Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьТеорема Птолемея

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

откуда вытекает равенство:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАDС, Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС, откуда следует Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАDС + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВСDвнешний угол Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьСFD, следовательно, Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВFD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВFD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD и Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьFDE = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВСDЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСDЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBАD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВСF: Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьС + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьС = 180 0 — ( Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьF). (2)

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВ = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF. (3)

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьF и Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьF + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьF = 180 0 — Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 — Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьС = 180 0 — (Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF + 180 0 — Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF — 180 0 + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАDЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьСЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD.

Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьА = Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьА + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьСЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьЕсли два угла четырехугольника равны то можно описать окружность(Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВЕD + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьА + Если два угла четырехугольника равны то можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

📺 Видео

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Описанная окружность 3. Задача на применение свойства четырёхугольника, вписанного в окружностьСкачать

Описанная окружность 3. Задача на применение свойства четырёхугольника, вписанного в окружность

ЕГЭ Задание 16 Признак вписанного четырехугольникаСкачать

ЕГЭ Задание 16 Признак вписанного четырехугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: