Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Действительно, углы Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпараллелограмма Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммПоэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммто Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАналогично Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммПоэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Доказательство:

Диагональ Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммразбивает параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммна два треугольника Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 17). Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм-их общая сторона, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммТогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как соответственные элементы равных треугольников). Так как Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммто Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

4. Периметр параллелограмма Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— точка пересечения диагоналей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпараллелограмма Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 18). Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как противолежащие стороны параллелограмма), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущих Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммсоответственно). Следовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как соответственные стороны равных треугольников).

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Пример:

Дано: Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпараллелограмм, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— биссектриса угла Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 19). Найдите: Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Решение:

1) Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

2) Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

3) Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по условию), тогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммТогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

4) Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— высота параллелограмма, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 22). Проведем диагональ Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммРассмотрим Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— общая сторона, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по условию). Следовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по двум сторонам и углу между ними). Тогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммсекущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммПоэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпротиволежащие стороны попарно параллельны. Поэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 22). Проведем диагональ Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммТогда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по трем сторонам). Поэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми следовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммСледовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— параллелограмм.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

3) Пусть в четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммдиагонали Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпересекаются в точке Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 23). Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(как вертикальные). Поэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАналогично доказываем, что Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммПринимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(рис. 16). Так как Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммто Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммт. е. Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммоткуда Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммНо Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— внутренние накрест лежащие углы для прямых Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми секущей Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммПоэтому Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммСледовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммДокажите, что Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмми Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм— их общая сторона, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по условию). Тогда, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммНо тогда в четырехугольнике Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпротиволежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

О чем эта статья:

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Признаки параллелограмма

1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВС и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАDС: АС — общая, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 =Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм3 (т.к. по условию АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВС =Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВ = DC и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2 = Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм4. Но Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2 и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм.

3. Итак, АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС и АВЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВС и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАВС =Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 = Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2, при этом Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм

1. Рассмотрим Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАОD и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАОD и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВОС (как вертикальные углы), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАОD =Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммАD = ВC и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 = Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2.

2. Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 и Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм1 = Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограмм2, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммВС, Если в четырехугольнике две пары равных углов то этот четырехугольник параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

📽️ Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. 8 класс.

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 класс

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Признак параллелограмма (второй), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (второй), 8 класс

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачи

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

Геометрия. 8 Класс. Урок 4 "Удвоение медианы"Скачать

Геометрия. 8 Класс. Урок 4 "Удвоение медианы"

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: