Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

§ 15. Свойства параллельных прямых

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP . Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

  1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
  5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Содержание
  1. Признаки параллельности прямых
  2. Аксиома параллельности Евклида
  3. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  4. Подобные треугольники
  5. Первый признак подобия треугольников
  6. Пример №1
  7. Теорема Менелая
  8. Теорема Птолемея
  9. Второй и третий признаки подобия треугольников
  10. Пример №4
  11. Прямая Эйлера
  12. Обобщенная теорема Фалеса
  13. Пример №5
  14. Подобные треугольники
  15. Пример №6
  16. Пример №7
  17. Признаки подобия треугольников
  18. Пример №8
  19. Пример №9
  20. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  21. Пример №10
  22. Пример №11
  23. Свойство биссектрисы треугольника
  24. Пример №12
  25. Пример №13
  26. Применение подобия треугольников к решению задач
  27. Пример №14
  28. Пример №15
  29. Подобие треугольников
  30. Определение подобных треугольники
  31. Пример №16
  32. Вычисление подобных треугольников
  33. Подобие треугольников по двум углам
  34. Пример №17
  35. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  36. Пример №18
  37. Подобие треугольников по трем сторонам
  38. Подобие прямоугольных треугольников
  39. Пример №19
  40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  41. Пример №20
  42. Теорема Пифагора и ее следствия
  43. Пример №21
  44. Теорема, обратная теореме Пифагора
  45. Перпендикуляр и наклонная
  46. Применение подобия треугольников
  47. Свойство биссектрисы треугольника
  48. Пример №22
  49. Метрические соотношения в окружности
  50. Метод подобия
  51. Пример №23
  52. Пример №24
  53. Справочный материал по подобию треугольников
  54. Теорема о пропорциональных отрезках
  55. Подобие треугольников
  56. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  57. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  58. Признак подобия прямоугольных треугольников
  59. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  60. Теорема Пифагора и ее следствия
  61. Перпендикуляр и наклонная
  62. Свойство биссектрисы треугольника
  63. Метрические соотношения в окружности
  64. Подробно о подобных треугольниках
  65. Пример №25
  66. Пример №26
  67. Обобщённая теорема Фалеса
  68. Пример №27
  69. Пример №28
  70. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  71. Пример №29
  72. Применение подобия треугольников
  73. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  74. Пример №31
  75. 🎬 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d.

Но ∠3 + ∠2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы («Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.») заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы (Признаки параллельности прямых) заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его «Началах» аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида.

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Предположим, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Пусть серединой отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является некоторая точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— средняя линия треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отсюда
Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Значит, через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проходят две прямые, параллельные прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55что противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Предположим, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Пусть серединой отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является некоторая точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— средняя линия трапеции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Значит, через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проходят две прямые, параллельные прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Мы пришли к противоречию. Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Аналогично можно доказать, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Записывают: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 113). Докажем, что: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равных отрезков, каждый из которых равен Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55соответственно на Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельной прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55также проходит через точку М и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Проведем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то по теореме Фалеса Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

По теореме о пропорциональных отрезках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Таким образом, медиана Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекая медиану Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55делит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55также делит медиану Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку BE = ВС, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55так, чтобы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Проведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Они пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

На рисунке 131 изображены треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых равны углы: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Стороны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежат против равных углов Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Такие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По определению эти треугольники подобны. Пишут: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то можно также сказать, что треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобен треугольнику АВС с коэффициентом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Пишут: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Докажите это свойство самостоятельно.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллелен стороне АС. Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как соответственные при параллельных прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Проведем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По определению четырехугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— параллелограмм. Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Таким образом, мы доказали, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Следовательно, в треугольниках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55углы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откудаДве параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть Р1 — периметр треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Р — периметр треугольника АВС. Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55выполняются условия Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отложим на стороне ВА отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равный стороне Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельную стороне АС (рис. 140).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— соответственные при параллельных прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Але Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Получаем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Таким образом, треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №1

Средняя линия трапеции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Угол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55вв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 а на продолжении стороны АС — точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Для того чтобы точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 153, а). Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Из подобия треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55следует равенство Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем равенство

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежат на одной прямой.
Пусть прямая Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55делят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекает сторону ВС в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

На диагонали АС отметим точку К так, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Углы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Углы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если k = 1, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а следовательно, треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55так, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 160). Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Покажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Предположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если k = 1, то треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55такие, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 161). Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

В треугольниках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55угол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Учитывая, что по условию Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Следовательно, треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— высоты треугольника АВС. Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
В прямоугольных треугольниках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55острый угол В общий. Следовательно, треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Угол В — общий для треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, треугольники АВС и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 167).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55. Для этой окружности угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является центральным, а угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Углы ВАС и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как противолежащие углы параллелограмма Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то равнобедренные треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Докажем теперь основную теорему.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как вертикальные. Следовательно, треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Значит, точка М делит медиану Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называют отношение их длин, то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Говорят, что отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пропорциональные отрезкам Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Например, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55действительно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пропорциональны трем отрезкам Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55если

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекают стороны угла Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 123). Докажем, что

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55являются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55который можно отложить целое число раз и на отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и на отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Разделим отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равных частей длины Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— на Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равных частей длины Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равных отрезков длины Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55причем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55будет состоять из Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55таких отрезков, а Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— из Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55таких отрезков.

Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Найдем отношение Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Будем иметь:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие 2. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Учитывая, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

будем иметь: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Постройте отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Для построения отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55можно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а на другой — отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проведем прямую, точку пересечения которой со стороной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55угла обозначим через Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Построенный отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называют четвертым пропорциональным отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55так как для этих отрезков верно равенство: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны (рис. 127), то

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Число Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называют коэффициентом подобия треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55к треугольнику Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55или коэффициентом подобия треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Подобие треугольников принято обозначать символом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55В нашем случае Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Заметим, что из соотношения Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55следует соотношение

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №7

Стороны треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55относятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Обозначим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По условию Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(см). Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекает стороны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55соответственно в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 129). Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— общий для обоих треугольников, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как соответственные углы при параллельных прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(аналогично, но для секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, три угла треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны трем углам треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проведем прямую, параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и пересекающую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— параллелограмм, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По обобщенной теореме Фалеса: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

4) Окончательно имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а значит, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 130). Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Отложим на стороне Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и проведем через Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55прямую, параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 131). Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по лемме).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по построению). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По условию Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55поэтому

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Учитывая, что

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по трем сторонам).

4) Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55значит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— параллелограмм (рис. 132). Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— высота параллелограмма. Проведем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— вторую высоту параллелограмма.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— прямоугольный треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) У прямоугольных треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— общий. Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по острому углу).

2) Аналогично Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55-общий, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) У треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по острому углу).

Отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называют проекцией катета Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на гипотенузу Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проекцией катета Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на гипотенузу Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по лемме). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55или Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по лемме). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55или Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по лемме). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55или Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №10

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— высота прямоугольного треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

с прямым углом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажите, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

4) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 147). Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Проведем через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55прямую, параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и продлим биссектрису Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55до пересечения с этой прямой в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— равнобедренный (так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а значит, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как вертикальные), поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам). Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55таким образом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Из пропорции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55можно получить и такую: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №12

В треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса треугольника. Найдите Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Рассмотрим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 147). Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем уравнение: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55медиана (рис. 148).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— радиус окружности.

Учитывая, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55обозначим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— середина Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 пересекаются в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Пусть хорды Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекаются в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 150). Рассмотрим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как вертикальные), Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам), а значит, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие. Если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— центр окружности, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— ее радиус, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— хорда, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55где Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Проведем через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55диаметр Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 151). Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажите формулу биссектрисы: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Опишем около треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55окружность и продлим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55до пересечения с окружностью в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 152).

1) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по условию). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам).

2) Имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и касательную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55где Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 — точка касания, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(как вписанный угол), Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, то

есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам),

значит, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие 1. Если из точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55провести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а другая — в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Так как по теореме каждое из произведений Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то следствие очевидно.

Следствие 2. Если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— центр окружности, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— ее радиус, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— касательная, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— точка касания, то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55где Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Доказательство:

Проведем из точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55через центр окружности Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55секущую (рис. 154), Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с планкой, которая вращается вокруг точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Направим планку на верхнюю точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55ели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в которой планка упирается в поверхность земли.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Рассмотрим Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у них общий, поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по острому углу).

Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если, например, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55у которого углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и откладываем на прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равный данному.

3) Через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проводим прямую, параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Она пересекает стороны угла Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в некоторых точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 157).

4) Так как Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Значит, два угла треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны данным.

Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— середина Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по двум углам). Поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Получаем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то есть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Но Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(по построению), поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— медиана треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— искомый.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называется частное их длин, т.е. число Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Иначе говоря, отношение Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55показывает, сколько раз отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и его части укладываются в отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Действительно, если отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55принять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отрезки длиной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пропорциональны отрезкам длиной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55показывает, сколько раз отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55укладывается в отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а отношение Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55сколько раз отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55укладывается в отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Теорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Действительно, прямые, параллельные Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55«переходит» в отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55десятая часть отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— в десятую часть отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и т.д. Поэтому если отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55укладывается в отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55раз, то отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55укладывается в отрезке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55также Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55раз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и следствие данной теоремы можно записать в виде Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55На такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Постройте отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и отложим на одной его стороне отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а на другой стороне — отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 91).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и прямую, которая параллельна Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проходит через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и пересекает другую сторону угла в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По теореме о пропорциональных отрезках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— искомый.

Заметим, что в задаче величина Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является четвертым членом пропорции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55В этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Число Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с коэффициентом подобия Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Это означает, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Имеем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, (рис. 99).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отложим на луче Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равный Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по второму признаку, откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По теореме о пропорциональных отрезках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55следовательно Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Аналогично доказываем что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Таким образом по определению подобных треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Теорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55диагонали пересекаются в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 100).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Рассмотрим треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55В них углы при вершине Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как вертикальные, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум углам. Отсюда следует, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По скольку по условию Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55значит, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в которых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 101).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равный Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум углам. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по первому признаку равенства треугольников, следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55делит каждую из них в отношении Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55начиная от вершины Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажите, что эта прямая параллельна Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть прямая Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекает стороны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55соответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Но эти углы являются соответственными при прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 103).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равный отрезку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и проведем прямую Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум углам. Отсюда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Учитывая, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Аналогично доказываем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с острым углом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проведены высоты Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 110). Докажите, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Поскольку они имеют общий острый угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55они подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Рассмотрим теперь треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55У них также общий угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55называется средним пропорциональным между отрезками Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

В прямоугольном треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с катетами Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и гипотенузой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проведем высоту Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и обозначим ее Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 111).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Отрезки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на гипотенузу Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55обозначают Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55соответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

По признаку подобия прямоугольных треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(у этих треугольников общий острый угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(у этих треугольников общий острый угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Из подобия треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Аналогично из подобия треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55И наконец, из подобия треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Теорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 112).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Из метрического соотношения в треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Из соотношения Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и гипотенузой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 117) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55то

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— высота треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в котором Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 118).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— наибольшая сторона треугольника, то точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55лежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55см, тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а из прямоугольного треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Приравнивая два выражения для Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55получаем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Таким образом, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда из треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по теореме Пифагора имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть в треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 119, а) Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажем, что угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с прямым углом Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в котором Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 119, б). По теореме Пифагора Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по трем сторонам, откуда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Об этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55для которых выполняется равенство Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55принято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55не лежит на прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с точкой прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55На рисунке 121 отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— наклонная к прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55точка Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— основание наклонной. При этом отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55ограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55на данную прямую.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

По данным рисунка 123 это означает, что

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажем, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

В случае, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55утверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55является одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Проведем перпендикуляры Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55к прямой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 124). Прямоугольные треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны, поскольку их острые углы при вершине Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

С другой стороны, прямоугольные треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55также подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда следует что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Сравнивая это равенство с предыдущем Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55что и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса прямоугольного треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55с гипотенузой Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 125).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

По свойству биссектрисы треугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Тогда если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и по теореме Пифагора имеем:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следовательно, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

тогда Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть хорды Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекаются в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Проведем хорды Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по двум углам: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Пусть из точки Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55к окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и касательная Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— точка касания). Проведем хорды Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Треугольники Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55подобны по двум углам: у них общий угол Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55а углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55измеряются половиной дуги Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55т.е. Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55пересекаются в точке Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Докажите, что Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Элементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55(рис. 129). Поскольку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Но углы Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55внутренние накрест лежащие при прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и секущей Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Следовательно, по признаку параллельности прямых Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55определяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Отсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55проводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Построение:

1.Построим треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55в котором Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

2.Построим биссектрису угла Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

4.Проведем через точку Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55прямую, параллельную Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Пусть Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— точки ее пересечения со сторонами угла Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Треугольник Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55искомый.

Поскольку по построению Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55 Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55— биссектриса и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55по построению, Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и ни одного, если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:Лекция 2. Проецирование прямого угла.Скачать

Лекция 2. Проецирование прямого угла.

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Подобие треугольников

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55и Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55

Две параллельные прямые пересекают стороны прямого угла одна из них образует его стороной угол 55