Для выпуклого четырехугольника abcd и произвольной точки m выполняется равенство mc cb db amd a

Видео:№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

Ваш ответ

Видео:Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольникСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,754
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

Цикличный четырехугольник, работа учащейся 9 класса Ригонен Анастасии, представленная на сессию МАН, занявшая первое место

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Министерство образования и науки, молодежи и спорта

Автономной Республики Крым

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШКОЛЬНИКОВ КРЫМА «ИСКАТЕЛЬ»

Условия цикличности четырех точек

Работу выполнила: Ригонен Анастасия

(Симферопольский район, МБОУ

«Гвардейская школа-гимназия №2», 9 кл.)

Научный руководитель: Исаева Н. Н.,

учитель высшей категории

МБОУ «Гвардейской школы-гимназии №2»

Симферопольский район — 2016 г.

Ригонен Анастасия Дмитриевна

Ученица 9-Б класса МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2»

Исаева Нина Николаевна, руководитель,

Учитель математики МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2»

Тема:Условия цикличности четырех точек

Цель: Выяснение практических областей применения четырех точек на окружности

Задачи: изучение информации о цикличных четырехугольниках в интернете, школьных пособиях и учебниках. Систематизация полученной информации и формулировка выводов по теме исследования.

Актуальность данного исследования связана с необходимостью обобщению теоретического материала по изучаемой теме, его практической ценностью для решения большого количества задач как базовой программы, так и повышенной сложности.

Предмет исследования : Четыре точки, лежащие на одной окружности

Мой личный вклад в работу заключается в исследовании школьной литературы и разных источников с целью обобщения и систематизации свойств цикличности, методов применения к решению задач.

Практическое значение работы : материал данной исследовательской работы можно в дальнейшем будет использовать на уроках геометрии, при подготовке к ГИА и олимпиадам.

Выводы: изучение представленного материала позволяет более детально изучить проблему, рассмотреть аналогию ее и определить место в логическом изложении школьной программы.

Окружность и четырехугольники

2.1 Вписанные четырехугольники………………………………………………9

2.2 Первое условие цикличности………………………………………………..9

2.2 Второе условие цикличности……………………………………………….10

2.3 Третье условие цикличности………………………………………………..11

2.4 Четвертое условие цикличности……………………………………………11

2.5 Пятое условие цикличности………………………………………………. 12

Применение условий на практике

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………..19

Темой представленной исследовательской работы является цикличный четырехугольник.

Целью данной работы было выяснение практического применения цикличного четырехугольника в решении задач.

Объектом исследования являются свойства четырех точек, лежащих на одной окружности.

В качестве методов исследования в работе были использованы:

Систематизация теоретического материала.

Анализ и синтез изучаемого материала.

Аналитический метод исследования.

Достижение поставленной цели осуществлялось через решение некоторых задач, таких как:

Сбор теоретического материала по теме и его систематизация

Изучение возможности практического применения теоретической база

Применение условий цикличного четырехугольника в задачах по геометрии

Оформление проработанной информации в виде проекта.

Актуальность изучаемой темы обусловлена возможностью применения условия цикличности для решения задач, так как установление факта описания окружности около четырехугольника часто является ключом к решению задачи.

Окружность и круг

Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали изучать окружность и круг на плоскости очень давно.

Самая простая и одна из древнейших геометрических фигур — окружность. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии — окружности.

Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям.

Круглые тела тоже в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде колес, которые катились уже легче.

В Древней Греции, где все разрозненные знания привели в систему, “окружность” и “круг” получили свои названия. Там же многие свойства фигур, в том числе круга и окружности были сформулированы в виде теорем и доказаны.

Современные определения круга и окружности следующие.

Окружность- это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Круг — это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.

Математиками были рассчитаны формулы, позволяющие определить ряд показателей круга и окружности.

Со школьных времен всем знакомы эти две формулы:

Формула площади круга

И формула длины окружности

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Теорем, доказывающих данное положение несколько. Одно из доказательств представлено ниже.

Соединим отрезками точки A F , A и G , A H

AC = AD (как радиусы), следовательно, треугольник CAD — равнобедренный с основанием CD .

По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Следовательно, центр описанной окружности — точка A — лежит на прямой, перпендикулярной стороне CD и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к CD .

Аналогично доказывается, что точка A лежит на серединном перпендикуляре к стороне CE .

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка A — центр описанной около треугольника CED окружности. Что и требовалось доказать.

По теореме, центр окружности будет находится на пересечении серединных перпендикуляров (ортоцентр). Эта точка может находиться как и в треугольнике, так и за его пределами.

Центр описанной окружности около остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. У тупоугольного треугольника ортоцентр лежит вне его. У прямоугольного треугольника же центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Замечу, что у правильного треугольника центр описанной и вписанной окружности совпадает.

Практическая значимость представленных свойств описанной окружности велика, так как можно вывести ряд формул, позволяющих рассчитать величины сторон треугольника по величинам элементов описанной вокруг него окружности.

Например, представим вычисление радиусов описанных окружностей для различных видов треугольников:

Произвольных треугольников (Применяя формулу Герона)

Произвольных треугольников (Применяя теорему синусов)

Равнобедренных треугольников (Применяя формулу Герона)

Прямоугольных треугольников (применяя теорему Пифагора)

В целом, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных. Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную и описанную окружность.

Окружность и четырехугольники

Итак, окружность можно описать вокруг любого треугольника, но не любого четырехугольника. Для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно выполнение условий.

Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника. В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Четырехугольник же иногда называют cyclic quadrilateral, что в переводе означает «циклический четырехугольник».

Если в сложной геометрической задаче удается установить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности, то это зачастую оказывается существенным продвижением к решению. Поэтому нужно свободно владеть свойствами и признаками расположения четырех точек на окружности.

Первое условие цикличности

Если суммы противоположных сторон равны, то четыре точки лежат на одной окружности.

Из этого следует, что окружность около ромба можно описать только тогда, когда он является квадратом, а описание окружности около стандартного, так сказать, ромба, который мы привыкли видеть, и вовсе невозможно (2 условие цикличности).

Второе условие цикличности

Если сумма противоположных углов равна 180 градусов, то четыре точки лежат на одной окружности.

Это и есть самое главное условие. Его можно легко доказать.

Докажем теорему методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга.

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A. Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Из этого следует, что окружность можно описать около трапеции только если она равнобедренная.

У дельтоида же можно описать окружность только тогда, когда он состоит из двух одинаковых равнобедренных треугольников.

Параллелограмм имеет описанную окружность тогда, когда он прямоугольник.

Третье условие цикличности

Описать окружность можно около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра.

Это условие следует из того, что центром описанной около четырехугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

Четвертое условие цикличности

Если произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, то четыре точки цикличны.

Данная теорема установлена Клавдием Птолемеем во втором веке нашей эры. Доказать, в свою очередь, ее очень легко. Я выбрала несколько доказательств, которые понравились мне. Первое доказательство будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге «Альмагест». Используется подобие треугольников.

1. Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC . Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC , они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD / BD = MA / BA , или, перемножая крест на крест, MA ∙ BD = AB ∙ CD .

В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, или, перемножая крест на крест, MC ∙ BD = AD ∙ BC.

Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и

MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.

2. Пусть ABC’ — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углуABD. Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Пятое условие цикличности

Называют ее второй теоремой Птолемея. Выглядит она так:

Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Применение условий на практике

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD . Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC .

Из равенства вписанных углов следует, что ∠ OBC = ∠ DBC = ∠ DAC = ∠ MAO = ∠ MBO , то есть BO – биссектриса угла MBC . Аналогично, CO – биссектриса угла BCM . Следовательно, O – центр вписанной окружности треугольника BMC .

∠ AMO = ∠ DCO = ∠ DCA = ∠ DBA = ∠ OBA = ∠ DMO . Отсюда следует, что все эти углы – прямые. Значит, DB и AC – высоты треугольника, образованного прямыми AB, DC и AD , ортоцентр O которого является центром вписанной окружности ортотреугольника BMC .

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N . Описанные окружности треугольников ANB и CND , повторно пересекают стороны BC и AD в точках A ₁ , B ₁ , C ₁ , D ₁ . Докажите, что четырёхугольник A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ вписан в окружность с центром N .

Рассматривая вписанный пятиугольник A ₁ NB ₁ CD , получаем, что A ₁ N = B ₁ N , так как равны опирающиеся на эти дуги углы BDA и BCA . Аналогично, NC ₁ = ND ₁ . Кроме того, ∠ NA ₁ A = ∠ ACD = ∠ ABD = ∠ DD ₁ N (см. рис.). Следовательно, ND ₁ = NA ₁ .

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Касательные к окружности в точках A и C и прямая, симметричная BD относительно точки O , пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от O до противоположных сторон четырехугольника равны.

Пусть B ‘ и D ‘ — точки, симметричные B и D относительно центра окружности. По условию, прямая B ‘ D ‘ проходит через точку P пересечения данных касательных. Из подобия треугольников PD ‘ C и PCB ‘ следует, что , а из подобия треугольников PD ‘ A и PAB ‘ следует, что . Поскольку PA = PC , то CD ‘· AB ‘ = AD ‘· CB ‘.

Перпендикуляры, проведенные из точки O к прямым AB , BC , CD и DA , являются средними линиями треугольников ABB ‘, CBB ‘, CDD ‘ и ADD ‘ соответственно. Длины этих перпендикуляров равны соответственно ½ AB ‘, ½ CB ‘, ½ CD ‘ и ½ AD ‘, поэтому для них выполняется требуемое равенство.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD . Лучи AB и DC пересекаются в точке K . Оказалось, что точки B , D , а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC ?

MN – средняя линия в треугольнике AKC , поэтому ∠ BAC = ∠ NMC . Кроме того, ∠ BAC = ∠ BDC , так как четырёхугольник ABCD – вписанный.
Пусть точки M и N лежат с одной стороны от прямой BD . Тогда M лежит внутри треугольника BCD и, тем более, внутри треугольника BND , а значит, и внутри его описанной окружности. Но тогда точки B, N, D и M не могут лежать на одной окружности. Значит, N и M лежат по разные стороны от BD , и ∠ BDC = ∠ BMN .
Из параллельности MN и AK вытекает, что ∠ BMN = ∠ ABM , откуда ∠ BAC = ∠ BDC = ∠ ABM . Отсюда получаем AM = MB , то есть в треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC . Следовательно, ∠ ABC = 90°, а значит, и ∠ ADC = 90°.

Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC . Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.

Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠ RQD = ∠ DAR . Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠ BCD = 180° – ∠ DAR . Следовательно, ∠ RQD + ∠ BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.

Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC , поэтому
PQ = AC ·sin ∠ BCD . Aналогично, RT = BD ·sin ∠ ABC . Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что
Значит, PQ = RT , то есть трапеция – равнобокая.

В XVII веке в Японии возникла сильная математическая школа, связанная с многовековыми традициями китайской математики и не имевшая контактов с современной математикой Запада.

Метод открытия геометрических теорем, практиковавшийся японскими геометрами, основывался на интенсивной и продолжительной концентрации на рассматриваемом чертеже. Когда одного геометра спросили, как он получил свои замечательные теоремы об эллипсах, он ответил, что не размышлял ни над чем, кроме эллипсов, в течение последних десяти лет! Интересно, что когда японские геометры получили в свои руки китайский перевод «Начал» Евклида, они были очень сильно удивлены. «Зачем, — сказали они, — доказывать такие очевидные факты, когда есть ещё столько красивых и сложных геометрических теорем?»

Рассмотрим одну из таких типичных теорем.

В геометрии японская теорема утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника , являются вершинами прямоугольника .

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть □ ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ — центры вписанных в треугольники △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ , является прямоугольником.

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках . Для доказательства случая четырёхугольника просто строим параллелограмм, проходящий через вершины четырёхугольника (центры окружностей), со сторонами, параллельными диагоналям вписанного четырёхугольника. Из построения следует, что получится ромб, что следует из утверждения, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся диагоналей, равны (а это следует из равенства сумм площадей пар треугольников).

По результатам проделанной работе можно сделать ряд выводов:

-Окружность, как и треугольник, является одной из основных фигур геометрии, которые помогают в решении многих практических задач.

-Свойства окружности были открыты и описаны еще в древности.

-Не каждый четырехугольник можно вписать в окружность.

— Если в сложной геометрической задаче удается установить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности, то это зачастую оказывается существенным продвижением к решению.

— Изученные свойства описанных окружностей и свойства цикличности позволяют решать сложные геометрические задачи, то есть имеют широкий спектр методов практического использования.

Список использованной литературы:

Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П.Савин- М.: Педагогика, 1989.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Для выпуклого четырехугольника abcd и произвольной точки m выполняется равенство mc cb db amd a

Первый тур ( 10 минут; каждая задача – 6 баллов ).

1.1. На координатной плоскости изображен график функции y = ax 2 + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?

Ответ : в точках (0,5; 0) и (0; –1).

Так как данный график пересекает ось y в точке (0; 2), то с = 2. Кроме того, он проходит через точку (1; 1), значит 1 = 2 + а , то есть а = –1.

Таким образом, новая функция задается уравнением y = 2 x – 1. Ее график пересекает ось x в точке (0,5; 0), а ось y – в точке (0; –1).

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD .

Ответ : угол ВАС больше, чем угол CAD .

Первый способ . Так как AD || BC , то Ð CAD = Ð BCA (см. рис. 1а). Пусть BH – высота трапеции. Тогда AH = = 3; BH = 4, следовательно, из прямоугольного треугольника АВН : AB = 5.

Таким образом, в треугольнике АBC BC > AB , значит, Ð BAC > Ð BCA (против большей стороны треугольника лежит больший угол). Следовательно, Ð BAC > Ð CAD .

Второй способ . Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (см. рис. 1б). Так как BC || AD и , то BC – средняя линия треугольника АЕD . Вычислив боковую сторону трапеции (аналогично первому способу решения), получим, что АЕ = 2 АВ = 10.

Проведем биссектрису AL треугольника АЕD . По свойству биссектрисы , значит, точка L лежит между точками С и Е . Следовательно, Ð BAC > Ð CAD .

1.3. На доске записаны числа 1, 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 . Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

Ответ : да, может.

Искомая последовательность операций видна из следующей записи:

15 = 32 – 16 – (8 – 4 – 2 – 1).

Отметим, что в результате указанных операций можно получить любое нечетное число от 1 до 31. Это можно доказать, например, методом математической индукции.

Второй тур ( 15 минут; каждая задача – 7 баллов ).

2.1. Известно, что 5( а – 1) = b + a 2 . Сравните числа а и b .

Перепишем условие задачи в виде: b = – a 2 + 5 a – 5. Выясним знак разности а – b . Получим: а – b = a + a 2 – 5 a + 5 = ( a – 2) 2 + 1 > 0. Следовательно, а > b .

Если в системе координат (а; b) построить графики функций b = –a 2 + 5a – 5 и b = a, то первый график располагается ниже, чем второй. Исходя из расположения графиков, можно получить ответ, но строгим доказательством это не является.

2.2. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 45 ° , АМ и CN – его высоты, О – центр описанной окружности, Н – ортоцентр (точка пересечения высот). Докажите, что ОNHМ – параллелограмм.

Первый способ . Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС данного треугольника, которые пересекаются в точке О (см. рис. 2а). Так как в прямоугольном треугольнике BNC Ð NBC = 45°, то BN = NC , следовательно, точка N лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC . Тогда NO || HM . Аналогично, рассмотрев прямоугольный равнобедренный треугольник АМВ , получим, что MO || HN .

Таким образом, ONHM – параллелограмм (по определению).

Второй способ . Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС (см. рис. 2б). Так как этот треугольник – остроугольный, то ее центр O лежит внутри треугольника, причем треугольник АОС – равнобедренный и Ð AOC = 2 Ð ABC = 90°. Кроме того, Ð ANC = Ð AMC = 90°, поэтому точки N , O и M лежат на окружности с диаметром AC .

Тогда Ð ONC = Ð OAC = 45°; Ð ONВ = Ð ВNC – Ð ONC = 45° и Ð МАВ = 90° – Ð АВМ = 45°. Из равенства углов ONВ и МАВ следует параллельность прямых NO и AM . Аналогично доказывается, что MO || CN .

Следовательно, ONHM – параллелограмм

2.3. Найдите наименьшее натуральное n , при котором число А = n 3 + 12 n 2 + 15 n + 180 делится на 23.

Разложим данный многочлен на множители способом группировки: n 3 + 12 n 2 + 15 n + 180 = n 2 ( n + 12) + 15( n + 12) = ( n + 12)( n 2 + 15). Число А делится на простое число 23, если в любом его разложении на натуральные множители присутствует число, делящееся на 23. Наименьшее значение n , при котором первый множитель делится на 23, равно 11, а для второго множителя такое n равно 10.

Возможен также непосредственный перебор всех натуральных значений n от 1 до 10, но он сопряжен с некоторыми вычислительными трудностями. Перебор можно упростить, заменив число 180 на меньшее число, имеющее такой же остаток при делении на 23, например, на –4.

Третий тур ( 20 минут; каждая задача – 8 баллов ).

3.1. Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что любые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Ответ : нет, не могло.

Пусть друзья внесли а , b , c , d и е рублей соответственно. Тогда общая сумма внесенных денег равна а + b + c + d + е = .

Предположим, что любые два друга внесли меньше, чем рублей, тогда выполняются неравенства: а + b , а + c , . d + е (всего таких неравенств – десять). Складывая их почленно, получим, что 4( а + b + c + d + е ) , то есть 0,4 Û 1,2 – противоречие, так как > 0. Следовательно, указанная ситуация невозможна.

3.2. Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

Ответ : да, существует.

Пусть в треугольнике ABC : Ð С = 90°, CP и BK – медианы, M – их точка пересечения (см. рис. 3).

Первый способ . Обозначим: BС = a , AC = b , AB = c . Тогда CP = с ; CM = СР = с ; BK 2 = а 2 + b 2 ; BM 2 = BK 2 = a 2 + b 2 .

Отрезки CM и BM перпендикулярны тогда и только тогда, когда CM 2 + BM 2 = BC 2 , то есть с 2 + a 2 + b 2 = а 2 . Учитывая, что с 2 = a 2 + b 2 , получим: a 2 = b 2 , то есть b = a .

Таким образом, в прямоугольном треугольнике с катетами CB = a и CA = a . медианы CP и BK перпендикулярны.

Отметим, что медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, не могут быть перпендикулярны. Действительно, если AQ – еще одна медиана, то в четырехугольнике CKMQ углы MKC и MQC – острые, а угол KCQ – прямой, значит, Ð KMQ > 90 ° .

Второй способ . Пусть , , тогда ; . Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Значит, = = , так как ( а и b – модули соответствующих векторов). Следовательно, = 0 Û = 0 Û b = a .

Заметим, что можно было сразу привести пример требуемого прямоугольного треугольника, указав отношение его катетов или другую тригонометрическую функцию любого из его острых углов, и доказать, что для такого треугольника выполняется перпендикулярность двух медиан . Для этого, в частности, можно было использовать известный факт, что медианы CP и BK перпендикулярны тогда и только тогда, когда с 2 + b 2 = 5a 2 .

Возможны также аккуратные рассуждения, использующие понятие непрерывности.

3.3. Какое наибольшее суммарное количество белых и черных шашек можно расставить в клетках доски 8 ´ 8 так, чтобы выполнялось следующее условие: в каждой горизонтали и в каждой вертикали белых шашек должно быть в два раза больше, чем черных?

Ответ : 48 шашек (32 белых и 16 черных).

Заметим, что в любой горизонтали не может быть более двух черных шашек (иначе белых будет не менее шести, а в сумме – не менее девяти), значит, белых шашек – не более четырех. Следовательно, всего черных шашек – не более 16, а белых – не более 32.

Один из возможных примеров расстановки 48 шашек, удовлетворяющих условию, – см. рисунок.

Четвертый тур ( 25 минут; каждая задача – 9 баллов ).

4.1. Для различных положительных чисел а и b выполняется равенство = . Докажите, что а и b – взаимно обратные числа.

Разобьем правую часть исходного равенства на два одинаковых слагаемых и преобразуем его: = Û = 0 Û + = 0 Û – = 0 Û = 0.

Первая скобка равна нулю, тогда и только тогда, когда а = b , что противоречит условию. Тогда, учитывая, что а > 0 и b > 0, получим: = 0 Û = 0 Û = 0. Последнее равенство верно тогда и только тогда, когда а = b или ab = 1, что и требовалось доказать.

4.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD : Ð ВАС = 20 ° , Ð ВСА = 35 ° , Ð ВDС = 40 ° , Ð ВDА = 70 ° . Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC . Это можно сделать различными способами.

Первый способ . Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (см. рис. 4а). Так как Ð ВKС = Ð ВАС = 20°, то Ð KCD = Ð ВDС – Ð DKС = 20° (угол ВDС – внешний для треугольника KDC ), следовательно, DC = DK .

Аналогично, так как Ð ВKА = Ð ВСА = 35°, а Ð ВDА = 70 ° , то Ð KАD = 35°, то есть DK = DA . Таким образом, D – центр окружности, описанной около треугольника ACK , которая совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABC .

Второй способ . На луче AD отметим точку М так, что отрезок DM = DB (см. рис. 4б). Тогда Ð DВM = Ð BMD = Ð ВDА = 35° = Ð ВСА , следовательно, точки A , B , C и M лежат на одной окружности.

Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что DP = DB , получим, что точки A , B , C и P лежат на одной окружности. Так как указанные окружности имеют три общие точки, то эти окружности совпадают, кроме того, точка D равноудалена от точек В , М и Р , поэтому она является центром полученной окружности.

Третий способ . Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС , что и точка D (см. рис. 4 а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом a = 2 Ð ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом b = 2 Ð ВСА = 70°.

В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC .

Теперь ответим на вопрос задачи. Пусть T – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (см. рис. 4 а, б). Из равнобедренного треугольника ADB : Ð DВA = = 55°; угол BTC – внешний для треугольника BTА , значит, Ð ВTC = Ð TАВ + Ð АВТ = 75°.

4.3. Найдите все простые числа p , q и r , для которых выполняется равенство:

Ответ : p = 5, q = 3, r = 3.

Из условия задачи вытекает, что p + q делится на p – q , следовательно, ( p + q ) – ( p – q ) = 2 q также делится на p – q . Если число q – простое, то делителями числа 2 q могут являться только числа 1, 2, q и 2 q .

Если p – q = 1, то левая часть исходного равенства больше правой. Если p – q = q , то p = 2 q , то есть число р – не простое. Аналогично, если p – q = 2 q , то p = 3 q , то есть и в этом случае, р – не простое число. Значит р – q = 2. Тогда исходное равенство примет вид: ( q + 2) + q = 2 r Û q + 1 = 2 r – 1 Û q = 2 r – 1 – 1. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ . Если r = 2, то q = 1 – не простое число. Если r – нечетное число, то ( r – 1) – четное, тогда 2 r – 1 – 1 делится на 3. Действительно, если k Î N , то 2 2 k – 1 = 4 k – 1 = (4 – 1)(4 k – 1 + 4 k – 2 + . +1). Таким образом, q = 3. Тогда р = 5 и r = 3.

Доказывать, что 2 2k – 1 делится на 3 можно и другими способами, например, методом математической индукции.

Второй способ . Так как q = 2 r – 1 – 1 = = , то q может оказаться простым числом только в случае, когда . Значит, Û r = 3. Тогда q = 3 и р = 5.

Пятый тур ( 15 минут; каждая задача – 7 баллов ).

5.1. Найдите наибольшее натуральное n такое, что n 200 300 .

Перепишем данное неравенство в виде: . Тогда, учитывая, что n – натуральное число, достаточно найти наибольшее натуральное решение неравенства n 2 2 2 , то искомое значение равно 11.

5.2. В трапеции ABCD биссектриса тупого угла B пересекает основание AD в точке K – его середине, M – середина BC , AB = BC . Найдите отношение KM : BD .

Ответ : KM : BD = 1 : 2.

Так как Ð ABK = Ð CBK = Ð BKA , то треугольник ABK – равнобедренный: AK = AB = BC . Тогда ABCK – параллелограмм ( BC = AK , BC || AK ), и так как AB = BC , то ABCK – ромб. Так как KD = AK = BC и KD || BC , то BCDK – также параллелограмм.

Пусть O – точка пересечения его диагоналей BD и CK , тогда BO = BD . Так как треугольник BCK – равнобедренный ( BC = CK ), то равны его медианы BO и KM , следовательно, KM = BD .

5.3. Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Ответ : нет, не существует.

Предположим, что существует натуральное число n с суммой цифр s , которое удовлетворяет условию задачи. Тогда n = 2011 s + 2011, откуда n – s = 2010 s + 2011.

Из обоснования признака делимости на 3 следует, что натуральное число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3, поэтому n – s делится на 3. Но число 2010 s + 2011 на 3 не делится, так как 2010 s кратно 3, а 2011 не кратно 3. Следовательно, равенство n – s = 2010 s + 2011 выполняться не может, то есть числа n , удовлетворяющего условию задачи, не существует.

🔥 Видео

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

№368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.Скачать

Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Геометрия Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаютсяСкачать

Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Четырехугольник ABCD. Свойства. Диагональ. Геометрия 8 класс. Глава 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

стороны четырёхугольника abcd стягивают дуги 63 62 90 145Скачать

Геометрия Выпуклый четырехугольник ABCD таков, что угол BAC = углу BDA и угол BAD = углу ADC = 60Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD вписанного в окружность перпендикулярны, угол ACB = 10Скачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

78 Углы и диагонали четырёхугольника (146)Скачать

Геометрия Найдите диагональ AC четырехугольника ABCD если около него можно описать окружность и ABСкачать