Параллелограмм — это геометрическая фигура, у которой диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, а противолежащие стороны параллельны.
Теорема: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся этой точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник называется параллелограммом.
Доказательство. Пусть АВСD данный четырехугольник. Точка О — точка пересечения его диагоналей (рис.1). Тогда треугольники Δ АОD и Δ ВOC равны по двум сторонам и углу между ними. А следовательно, угол ODA равен углу CBO и угол OAD равен углу BCO. Таким образом, эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей AC. А по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны. Аналогично можно доказать, что прямая АВ параллельна ВС. Теорема доказана.
Рис.1 Теорема. Параллелограмм.
2.Свойство диагоналей параллелограмма
Теорема. если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство. Пусть дан параллелограмм АВСD. (Рис. 2)
Тогда его стороны AD и BC равны и лежат на параллельных прямых а и b. Если мы проведем секущие с и d так, чтобы прямая с проходила через точку А и С, а прямая d проходила через точку B и D, то угол ОАD будет равен углу ОСВ, а угол ОDА будет равен углу ОВС, как внутренние накрест лежащие. Следовательно, треугольники АОD и ВОС равны по стороне и прилегающим к ней углам. А отсюда следует и равенство сторон этих треугольников. Т.е. АО = ОС, а ВО = ОD. Сумма этих сторон и есть диагонали параллелограмма.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
3.Ромб
Ромб — это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.
Теорема. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. Пусть АВСD — ромб.(Рис. 3). Тогда треугольник АВС — равнобедренный. А это значит, что отрезок ВО, который является половиной диагонали, является биссектрисой медианой и высотой. Следовательно диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом.
Рис.3 Теорема. Свойство диагоналей ромба.
Видео:Геометрия Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см а одна из диагоналей 12 см Найдите вторуюСкачать
Задача
В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Необходимо найти отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АD = 14 см (рис.4)
Решение. Так как прямая АЕ биссектриса, то это значит, что треугольники АВЕ и АЕР равны. Так как угол ВАЕ равен углу АЕР, а угол ЕАР равен углу ВЕА как внутренние накрест лежащие. Следовательно АВЕР — ромб, так как угол ВАЕ равен углу ЕАР ( по условию). Отсюда следует, что АВ = ВЕ = 9 см, а ЕС = 5 см.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
4.Теорема Фалеса
Теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной его стороне равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые (рис.5). Точки А 1 А 2 А 3 А 4 и В 1 В 2 В 3 В 4 — точки пересечения. Проведем прямую ОЕ. Тогда А 1 ЕОА 3 — параллелограмм. И ОЕ = А 1 А 3 Треугольники В 1 В 2 Е и ОВ 2 В 3 равны по стороне (ОВ 2 = ЕВ 2 ) и прилегающим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .
Теорема. средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей его стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник. Отрезок ЕР соединяет середины сторон АВ и ВС (Рис. 5). Тогда по теореме Фалеса отрезок ЕР параллелен основанию АС, так как он делит стороны АВ и ВС на равные части. Если на стороне АС отметить точку К, которая делит ее пополам и провести отрезок РК, то он будет параллелен стороне АВ. А геометрическая фигура АЕРК будет являться параллелограммом. Отсюда следует, что средняя линия ЕР равна половине основания. Таким образом, утверждение, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине, верно.
Трапеция — это геометрическая фигура, у которой только две противолежащие стороны параллельны.
Теорема. средняя линия трапеции параллельна двум своим основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть АВСD — трапеция.(Рис. 6). Проведем прямую от вершины В через середину стороны СD точку Н к основанию, т.е. достроим треугольник АВО. Тогда треугольники ВСН и DHO равны по сторонам СН и НD и прилегающим к ним углам. Следовательно отрезок АО равен сумме оснований АD и ВС. Рассмотрим треугольник АВО. ЕН это средняя линия треугольника, которая равна половине основания АО, т.е. полусумме оснований трапеции АD и ВС.
Рис.6 Теорема. Средняя линия трапеции.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
7.Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема. параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые. Необходимо доказать, что AС 1 /AС = AВ 1 /AВ (Рис. 7).
Разобьем угол ВAС параллельными прямыми на n частей. Тогда АВ = ns, a AB1 = ms. Где s — отрезок некоторой длины. По теореме Фалеса эти прямые разбивают сторону AС также на равные части. Тогда:
Рис.7 Теорема о пропорциональных отрезках.
Отложим на луче АС отрезок АС 2 1 , который равен АС 2 = АС*АВ 1 /АВ (Рис.8). Если отрезок АС разбить на большое число частей, то между точками С 1 и С 2 будут деления. Одно из них обозначим как x и y.
Т.е. мы пришли к противоречию, так как изначально мы взяли отрезок АС 2 = АС*АВ 1 /АВ.
Рис.8 Теорема о пропорциональных отрезках.
Пример 1
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (Рис.9)
Доказательство:
Пусть ABCD данный параллелограмм. EF данный отрезок, проходящий через точку О пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольники COF и AOE. Сторона АО треугольника АОЕ равна стороне ОС треугольника COF по свойству параллелограмма. Угол при вершине А треугольника АОЕ равен углу при вершине С треугольника COF, как внутренние накрест лежащие углы. Углы при вершине О у обоих треугольников равны как вертикальные.
Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АОЕ и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Следовательно, отрезки OF и ОЕ равны.
Рис.9 Задача. Через точку пересечения диагоналей.
Пример 2
Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма. (Рис.10)
Решение:
Пусть ABCD данный параллелограмм. Обозначим сторону АВ как 3х, а сторону ВС как 4х. Тогда составим следующее соотношение:
Рис.10 Задача. Две стороны параллелограмма.
Пример 3
В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 4 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. (Рис.11)
Решение:
Так как перпендикуляр BE, опущенный на сторону AD, делит ее пополам, то треугольники ABE и BED равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АЕ равна стороне ED, сторона BE — общая, а углы при вершине Е равны 90°.Отсюда следует, что диагональ BD равна стороне АВ.
Обозначим сторону АВ как х, а сторону AD — как 2y. Тогда можно составить следующие соотношения:
PABCD = 2*(х + 2y) = 4, PABD = 2x +2y = 3
PABCD = 2х + 4y = 4, а 2х = 4 — 4y.
Тогда подставим 4 — 4y во второе уравнение:
4 — 4y + 2y = 3 и,следовательно, y = 0,5, а х = 1
Рис.11 Задача. В параллелограмме ABCD перпендикуляр.
Пример 4
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.(Рис.12)
Решение:
Пусть АВС данный треугольник. АВ = АС = 8 см. Тогда углы при вершинах В и С равны 45°. А следовательно, углы при вершине Е в треугольниках FEC и BDE также равны 45°. Если обозначить часть катета АF как х, то FC будет равно 8 — х.
Отсюда следует, что FE = AD = 8-х, а BD = х.
Теперь можно составить следующее соотношение:
РADEF = 2*(х + 8 — х) = 16 см.
Периметр прямоугольника ADEF равен 16 см.
Рис.12 Задача. В прямоугольный треугольник.
Пример 5
Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.(Рис.13)
Доказательство:
Пусть АВСD данный параллелограмм. По свойству параллелограмма, у него противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, стороны АВ и CD можно рассматривать как параллельные прямые, а диагональ BD — как секущую. Тогда в треугольниках АВО и DOC углы при вершинах B и D равны как внутренние накрест лежащие. Так же как и углы при вершинах А и С.
Отсюда следует, что эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Сторона АВ = DC и внутренние накрест лежащие углы при них равны. Следовательно, АО = ОС, а ВО = OD.
Теперь рассмотрим треугольники AOD и DOC. Они также равны, но по первому признаку равенства треугольников. Сторона АО = ОС, а сторона OD у них общая. Углы при вершине О равны 90°. Т.е. по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, можно сделать вывод, что сторона AD = DC = AB = BC, т.е. данный параллелограмм является ромбом.
Рис.13 Задача. Докажите, что если у параллелограмма.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Как найти площадь параллелограмма:
S = a × h, где a — сторона, h — высота.
S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
Противоположные стороны параллелограмма равны. ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
CO = AO
BO = DO
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
AB || CD
AB = CD
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
AC — общая сторона;
По условию AB = CD;
∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
AB = CD
BC = AD
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
AC — общая сторона;
AB = CD по условию;
BC = AD по условию.
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
CO = OA;
DO = BO;
углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Видео:№366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 смСкачать
Четырехугольники
теория по математике 📈 планиметрия
Четырехугольник– это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.
Определение
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Видео:Параллелограммы | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Прямоугольник
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь
Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
Диагонали квадрата равны (BD=AC).
Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапеций
Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов
Средняя линия трапеции
Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17
Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).
Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.
Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула
S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.
Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:
Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8
Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:
12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .
В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .
Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2
Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
Объекты
яблони
теплица
сарай
жилой дом
Цифры
Решение
Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:
при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».
Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.
Задание №3
Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4
Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м
Задание №5
Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
Номер магазина
Расход краски
Масса краски в одной банке
Стоимость одной банки краски
Стоимость доставки заказа
1
0,25 кг/кв.м
6 кг
3000 руб.
500 руб.
2
0,4 кг/кв.м
5 кг
1900 руб.
800 руб.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Решение
Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:
1 магазин: 232х0,25=58 кг
2 магазин: 232х0,4=92,8 кг
Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:
1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)
2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.
Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:
1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.
2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.
Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.
Определение
На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь 
Свойства квадрата
