Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Сопоставление результатов констатирующего и контрольного срезов

Следствие. Углы образованные соответственно параллельными прямыми, равны.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Определение. Пусть a и b – скрещивающиеся прямые. Рассмотрим какую-нибудь точку С в пространстве и проведём через неё прямые a’, b’, параллельные прямым a и b, соответственно. Угол между пересекающимися прямыми a’, b’ называется углом между скрещивающимися прямыми a и b.

Определение. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол.

Определение. Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Угол между двумя отрезками – это угол между соответствующими прямыми.

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Что называется углом в пространстве?

2. Сформулируйте определение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

3. Какие пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными?

4. Какие лучи в пространстве являются соноправленными?

5. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

6. Сформулируйте теорему об углах с соноправленными сторонами.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Докажите, что через точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную прямую. Сколько таких прямых можно провести через данную точку?(бесконечно много).

2. В кубе АBCDA1B1C1D1 найдите углы между скрещивающимися прямыми: а) АD и A1C1; б) АС1 и DD1; a) 45o; б) tg 4= Ö2.

3. В кубе АBCDA1B1C1D1 докажите перпендикулярность прямых: АD и А1B1; АС и B1D1; АС и DD1.

4. Прямые a и b параллельны. Прямые a и c пересекаются под прямым углом. Изобразите взаимное расположение прямых b и c и укажите угол между ними (рассмотрите различные случаи).

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Докажите, что пересекающиеся диагонали двух соседних граней куба образуют угол 60о.

2. Найдите угол между диагональю куба и пересекающим ее ребром куба.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

3. В правильной четырех угольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между стороной основания и скрещивающимися с ней боковым ребром.

6. Проверьте освоение данного модуля, выполните контрольные задания

Основной уровень:1. В пирамиде все грани которого – правильные треугольники, найдите угол между высотами этих треугольников, проведенных к общему ребру. 2. В треугольной призме, боковыми гранями которого являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.

Повышенный уровень: На поверхности куба найдите точки из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М.: ВАП, 1994.

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Образование в Японии
Курс школьного обучения в Японии занимает 12 лет, и половина его приходится на начальную школу из-за исключительной сложности и трудоемкости изучения родного языка. Ученики должны усвоить 1850 иероглифов — минимум, установленный министерством просвещения (но даже для чтения книг и газет требуется з .

Причины минимальных дизартрических расстройств
Минимальные дизартрические расстройства возникают при двустороннем поражении двигательных корково-ядерных путей, идущих от коры головного мозга к ядрам черепных нервов ствола. Вследствие большой вариативности и комбинантности поражения двигательных проводящих путей черепно-мозговых нервов симптомат .

Способы стимулирования познавательной активности подростков на уроках английского языка
При изучении новой лексики по теме можно применять такие игровые методы как кроссворд, составление истории по картинке. Например, игра «Word-search grid» . Дается сетка 14×14 клеток, в каждой клетке написана буква алфавита. Среди набора букв скрыты слова по теме «деньги». Учащимся необходимо .

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— угол между скрещивающимися прямыми Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Углы образованные параллельными прямыми в пространствето углом между прямыми Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствебудет угол между прямыми Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, где Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.1,6).

Итак,Углы образованные параллельными прямыми в пространстве
Если Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Углы образованные параллельными прямыми в пространствепрямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве;
  2. проводят из точки Углы образованные параллельными прямыми в пространствеперпендикуляр к плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве;
  3. проводят через точки плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствепрямую Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Прямую Углы образованные параллельными прямыми в пространственазывают проекцией прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствена плоскость Углы образованные параллельными прямыми в пространствеа.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Углы образованные параллельными прямыми в пространствеобозначают Углы образованные параллельными прямыми в пространствеили Углы образованные параллельными прямыми в пространствеили Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Читают: «угол между прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи плоскостью Углы образованные параллельными прямыми в пространстве».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Выберем точки Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.4), принадлежащие прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— линии пересечения плоскостей Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, — и построим два линейных угла для плоскостей Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Для этого проведем плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, которые пересекут плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствепо прямым Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствележат в плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи перпендикулярны прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, значит Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Если к плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеприменить параллельный перенос, который переводит точку Углы образованные параллельными прямыми в пространствев точку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространствесовпадет с прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, а прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— с прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствесовпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Углы образованные параллельными прямыми в пространствесм. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— отрезок,Углы образованные параллельными прямыми в пространстве Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве
Найти: углы, образованные отрезком Углы образованные параллельными прямыми в пространствес плоскостями Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— проекции точек Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствена плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствесоответственно. Поскольку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(или Углы образованные параллельными прямыми в пространстве) — прямая пересечения этих плоскостей, то Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.
Итак, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— прямоугольные, у которых: Углы образованные параллельными прямыми в пространстве Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(по условию).
Из Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве
Из Углы образованные параллельными прямыми в пространстве Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Углы образованные параллельными прямыми в пространстве и Углы образованные параллельными прямыми в пространственазывается длина отрезка Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.14). Расстояние от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстверавно длине перпендикуляра Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Углы образованные параллельными прямыми в пространствес концами в точке Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи произвольной точке Углы образованные параллельными прямыми в пространствепрямой, отличной от Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим плоскость Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи точку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеследует выбрать длину перпендикуляра Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, где Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— произвольная точка плоскости, отличная от Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Расстояние от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстве до отрезка Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Углы образованные параллельными прямыми в пространствеиз точки Углы образованные параллельными прямыми в пространствек прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве; 2) если основание Углы образованные параллельными прямыми в пространствеэтого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то искомое расстояние равно длине отрезка Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Углы образованные параллельными прямыми в пространствеили Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(в зависимости от того, какая из точек — Углы образованные параллельными прямыми в пространствеили Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— лежит ближе к точке Углы образованные параллельными прямыми в пространстве) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Углы образованные параллельными прямыми в пространстверавны между собой, а каждый отрезок с концами Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствена данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Пусть имеем две параллельные плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, проведенный из произвольной точки Углы образованные параллельными прямыми в пространствеодной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствепараллельных плоскостей Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствепараллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Углы образованные параллельными прямыми в пространствес концами в данных плоскостях Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, к плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеменьше наклонной Углы образованные параллельными прямыми в пространствек этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Действительно, пусть Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, соответственно параллельные Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, так, что прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространствепересекается с прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, а прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Через прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствекоторые попарно пересекаются, проводим плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.
Плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— параллельные. Произвольные прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, которые пересекают прямую Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи перпендикулярны плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, лежат в одной плоскости. Назовем ее Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Эта плоскость пересекает плоскость Углы образованные параллельными прямыми в пространствепо прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, параллельной Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Пусть точка Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения прямых Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи некой прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, а точка Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения той же прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Тогда прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, перпендикулярная плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, перпендикулярна и плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, поскольку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Отсюда вытекает, что Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Отрезок Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— общий перпендикуляр к плоскостям Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, а следовательно, и к прямым Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствеимеют другой общий перпендикуляр Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Проведем через точку Углы образованные параллельными прямыми в пространствепрямую Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, параллельную Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, а следовательно, и Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Поскольку она перпендикулярна прямым Углы образованные параллельными прямыми в пространствеиУглы образованные параллельными прямыми в пространстве, которые проходят через точку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то она перпендикулярна плоскости Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Тогда Углы образованные параллельными прямыми в пространствепараллельна прямой Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Имеем, что через прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок Углы образованные параллельными прямыми в пространствеперпендикулярен плоскости треугольника Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, стороны Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствекоторого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо стороны Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, если Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Пусть Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— высота данного остроугольного треугольника Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи длина Углы образованные параллельными прямыми в пространствебудет расстоянием от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо стороны Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Определим ее из прямоугольного треугольника Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(поскольку Углы образованные параллельными прямыми в пространстве), то Углы образованные параллельными прямыми в пространстве). Для этого предварительно найдем Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Из формулы для площади треугольника Углы образованные параллельными прямыми в пространстве.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Углы образованные параллельными прямыми в пространстве
Тогда Углы образованные параллельными прямыми в пространствеиУглы образованные параллельными прямыми в пространстве.

Пример №3

Прямая Углы образованные параллельными прямыми в пространствеперпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Докажите, что расстояния от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо всех сторон ромба равны между собой.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Пусть Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— ромб и Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— центр вписанной в ромб окружности. Пусть Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— точки касания сторон к окружности. Тогда Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Поскольку Углы образованные параллельными прямыми в пространствеУглы образованные параллельными прямыми в пространстве, то по теореме о трех перпендикулярах Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Итак, Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— расстояния от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространстведо сторон ромба. Из равенства треугольников Углы образованные параллельными прямыми в пространствевытекает, что Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Углы образованные параллельными прямыми в пространствене лежит в плоскости прямоугольного треугольника Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи находится на расстояниях Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствеот прямых, содержащих катеты Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(рис. 6.23). Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Углы образованные параллельными прямыми в пространстве-прямоугольник.

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Поскольку отрезки Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— расстояния от точки Углы образованные параллельными прямыми в пространствесоответственно до прямых Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, то Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве. По условию Углы образованные параллельными прямыми в пространстве, поэтому Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— проекции наклонных Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространствена плоскость Углы образованные параллельными прямыми в пространствеи Углы образованные параллельными прямыми в пространстве(по теореме о трех перпендикулярах). Однако Углы образованные параллельными прямыми в пространствепо условию, поэтому Углы образованные параллельными прямыми в пространстве— прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Углы, образованные параллельными прямыми

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Презентация — подробное и наглядное изложение темы » Углы, образованные параллельными прямыми». В ней рассматриваются понятие обратной теоремы, метода от противного, теорем о свойствах углов, образованных параллельными прямыми и секущей, приведены задачи для закрепления рассматриваемой темы.

Просмотр содержимого документа
«Углы, образованные параллельными прямыми»

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник — равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник — равнобедренный

Если в треугольнике два угла

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы — смежные

Сумма смежных углов

то они — вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник — равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой

Углы образованные параллельными прямыми в пространстве

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Всегда ли обратное утверждение верно?

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .

Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно

🎥 Видео

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

Как проверяют учеников перед ЕНТСкачать

Как проверяют учеников перед ЕНТ

Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност
Поделиться или сохранить к себе: