисляется следующим образом:
По радиусу вписанной окружности и сторонам
Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:
S = p ⋅ r
r – радиус окружности.
Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать
Пример задачи
Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.
Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .
Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
Площади четырехугольников
Формулы для площадей четырехугольников |
Вывод формул для площадей четырехугольников |
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника |
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.
Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
Формулы для площадей четырехугольников
Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямоугольник | S = ab | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Параллелограмм | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Квадрат | S = a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = 4r 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ромб | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Трапеция | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = m h | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дельтоид | S = ab sin φ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный выпуклый четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный четырёхугольник |
Прямоугольник | |||||||||||||||||||||
Параллелограмм | |||||||||||||||||||||
Квадрат | |||||||||||||||||||||
S = a 2 где | |||||||||||||||||||||
S = 4r 2 | |||||||||||||||||||||
Ромб | |||||||||||||||||||||
Трапеция | |||||||||||||||||||||
Дельтоид | |||||||||||||||||||||
где | |||||||||||||||||||||
Произвольный выпуклый четырёхугольник | |||||||||||||||||||||
Вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||
Прямоугольник |
где
a и b – смежные стороны
где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a – сторона квадрата
Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
a и b – основания,
h – высота
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними
где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .
где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр
Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Видео:Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать
Вывод формул для площадей четырехугольников
Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).
Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
что и требовалось доказать.
Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
что и требовалось доказать.
Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).
Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле
где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
(рис.6).
Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Площадь четырехугольника
Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.
В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Видео:Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 НайдитеСкачать
Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
Видео:№368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.Скачать
Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Видео:№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать
Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Видео:№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать
Таблица с формулами площади четырехугольника
исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) | эскиз | формула | |
1 | диагональ и угол между ними | ||
2 | стороны и углы между этими сторонами | ||
3 | стороны (по Формуле Брахмагупты) | ||
4 | стороны и радиус вписанной окружности | ||
5 | стороны и углы между ними |
Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать
Площадь частных случаев четырехугольников
Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:
Определения
Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
📽️ Видео
Геометрия Докажите что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналейСкачать
Найдите углы четырёхугольникаСкачать
№424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другуСкачать
Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать
Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать
Выпуклый четырехугольникСкачать
Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать