Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Параллелограмм: свойства и признаки

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

О чем эта статья:

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равны

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма

1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

2. Рассмотрим Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВС и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАDС: АС — общая, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 =Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон3 (т.к. по условию АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВС =Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВ = DC и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2 = Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон4. Но Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2 и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон.

3. Итак, АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС и АВЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторончетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

2. Рассмотрим Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВС и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАВС =Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 = Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2, при этом Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

1. Рассмотрим Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАОD и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАОD и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВОС (как вертикальные углы), Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАОD =Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонАD = ВC и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 = Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2.

2. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 и Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон1 = Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон2, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонВС, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторонпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. противоположные его углы равны;
  2. противоположные его стороны попарно равны;
  3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN — параллелограмм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF — параллелограмм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM — параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть две пары равных сторон

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR — параллелограмм.

🎥 Видео

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

Признак параллелограмма (второй), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (второй), 8 класс

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. 8 класс.

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

Признак параллелограмма (первый), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (первый), 8 класс

Признак параллелограмма (третий), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (третий), 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: