Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наВписанные четырехугольники и их свойства
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наТеорема Птолемея

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Окружность, описанная около параллелограмма
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат наОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на
Окружность, описанная около параллелограмма
Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Видео:2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать

2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскости

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Докажем, что справедливо равенство:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

откуда вытекает равенство:

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК АВСД ВПИСАН В ОКРУЖНОСТЬ. НАЙДИТЕ УГОЛ АБДСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК АВСД ВПИСАН В ОКРУЖНОСТЬ. НАЙДИТЕ УГОЛ АБД

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка F лежит на его стороне AD, причём прямые BF и CD параллельны, и прямые CF и AB параллельны.

а) Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.

б) Известно, что AF = 1, DF = 4. Найдите BC.

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Следовательно, треугольники BAF и FCB подобны по двум углам. Аналогично, треугольники FCB и CDF подобны по двум углам.

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.

Видео:Г: Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD является диаметром этой окружностиСкачать

Г: Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD является диаметром этой окружности

Общие понятия

Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.

Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на Вам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Четырехугольник может быть следующих видов:

  • Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
  • Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
  • Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
  • Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
  • Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.

Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.

Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Частные случаи

Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:

  • Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
  • Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
  • Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.

Видео:Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математика

Свойства вписанного четырехугольника в окружность

Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теорема 1

Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.

Если четырехугольник авсд вписан в окружность то его лежат на

Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что

📸 Видео

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117Скачать

Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=12 иСD=13 вписан в окружность. 27 вариант Ященко ОГЭ задача 25Скачать

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=12 иСD=13 вписан в окружность. 27 вариант Ященко ОГЭ задача 25

Решение задания №16 варианта 1 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗСкачать

Решение задания №16 варианта 1 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗ

2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9Скачать

2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: