- Треугольники общего вида.
- Свойства медиан:
- Свойства высот:
- Прямоугольный треугольник и его свойства:
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- Тригонометрические тождества:
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников:
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Угол между высотами треугольника
- Угол между высотами треугольника
- 🌟 Видео
Видео:Определение угла между высотами треугольникаСкачать
Треугольники общего вида.
Основные свойства треугольников:
- Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
- Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
- Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
- В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Тригонометрические тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество:
2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:
3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Видео:Угол между двумя высотами треугольникаСкачать
Угол между высотами треугольника
Как найти угол между высотами треугольника? Зависит ли величина угла от вида треугольника?
Один из углов, образованный высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине.
Другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты.
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.
Пусть AK и CF — его высоты.
Так как сумма углов четырёхугольника равна 360°, то в 4-угольнике BKPF
откуда ∠FPK+∠FBK=180° и ∠FPK=180°-∠FBK.
∠FPK+∠KPC=180° (как смежные).
∠FPK=180°-∠FBK=180° -(180° -(∠BAC+∠ACB))=∠BAC+∠ACB.
Прямоугольные треугольники BCF и PKC подобны по общему острому углу C. Следовательно, ∠KPC=∠FBC.
Если треугольник ABC — тупоугольный, рассуждения и вывод аналогичны.
Утверждение верно и для прямоугольного треугольника.
То есть для любого треугольника ABC один из углов между высотами, проведёнными из вершин A и C, равен углу B, другой — сумме углов A и C.
В частности, один угол между высотами равностороннего треугольника равен 60°, другой — 120°:
Видео:Нахождение угла между высотами треугольникаСкачать
Угол между высотами треугольника
Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике DOEC равна 360°, следовательно,
Приведём другое решение.
Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен 58° + 72° = 130°.
🌟 Видео
Угол между двумя биссектрисами треугольникаСкачать
Нахождение угла между высотами в треугольникеСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Угол между векторами. 9 класс.Скачать
6 найти тупой угол между высотами треугольникаСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
ЕГЭ 2022 планиметрия ЕГЭ 2020 Угол между высотами прямоугольных треугольниковСкачать
Урок 3. Как найти угол между прямой и плоскостью || Задание №13. Стереометрия на ЕГЭСкачать
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Геометрические теоремы: угол между биссектрисами и высотами.Скачать
Нахождение угла между биссектрисами треугольникаСкачать
Построение треугольника по углу и двум сторонам. 7 класс.Скачать
Геометрия Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого углаСкачать
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать