Если в четырехугольнике две стороны равны то это ромб

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и — диагонали ромба (рис. 49), — точка их пересечения. Поскольку и то — медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть — диагональ ромба а — его высота (рис. 50), = 28°.

1) В

2) Так как делит угол пополам, то

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть — параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и (по свойству параллелограмма), то Следовательно, — ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно, По п. 1 этой теоремы — ромб.

3) Диагональ делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как — секущая, то (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный и По п. 1 этой теоремы — ромб.

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому — ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы
• Четырехугольники и окружность
• Параллелограмм, его свойства и признаки
• Площадь параллелограмма
• Прямоугольник и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Если у четырехугольника все стороны равны

Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.

1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

2) Так как AB=BC (по условию), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA.

3) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и ∠DAC=∠DCA.

4) В треугольниках ABC и ADC:

AB=AD и BC=DC (по условию);

сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам).

5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA.

Поскольку эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

6) В четырехугольнике ABCD две стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).

А так как у него все стороны равны (по условию), то ABCD — ромб (по определению).

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Ромб, его свойства и признаки.

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Ромб, его свойства и признаки.

Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.

Для того, чтобы доказать, что , нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен .

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. .

2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов

, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).

3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.

Доказать: – биссектриса и

Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и .

по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и , ч.т.д.

по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

Итак, ромб обладает следующими свойствами :

У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.

У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.

У ромба противоположные углы равны.

У ромба высоты равны.

Теперь определим признаки ромба.

ТЕОРЕМА ( I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.

– ромб (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).

– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Так как – биссектриса , то .

по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.

по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Проведём диагональ и рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Значит, по признаку параллельности прямых, и , следовательно, – параллелограмм, у которого все стороны равны, значит, он является ромбом, ч.т.д.

Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.

Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен , а длина меньшей диагонали равна см.

Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.

Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .

Из вершины ромба проведены перпендикуляры и к прямым и . Докажите, что луч является биссектрисой .

Сторона ромба равна см, . Из вершины проведены высоты и к сторонам и соответственно. Найдите расстояния . Докажите, что треугольник равносторонний.

Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.

Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Найдите углы ромба.

Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.

Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.

Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.

Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.

В ромбе точки – середины его сторон. Докажите, что точки лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) и б) и .

В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.

В ромбе биссектриса угла пересекает сторону и диагональ соответственно в точках и . Найдите угол , если .

В ромбе угол равен . Докажите, что если один из углов треугольника равен , то и остальные его углы тоже равны по .

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до прямой равно м. Найдите длину высоты ромба, проведённой к стороне .

В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.

Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.

В ромбе с острым углом , равным , проведена диагональ . Найдите угол .

В ромбе с тупым углом диагонали пересекаются в точке . Один из углов треугольника равен . Найдите остальные углы этого треугольника и угол .

В ромбе . Диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .

В ромбе – точка пересечения диагоналей, – перпендикуляры, опущенные на стороны соответственно. Докажите, что , и найдите сумму углов и .

В ромбе диагонали пересекаются в точке . На сторонах взяты точки соответственно, . Докажите, что , и найдите сумму углов и .

В ромбе угол тупой. На стороне взята точка . Прямые и пересекаются в точке . Найдите угол .

В ромбе угол острый. Отрезок является перпендикуляром к прямой – точка пересечения диагоналей, а – общая точка прямых и . Найдите .

Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.

Два ромба и имеют общую вершину острого угла, причём, , а лучи и пересекаются в точке – точка пересечения диагоналей ромба – биссектриса треугольника . Докажите, что .

На сторонах ромба взяты точки соответственно. Каждая из прямых параллельная одной из осей симметрии ромба. Диагональ пересекает отрезок в точке , о отрезок – в точке . Докажите, что диагонали четырёхугольника равны, и определите вид выпуклого четырёхугольника .

Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.

Точка лежит на стороне параллелограмма так, что – биссектриса угла . Прямая параллельна и пересекает сторону в точке . Найдите величину угла между прямыми и .

Отрезки – биссектрисы углов параллелограмма . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и – в точке , при этом . Найдите длину отрезка .

В ромбе диагонали и пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .

Диагонали и ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .

Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .

На стороне параллелограмма взята точка так, что .

Докажите, что – биссектриса угла .

Найдите периметр параллелограмма, если .

В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .

Докажите, что треугольник равнобедренный.

Найдите сторону , если , а периметр параллелограмма равен .

Один из углов ромба равен . Определите остальные углы.

В ромбе проведена диагональ . Определите вид треугольника и найдите его углы, если .

В ромбе , диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .

Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если .

Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы и , если .

Известно, что четырёхугольник является ромбом. Докажите, что .

Один из углов ромба на больше другого. Найдите углы треугольника , если – точка пересечения диагоналей.

На рисунке – равнобедренный, точки и – середины его боковых сторон, – точка на основании, . Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если см.

В ромбе . Найдите углы треугольника .

Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна . Определите углы ромба.

Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.

Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.

Найдите острый угол ромба , если высота , проведённая из вершины тупого угла, делит сторону пополам.

На каждой стороне ромба отложены, как показано на рисунке, равные отрезки . Определите вид четырёхугольника . Ответ объясните.

В ромбе из вершины тупого угла проведена высота к стороне , а из вершины тупого угла проведена высота к стороне . Определите взаимное расположение прямых и .

В равнобедренный треугольник вписан ромб , имеющий с ним общий угол. Найдите периметр ромба, если боковая сторона треугольника равна см.

В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.

Один из углов ромба равен . Найдите угол между меньшей диагональю ромба и его стороной.

В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если разность и равна .

В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если .

Периметр ромба равен , один из его углов . Найдите меньшую диагональ ромба.

Сторона ромба равна см, а острый угол равен . Из вершины тупого угла проведена высота, которая делит сторону на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.

Диагональ ромба, лежащая напротив угла , равна . Найдите периметр ромба.

🔍 Видео

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Ромб. 8 класс.Скачать

В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Если в параллелограмме две соседние стороны равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 17 СТОРОНА РОМБА РАВНА 9 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РОМБАСкачать

Геометрия 8 класс: Ромб и квадратСкачать