Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Параллелограмм: свойства и признаки

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

О чем эта статья:

Содержание
  1. Определение параллелограмма
  2. Свойства параллелограмма
  3. Признаки параллелограмма
  4. Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
  5. Определение параллелограмма
  6. Свойства параллелограмма
  7. Признаки параллелограмма
  8. Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения
  9. Определение параллелограмма
  10. Свойства параллелограмма
  11. Пример №1
  12. Пример №2
  13. Признаки параллелограмма
  14. Пример №3
  15. Необходимые и достаточные условия
  16. Виды параллелограммов
  17. Прямоугольник
  18. Квадрат
  19. Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения
  20. Трапеция
  21. Частные случаи трапеций
  22. Пример №4
  23. Построение параллелограммов и трапеций
  24. Пример №5
  25. Пример №6
  26. Теорема Фалеса
  27. Пример №7
  28. Средняя линия треугольника
  29. Средняя линия трапеции
  30. Пример №8
  31. Вписанные углы
  32. Градусная мера дуги
  33. Вписанный угол
  34. Пример №9
  35. Следствия теоремы о вписанном угле
  36. Пример №10
  37. Вписанные четырехугольники
  38. Описанные четырехугольники
  39. Пример №11
  40. Геометрические софизмы
  41. Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности
  42. Пример №12
  43. Пример №13
  44. Замечательные точки треугольника
  45. Точка пересечения медиан
  46. Пример №14
  47. Точка пересечения высот
  48. Справочный материал по параллелограмму
  49. 🌟 Видео

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:В параллелограмме есть два равных угла. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В параллелограмме есть два равных угла. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Видео:Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.

Свойства параллелограмма

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

7. Диагонали Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллелограмма и стороны
Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласвязаны следующим соотношением: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

Признаки параллелограмма

Четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляется параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

2. Противоположные углы попарно равны: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

5. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаФормулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Видео:Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— соседние для стороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа сторона Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— противолежащая стороне Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углавершины Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— соседние с вершиной Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа вершина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— противолежащая вершине Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаили Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углано нельзя обозначать Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 2) диагоналями являются отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаэти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямые Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапроходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапри вершине Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла называется угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

В данном четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапроведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласумма углов четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавна сумме всех углов треугольников Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато есть равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТеорема доказана.

Пример:

Углы четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласоседние с углом Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавны, а противолежащий угол в два раза больше угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(см. рис. 1). Найдите угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаесли Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Углами, соседними с углом Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа углом, противолежащим к Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо условию задачи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку сумма углов четырехугольника равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли градусная мера угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато градусная мера угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо условию равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОтсюда имеем: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Видео:Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав котором Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пример:

На рисунке 8 Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаДокажите, что четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Из равенства треугольников Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласледует равенство углов: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаУглы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаАналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо признаку параллельности прямых имеем: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапротиволежащие стороны попарно параллельны, т.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

  1. противолежащие стороны равны;
  2. противолежащие углы равны;
  3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем в параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладиагональ Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 11) и рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

У них сторона Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— общая, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаА поскольку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладиагонали Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакоторые пересекаются в точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 12).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаУ них Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо доказанному, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо второму признаку. Отсюда следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат. е. точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляется серединой каждой из диагоналей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТеорема доказана полностью.

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаНайдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по свойству углов параллелограмма Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСумма всех углов параллелограмма равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапоэтому Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пример №2

В параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углабиссектриса угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелит сторону Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапополам. Найдите периметр параллелограмма, если Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Пусть в параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углабиссектриса угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапересекает сторону Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 13). Заметим, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапоскольку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— биссектриса угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОтсюда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— равнобедренный с основанием Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углазначит, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо условию Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

  1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1) Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 15).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем диагональ Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОни имеют общую сторону Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо условию, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по признаку параллельности прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТаким образом, в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапротиволежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 16).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Снова проведем диагональ Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ этом случае они равны по третьему признаку: сторона Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— общая, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо признаку параллельности прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угластороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладиагонали пересекаются в точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 17). Рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЭти треугольники равны по первому признаку: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак вертикальные, а Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм по признаку 1.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема доказана полностью.

Пример №3

В параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середины сторон Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласоответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла—параллелограмм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСтороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак половины равных сторон Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллелограмма Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТаким образом, в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладве стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаутверждение Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляется достаточным условием для утверждения Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа утверждение Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— необходимым условием для утверждения Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСхематически это можно представить так:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Видео:Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас диагоналями Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 29). Треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямоугольные и равны по двум катетам Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— общий, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углачто и требовалось доказать.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(см. рис. 28). Углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются внутренними односторонними при прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку сумма этих углов составляет Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато по признаку параллельности прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаАналогично доказываем параллельность сторон Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, по определению параллелограмма Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— прямоугольник по определению.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Пусть диагонали ромба Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапересекаются в точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавнобедренный с основанием Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа по свойству диагоналей параллелограмма точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. диагонали ромба перпендикулярны, иЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— биссектриса угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

  1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
  2. все углы квадрата прямые;
  3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угластороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются основаниями, а Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— боковыми сторонами.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаНа рисунке 37 Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас боковыми сторонами Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаИногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— данная трапеция, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем высоты Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаиз вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 41). У них Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак боковые стороны равнобедренной трапеции, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак расстояния между параллельными прямыми Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаУглы трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углатакже равны, поскольку они дополняют равные углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

  • если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав которой Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 42). По условию задачи треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавнобедренный с основанием Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас другой стороны, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПусть градусная мера угла 1 равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углатогда в данной трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаимеем: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— данные диагонали параллелограмма, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапостроен (рис. 43).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламожно построить по двум сторонам и углу между ними Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Таким образом, мы получим вершины Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаискомого параллелограмма.

Вершины Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламожно получить, «удвоив» отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Построение

1. Разделим отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапополам.

2. Построим треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо двум сторонам и углу между ними.

3. На лучах Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаотложим отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

4. Последовательно соединим точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм, поскольку по построению его диагонали Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(по построению),

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— основания искомой трапеции, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапостроена (рис. 44).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем через вершину Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямую Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллельную Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм по определению, следовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВспомогательный треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламожно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угланадо отложить на луче Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи на луче с началом в точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллельном Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаотрезки длиной Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Построение

1. Построим отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

2. Построим треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо трем сторонам Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

3. Построим луч, проходящий через точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи параллельный Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПри этом построенный луч и луч Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладолжны лежать по одну сторону от прямой Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

4. На луче Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаот точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаотложим отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана луче с началом Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

5. Соединим точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

По построению Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм по признаку. Отсюда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаудовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 46).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем через точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямую Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапараллельную Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 47).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Четырехугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограммы по определению. Тогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа поскольку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаУ них Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо доказанному, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак вертикальные, a Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо второму признаку, откуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавных частей.

Решение:

Решим задачу для Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. разделим данный отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана три равные части (рис. 48).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Для этого проведем из точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапроизвольный луч, не дополнительный к лучу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи отложим на нем равные отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПроведем прямую Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи параллельные ей прямые через точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо теореме Фалеса эти прямые делят отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 50). Докажем сначала, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПроведем через точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямую, параллельную Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо теореме Фалеса она пересечет отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав его середине, т.е. будет содержать отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем теперь среднюю линию Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо только что доказанному она будет параллельна стороне Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЧетырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаА поскольку точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середины сторон четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 51). Проведем диагональ Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОтрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средние линии треугольников Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласоответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас основаниями Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 53).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведем прямую Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи отметим точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точку пересечения прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаРассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаУ них Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапоскольку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак вертикальные, a Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо второму признаку, откуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по определению Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо свойству средней линии треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапоэтому Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаоткуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо свойству средней линии треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 54).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаотсекают на боковой стороне Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавные отрезки, т.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по определению Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия трапеции Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо свойству средней линии трапеции имеем систему:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаРасширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На рисунке 58 угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапересекают данную окружность в точках Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПри этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаобозначенному дужкой, соответствует дуга Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа на рисунке 59, б — дуга Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ случае, когда лучи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладополнительные, соответствующая дуга Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляется полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаНапример, на рисунке 59, в Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат. е. градусная мера полуокружности составляет Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОчевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Концы хорды Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелят окружность на две дуги — Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

На рисунке 60 изображен вписанный угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕго вершина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаДуга Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаопирается на дугу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть в окружности с центром Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углавписанный угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаопирается на дугу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаДокажем, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаРассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляется внешним углом при вершине Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавнобедренного треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо теореме о внешнем угле треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаА поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

т.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 61, б). Луч Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелит угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана два угла. По только что доказанному Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаесли Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 62).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

Для того чтобы найти угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угланеобходимо найти градусную меру дуги Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана которую опирается угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаиз теоремы о вписанном угле Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЗаметим, что дуги Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углавместе составляют полуокружность, т.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по теореме о вписанном угле Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакоторый опирается на полуокружность, равен Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаугол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямой (рис. 65, а), то дуга Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Тогда гипотенуза Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаесли Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 66).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Поскольку вписанный угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаопирается на полуокружность, то по следствию 2 Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЗначит, треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямоугольный, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углатогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо следствию 1 углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавны, поскольку оба они опираются на дугу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

  1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равнаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(свойство вписанного четырехугольника).
  2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равнаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углавписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Следовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Аналогично доказываем, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаОпишем окружность около треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи докажем от противного, что вершина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углане может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалежит внутри окружности, а точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точка пересечения луча Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас дугой Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 73).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Тогда четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— вписанный. По условию Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаа по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаНо угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углачетырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— внешний угол треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углане может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углане может лежать вне окружности. Тогда точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалежит на окружности, т.е. около четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламожно описать окружность.

Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углана рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

  1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
  2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакасаются вписанной окружности в точках Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 76).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

По свойству отрезков касательных Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаС учетом обозначений на рисунке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углас наименьшей стороной Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку по теореме о биссектрисе угла точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(точка пересечения биссектрис углов Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавноудалена от сторон Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато можно построить окружность с центром Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакоторая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Предположим, что это не так. Тогда прямая Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалибо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакасательную к окружности, которая пересекает сторону Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда по свойству описанного четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаНо по условию Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВычитая из второго равенства первое, имеем: Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углачто противоречит неравенству треугольника для треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углане может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат. е. четырехугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаописанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— данная равнобедренная трапеция с основаниями Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо свойству описанного четырехугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСредняя линия трапеции равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Обозначим на сторонах произвольного угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласоответственно (рис. 79).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точку пересечения перпендикуляров.

Через точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углане лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласуществует и является единственной). Обозначим точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точки пересечения этой окружности со сторонами угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПрямые углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются диаметрами окружности, которые имеют общий конец Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углано не совпадают. Тогда их середины Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаявляются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаобязательно пройдет через точку Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ таком случае отрезки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласовпадут с отрезком Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласередина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаесли радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 80).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углазначит, ее центром является середина гипотенузы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаВ треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак катет, противолежащий углу Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку в прямоугольном треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато углы при большем основании трапеции равны Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи секущей Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, в треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладва угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаоткуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаТогда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалежащей на катете Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапрямоугольного треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапроведен перпендикуляр Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углак гипотенузе Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 81). Докажите, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Решение:

В четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углазначит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углабудут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Пусть в треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапроведены медианы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 85).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапричем Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— точка пересечения медиан Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточки Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середины отрезков Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угласоответственно. Отрезок Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи по свойству средней линии треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— средняя линия треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи по тому же свойству Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЗначит, в четырехугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладве стороны параллельны и равны. Таким образом, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограмм, и его диагонали Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточкой пересечения делятся пополам. Следовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелит медианы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаточкой пересечения с каждой из медиан Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угламедианы Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавны и пересекаются в точке Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 87).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Рассмотрим треугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПоскольку точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угладелит каждую из равных медиан Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаи Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углав отношении Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаКроме того, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакак вертикальные. Значит, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углапо первому признаку. Отсюда следует, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углат.е. треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угларавнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Пусть Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— высоты треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла(рис. 88).

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угластороны которого перпендикулярны высотам треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаПо построению четырехугольники Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— параллелограммы, откуда Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаСледовательно, точка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина отрезка Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаАналогично доказываем, что Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла— середина Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Таким образом, высоты Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углалежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углакоторые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника.

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

  • точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
  • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
  • точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
  • точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Сумма углов четырехугольника равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углаЕсли четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Признак ромба

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Все углы квадрата прямые

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам

Трапеция

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема Фалеса

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных углато около него можно описать окружность

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Около любого прямоугольника можно описать окружность
Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Свойство вписанного четырехугольника

  • Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
  • Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
  • Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

В любой ромб можно вписать окружность
Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Свойство описанного четырехугольника

  • В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
  • Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла
Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Если четырехугольник параллелограмм то у него есть два равных угла

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равны

Второй признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Второй признак параллелограмма (доказательство).

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. 8 класс.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 класс

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Параллелограмм и вся его семейкаСкачать

Параллелограмм и вся его семейка

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: