Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

r – радиус окружности.

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Площади четырехугольников

Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника,
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникФормула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = ab
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
ПараллелограммФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
КвадратФормула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = a 2
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = 4r 2
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
РомбФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
ТрапецияФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = m h
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
ДельтоидФормула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = ab sin φ
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
Вписанный четырёхугольникФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника,
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Параллелограмм
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Квадрат
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаS = 4r 2

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Ромб
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Трапеция
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Дельтоид
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольникаФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
Прямоугольник
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

ДельтоидФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
(рис.6).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 НайдитеСкачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 Найдите

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Видео:№368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.Скачать

№368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Формула для нахождения выпуклого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
2стороны и углы между этими сторонамиФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Формула для нахождения выпуклого четырехугольника
4стороны и радиус вписанной окружностиФормула для нахождения выпуклого четырехугольника
5стороны и углы между нимиФормула для нахождения выпуклого четырехугольника

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

📽️ Видео

Геометрия Докажите что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналейСкачать

Геометрия Докажите что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей

Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Найдите углы четырёхугольника

№424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другуСкачать

№424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другу

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Выпуклый четырехугольникСкачать

Выпуклый четырехугольник

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а угол
Поделиться или сохранить к себе: