Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Содержание
  1. 814 Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются.
  2. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  3. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  4. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Параллелограмм
  7. Параллелограмм и его свойства
  8. Признаки параллелограмма
  9. Прямоугольник
  10. Признак прямоугольника
  11. Ромб и квадрат
  12. Свойства ромба
  13. Трапеция
  14. Средняя линия треугольника
  15. Средняя линия трапеции
  16. Координаты середины отрезка
  17. Теорема Пифагора
  18. Справочный материал по четырёхугольнику
  19. Пример №1
  20. Признаки параллелограмма
  21. Пример №2 (признак параллелограмма).
  22. Прямоугольник
  23. Пример №3 (признак прямоугольника).
  24. Ромб. Квадрат
  25. Пример №4 (признак ромба)
  26. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Трапеция
  30. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  31. Центральные и вписанные углы
  32. Пример №8
  33. Вписанные и описанные четырёхугольники
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Четырехугольники
  37. теория по математике 📈 планиметрия
  38. Выпуклый четырехугольник
  39. Виды и свойства выпуклых четырехугольников
  40. Прямоугольник
  41. Квадрат
  42. Параллелограмм
  43. Трапеция
  44. Виды трапеций
  45. Средняя линия трапеции
  46. 📸 Видео

Видео:№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

814 Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются.

Решение. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Докажем, что его диагонали АС и BD пересекаются.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Так как четырехугольник ABCD выпуклый, то точка С лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка D, и по ту же сторону от прямой AD, что и точка В. Поэтому точка С лежит внутри угла BAD. Следовательно, луч АС проходит внутри этого угла и поэтому пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла, в частности, пересекает отрезок BD. Аналогично можно доказать, что луч BD

пересекает отрезок АС. Отсюда следует, что точка пересечения луча АС и отрезка BD лежит на отрезке АС, т. е. отрезки АС и BD пересекаются.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №814
к главе «Глава V. Четырехугольники. Задачи повышенной трудности».

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяуглы Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляются внешними.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсято параллелограмм Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляется ромбом.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство теоремы 1.

Дано: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяромб.

Докажите, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство (словестное): По определению ромба Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяравнобедренный. Медиана Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(так как Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТак как Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляется прямым углом, то Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Аналогичным образом можно доказать, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

План доказательства теоремы 2

Дано: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяравнобедренная трапеция. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсятогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпроведем параллельную прямую к прямой Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсячерез точку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— середину стороны Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпроведите прямую параллельную Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяКакая фигура получилась? Является ли Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсятрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяМожно ли утверждать, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Пусть дан треугольник Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи его средняя линия Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПроведём через точку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпрямую параллельную стороне Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсят.е. совпадает со средней линией Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТ.е. средняя линия Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпараллельна стороне Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТеперь проведём среднюю линию Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТ.к. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсято четырёхугольник Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПо теореме Фалеса Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство: Через точку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи точку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсясередину Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсячерез Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсярадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи точка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякоторая является серединой отрезка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсято Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяа отсюда следует, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

2) По теореме Фалеса, если точка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляется серединой отрезка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсято на оси абсцисс точка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

3) Координаты середины отрезка Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяс концами Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяточки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсянаходятся так:

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсято, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— прямоугольный.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсятакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Решение:

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(АВ CD, ВС-секущая), Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(ВС || AD, CD — секущая), Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. По свойству углов четырёхугольника, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Следовательно, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо двум сторонами и углу между ними.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПри помощи циркуля сравните длины отрезков Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Проведём через точки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпрямые Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпараллельные ВС. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпо условию, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак противоположные стороны параллелограммов Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяПроведём прямую Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Через точки Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяпроведём прямые, параллельные прямой Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак вертикальные, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсявнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяравнобедренный. Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсясоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. По свойству внешнего угла треугольника, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяДокажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Из доказанного в первом случае следует, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяизмеряется половиной дуги AD, a Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— половиной дуги DC. Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсякак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Тогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Докажем, что Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются. По свойству равнобокой трапеции, Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Тогда Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсявписанного в окружность. Действительно,

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Следовательно, четырёхугольник Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Видео:ОГЭ без рекламы математика 11 и 12 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 11 и 12 вариант задача 25

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаютсяСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Докажите что в выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются а в не выпуклом не пересекаются

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

📸 Видео

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD

ОГЭ 2021 Задание 24Скачать

ОГЭ 2021 Задание 24

№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположныеСкачать

№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащихСкачать

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равнаСкачать

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равна

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=OD

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

№101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаютсяСкачать

№101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются
Поделиться или сохранить к себе: