Докажите что противоположные стороны четырехугольника попарно равны

Теорема (3-й признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник,

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Проведем диагональ AC.

2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)

1) AB=CD (по условию)

2) BC=AD (по условию)

3) сторона AC- общая

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠CAB=∠ACD и ∠ACB=∠CAD.

4. ∠CAB и∠ACD — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.

Так как ∠CAB=∠ACD, то прямые параллельны: AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

Аналогично, из равенства углов ∠ACB=∠CAD следует параллельность другой пары прямых: AD ∥ BC.

5. Доказали, что в четырехугольнике ABCD

Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).

Что и требовалось доказать.

Можно не доказывать параллельность прямых AD и BC.

1) AB=CD (по условию),

2) AB ∥ CD (по доказанному),

следует, что ABCD — параллелограмм (по 2-му признаку).

Видео:Противоположные стороны параллелограмма равны 8 клСкачать

6 Comments

Спасибо, какой уже раз ваш сайт выручает.

Спасибо) Очень хороший сайт все по полочкам разложили)

В «Дано» опечатка: не AC=CD, а AB=BC

И я сам ошибся 🙂 AB=CD

Noob, спасибо! К сожалению, опечатки случаются.

Видео:Противолежащие стороны параллелограмма равныСкачать

Признаки параллелограмма

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, 1 =3 (т.к. по условию АDВС, 1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DС секущей АС, АВDС.

3. Итак, АDВС и АВDС, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = DС, АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, по условию АВ = DС, АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников), 1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и DВ диагонали, АС ∩ DВ = О, АО = ОС, DО = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.

2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположныеСкачать

Докажите, что если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то точка пересечения его диагоналей является центром симметрии четырёхугольника.

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Ваш ответ

Видео:В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теоремаСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,680
• разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

💡 Видео

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

Признак параллелограмма (второй), 8 классСкачать

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать