Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам то он не может быть

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

На рисунке изображён четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём АО = OC и ВО = OD . Докажем, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм . Так как углы ВОС и AOD равны как вертикальные и AO = OC , ВО= OD , то треугольники BOC и AOD равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда ВС = AD и ∠1 = ∠2 . Углы 1 и 2 являются накрест лежащими при прямых ВС и AD секущей AC . Следовательно, ВС ΙΙ AD .
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны . Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Докажите теорему:

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

На рисунке изображён четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём АО =______и ВО =______. Докажем, что четырёхугольник ABCD —_______________________. Так как углы ВОС и______равны как ________________ и AO =_____, ВО=_____, то треугольники BOC и _______ равны по ________________признаку равенства треугольников. Отсюда ВС =____ и ∠1 = ∠___. Углы 1 и ___ являются _______________ при прямых ВС и ______ секущей____. Следовательно, ВС ΙΙ _____.
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD две противолежащие стороны ____________ и _______________Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Видео:Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). ЗадачаСкачать

Признаки параллелограмма

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, 1 =3 (т.к. по условию АDВС, 1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DС секущей АС, АВDС.

3. Итак, АDВС и АВDС, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = DС, АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, по условию АВ = DС, АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников), 1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и DВ диагонали, АС ∩ DВ = О, АО = ОС, DО = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.

2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

Теорема (1-й признак параллелограмма).

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано : ABCD — четырехугольник,

AC и BD — диагонали,

Доказать : ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOD и COB.

1) AO=OC (по условию);

2) BO=OD (по условию);

Следовательно, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ADO=∠CBO.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD, то AD∥BC (по признаку параллельных прямых).

3. Аналогично, ∆ AOB=∆ COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD.

4. Доказали, что AD∥BC и AB∥CD.

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению).

🎬 Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равнаСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

Как правильно решить задание про четырёхугольник? / Разбор заданий на ОГЭ по геометрииСкачать

20 задание ОГЭ. 11429875. Анализ геометрических высказыванийСкачать

№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Алгебра - ЕНТ. 2 вариант: № 34-35.Скачать

Геометрия ОГЭ. Четырехугольники #4 (задача 9 и 11 типа ФИПИ)🔴Скачать

Четырехугольники на ЕГЭ - bezbotvyСкачать

Четырёхугольник и его элементы Геометрия 8кл Мерзляк#3Скачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать