Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Решение смотри в файле.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Содержание
  1. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник?
  2. Дан выпуклый четырехугольник abcd такой, что ad = ab + cd?
  3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD?
  4. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другу , то хотя бы один из них тупой?
  5. В выпуклом четырехугольнике АВСD углы ВСА и ВDA равны, докажите что углы АВD и АСD также равны?
  6. Противоположные углы четырехугольника равны 120 и 60 ?
  7. Докажите , что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырехугольника равны?
  8. ЧЕРТЕЖ?
  9. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником?
  10. На каждой из сторон выпуклого четырехугольника отмечены две точки?
  11. Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  12. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  13. Теорема Птолемея
  14. Как доказать что четырехугольник вписан в окружность
  15. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  16. Теорема Птолемея
  17. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  18. Следствие 1
  19. Следствие 2
  20. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  21. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  22. Комментарии
  23. Вписанный четырехугольник. Средний уровень
  24. Следствие 1
  25. Следствие 2
  26. Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы
  27. P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
  28. Комментарии

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник?

Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Дан выпуклый четырехугольник abcd такой, что ad = ab + cd?

Дан выпуклый четырехугольник abcd такой, что ad = ab + cd.

Биссектриса угла a проходит через середину стороны bc.

Докажите, что биссектриса угла d также проходит через середину bc.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Дан выпуклый четырехугольник ABCD?

Дан выпуклый четырехугольник ABCD.

Известно, что BD — биссектриса в треугольнике ABC и угол BAC = углу BDC.

Докажите, что CD = AD.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другу , то хотя бы один из них тупой.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8Скачать

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8

В выпуклом четырехугольнике АВСD углы ВСА и ВDA равны, докажите что углы АВD и АСD также равны?

В выпуклом четырехугольнике АВСD углы ВСА и ВDA равны, докажите что углы АВD и АСD также равны.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Геометрия В четырехугольнике ABCD известно, что угол A = углу C = 90. Докажите, что биссектрисы двухСкачать

Геометрия В четырехугольнике ABCD известно, что угол A = углу C = 90. Докажите, что биссектрисы двух

Противоположные углы четырехугольника равны 120 и 60 ?

Противоположные углы четырехугольника равны 120 и 60 .

Докажите что около этого четырехугольника можно вписать окружность.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 6 "Вписанные четырехугольники"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 6 "Вписанные четырехугольники"

Докажите , что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырехугольника равны?

Докажите , что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырехугольника равны.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

ЧЕРТЕЖ?

Докажите, что если у двух выпуклых четырехугольников соответственно равны все стороны и по одному углу между соответствующими сторонами, то такие четырехугольники равны.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником?

Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

На каждой из сторон выпуклого четырехугольника отмечены две точки?

На каждой из сторон выпуклого четырехугольника отмечены две точки.

Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке.

Известно, что в каждый из закрашенных четырехугольников можно вписать окружность.

Докажите, что и в исходный четырехугольник можно вписать окружность.

Вы зашли на страницу вопроса Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Дано : SАВС — правильная пирамида, ΔАВС — правильный, АВ = ВС = АС = 6 см ; SО — высота пирамиды равна 12 см. Построим ВК⊥АС, ВК — высота, медиана и биссектрисаΔАВС. ОК : ОВ = 1 : 2. ΔВСК. СК = 0, 5·АС = 3 см. ВК² = ВС² — СК² = 36 — 9 = 27, ВК =..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

2АК = КС, значит АК : КС = 1 : 2 и АК : АС = 1 : 3. Следствием теоремы о площади треугольника по его стороне и высоте, к ней проведённой, является то, что отношение площадей треугольников с одинаковыми высотами равно отношению их сторон, к которым в..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Поскольку в трапеции основы паралельные, то имеем равнобедренный треугольник с основой диагональю. Получаем что боки равнобокой трапеции равны по 12. Отсуда периметр 12 + 12 + 12 + 18 = 36 + 18 = 54.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Билет №1 1. А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм б) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм в) Если в четырехугольнике ди..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Билет 2 b) 1) треугольники подобны по трём углам (см. Доказательство по равенству) 2) Найдём коэффициент подобия AB : CD = 8 / 15. Тогда AO : OD = BO : OC = 8 / 15 АО : 9 = 8 / 15 АО = 72 / 15 = 4, 8 ВО : 12 = 8 / 15 ВО = 96 / 15 = 6 6 / 15.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, где АС = 7 см, ВС = 25 см, угол А = 90 градусов. АН — высота, проведенная к гипотенузе. Найдем АВ по теореме Пифагора : АВ = √(ВС ^ 2 — AC ^ 2) = 24 cм. Найдем АН через площадь треугольника. S = 1 2 * АВ..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружностью пересекаются в двух точках. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют одну точку . Если расстояние от центра ок..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

A)5 / 9 б)12 / 21 в)7 / 16 д)21 / 5.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Компланарные векторы лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Если точки A, B и С различны, то векторы можно представить как боковые рёбра треугольной пирамиды OABC. Такие векторы не компланарны. Если из трёх точек A, B и С д..

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

1. Треугольники АОК и COL равны т. К. углы AOK и COL равны как вертикальные, AO = OC по свойству параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам), а углы AСD и ACB равны как накрест лежащие при секущей АС. Т. е. Равны по стороне и пр..

Видео:Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникВписанные четырехугольники и их свойства
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникТеорема Птолемея

Видео:№535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,Скачать

№535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность, описанная около параллелограмма
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
Окружность, описанная около параллелограмма
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажем, что справедливо равенство:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

откуда вытекает равенство:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникВписанные четырехугольники и их свойства
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникТеорема Птолемея

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность, описанная около параллелограмма
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник
Окружность, описанная около параллелограмма
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникДокажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АтанасянСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Атанасян

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Докажем, что справедливо равенство:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

откуда вытекает равенство:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Видео:Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Описанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Видео:Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Видео:Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 28-33 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8Скачать

Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 28-33 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольникЧетырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Получаем, что если – вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .

Получается, что должно бы быть так, что .

Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .

И то же самое, естественно, касательно углов и .

Вот и получился прямоугольник – все углы по .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

Трапеция , вписанная в окружность – равнобокая .

Докажите что биссектрисы выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

спасибо очень интересно почему авторы учебников не пишут это

Спасибо, Ольга. Автори интересных учебников пишут. Просто их не так много)

Хотелось бы поблагодарить составителей статьи: подача материала очень интересна и необычна, и сам он легко усваивается!

Поделиться или сохранить к себе: