Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Вписанные четырехугольники и их свойства
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Теорема Птолемея

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Окружность, описанная около параллелограмма
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180
Окружность, описанная около параллелограмма
Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Докажем, что справедливо равенство:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

откуда вытекает равенство:

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 классСкачать

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 класс

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Вписанные углы А и С четырехугольника АВСD на рисунке опираются на дуги ВСD и BAD, сумма которых равна 360 градусов. Значит, сумма углов А и С равна .

Докажем обратное утверждение.

Пусть сумма углов А и С четырехугольника АВСD равна 180°. Докажем, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Опишем окружность вокруг треугольника АВD. Мы не знаем пока, лежит ли точка С на этой окружности. Значит, С может лежать на этой окружности, или внутри нее, или вне окружности.

Предположим, что точка С лежит внутри окружности, описанной вокруг треугольника АВD. Продолжим отрезок ВС до пересечения с окружностью в точке .

Если у четырехугольника сумма обеих пар противоположных углов равна 180

Так как четырехугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°. Это мы доказали. Значит, .

По условию, . Значит

Угол – смежный с углом ВСD, Тогда в треугольнике сумма углов и равна 180°. Такой треугольник не может существовать, поскольку угол D в нем равен нулю. Значит, точка С не может лежать внутри окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

Аналогично доказывается, что С не может лежать и вне этой окружности. Остается случай, когда точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

И это значит, что ABCD вписан в окружность.

Задачи ЕГЭ по теме «Вписанный четырехугольник»

1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна . Величина угла С равна

2. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна . Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии, и он равен .

💥 Видео

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетиторСкачать

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетитор

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Задание 24 Сумма углов четырехугольникаСкачать

Задание 24  Сумма углов четырехугольника

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрияСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Описанный четырехугольник, сумма противоположных сторонСкачать

Описанный четырехугольник, сумма противоположных сторон
Поделиться или сохранить к себе: