Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Прямоугольный треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Произвольный треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Прямоугольный треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Произвольный треугольник
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник– полупериметр (рис. 6).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию .

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M, — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

OF=r. Пусть CO=x см, тогда

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольникДано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

CF — высота, CO:OF=5:4, AC

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник1) Рассмотрим ∆ ACF — прямоугольный (так как CF — высота треугольника по условию).

Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис.

По свойству биссектрисы треугольника,

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Как найти центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда AC=5k см, AF=4k см, AB=2AF=8k см.

Следовательно, AC=BC=5∙5=25 см, AB=8∙5=40 см.

🎥 Видео

Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.Скачать

Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторонСкачать

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Центр кругаСкачать

Центр круга

Геометрия К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 смСкачать

Геометрия К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

Быстро и легко определяем центр любой окружности
Поделиться или сохранить к себе: