Cos корень 3 2 на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Cos корень 3 2 на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Решение тригонометрических уравнений

    Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
    Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.

    К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.

    С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
    Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

    Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    Тригонометрические уравнения

    Cos корень 3 2 на окружностиРешение простейших тригонометрических уравнений

    Градусы и радианы

    Знакомство с тригонометрической окружностью

    Повороты на тригонометрической окружности

    Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

    Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

    1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

    Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

    Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

    Cos корень 3 2 на окружности

    О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

    А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

    Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

    Cos корень 3 2 на окружности

    На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

    Cos корень 3 2 на окружности

    Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

    А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

    Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

    Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

    Cos корень 3 2 на окружности

    А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

    Cos корень 3 2 на окружности

    От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

    Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

    Cos корень 3 2 на окружности

    Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

    Cos корень 3 2 на окружности

    Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

    Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

    А теперь у тебя есть два пути:

    Cos корень 3 2 на окружности

    Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

    Cos корень 3 2 на окружности

    А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

    Cos корень 3 2 на окружности

    Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

    Cos корень 3 2 на окружности

    Сразу попробуем разобрать на примере:

    1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

    Cos корень 3 2 на окружности

    2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

    Дело за малым — найти эти углы.

    Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

    Cos корень 3 2 на окружности

    Или запомнить такой прием:

    Cos корень 3 2 на окружности

    Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

    Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

    cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

    Cos корень 3 2 на окружности

    При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

    Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

    И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

    Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

    Cos корень 3 2 на окружности

    То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

    Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

    Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

    Cos корень 3 2 на окружности

    И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

    Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

    Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

    Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

    Пример №2. 2sinx = √2

    Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

    1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

    Cos корень 3 2 на окружности

    2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

    Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

    И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

    Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

    Пример №3. tg(x + π/4) = √3

    Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

    tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

    1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

    Cos корень 3 2 на окружности

    2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

    По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

    3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

    Cos корень 3 2 на окружности

    4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

    Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

    Теперь корни на окружности будут здесь:

    Cos корень 3 2 на окружности

    Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

    Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

    Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

    Пример №4: −10ctg(x) = 10

    Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

    1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

    Cos корень 3 2 на окружности

    2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

    Cos корень 3 2 на окружности

    Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

    Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

    Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

    Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

    1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
    2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
    3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
    4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

    Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.

    🌟 Видео

    Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

    Как решать тригонометрические неравенства?

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

    Простейшее тригонометрическое уравнение cos x = Корень из 2 /2Скачать

    Простейшее тригонометрическое уравнение cos x =  Корень из 2 /2

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Тригонометрические уравнения с помощью окружности. cosx=aСкачать

    Тригонометрические уравнения с помощью окружности. cosx=a

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

    КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=A

    Решить неравенство cosСкачать

    Решить неравенство cos

    Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6Скачать

    Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

    Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ
    Поделиться или сохранить к себе: