Длина вектора суммы или разности (3 видео)

Операции с векторами

Как сложить и перемножить векторы (и зачем).

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.

Напомним основные мысли:

Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.
В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.
Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.
Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.

Содержание

Правильно — векторы
Сложение
Интуитивное изображение сложения
Вычитание
Длина вектора
Умножение и деление вектора на число
Да вроде несложно!
Что дальше
Векторы. Операции с векторами.
Векторы. Операции с векторами.
Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
Определения скалярного произведения векторов через угол между ними
Сложение векторов — решение примеров
Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
🎦 Видео

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.

X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами:

X = (6, 4, 11, 14, 99)
Y = (3, -2, 10, -10, 1)
X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Сложение векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2)

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:

У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2).
Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y).
Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
Считаем: X + (−Y) = (3, 6).

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:

X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5 Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Умножение и деление вектора на число

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.

Умножение вектора на число

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Деление вектора на число

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:

векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;
если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;
а перемножение матриц — это и есть машинное обучение.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.

Видео:Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Векторы. Операции с векторами.

Видео:Сумма и разность векторов. Длина вектора (профильный ЕГЭ)Скачать

Векторы. Операции с векторами.

Математические или физические величины могут быть представлены как скалярными величинами (численным значением), так и векторными величинами (величиной и направлением в пространстве).

Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Таким образом, в векторе присутствует две составляющих – это его длина и направление.

Рис.1. Изображение вектора на чертеже.

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат в которой определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, а для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля.

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

1.Длина вектора (модуль вектора)

Длина вектора определяет его скалярное значение и зависит от его координат, но не зависит от его направления. Длина вектора (или модуль вектора) вычисляется через арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат (компонент) вектора (используется правило вычисления гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где сам вектор становится гипотенузой).

Через координаты модуль вектора вычисляется следующим образом:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат, формула будет аналогична формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда, так как вектор в пространстве принимает такое же положение относительно осей координат.

2. Угол между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Угол между векторами определяется с использованием выражения для определения скалярного произведения векторов

Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Данной формулой можно пользоваться в случае, если известны длины векторов и их скалярное произведение, либо векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве в виде: и .

Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: и , то угол между векторами определяется по следующему выражению:

Следует отметить, что угол между векторами и можно также определить применяя теорему косинусов для треугольника: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

где AB, OA, OB – соответствующая сторона треугольника.

Рис.2. Теорема косинусов для треугольника

Применительно к векторным исчислением данная формула перепишется следующим образом:

Таким образом, угол между векторами и определяется по следующему выражению:

где и — модуль (длина) вектора, а — модуль (длина) вектора, который определяется из разности двух векторов. Неизвестные входящие в уравнение определяются по координатам векторов и .

3.Сложение векторов

Сложение двух векторов и (сумма двух векторов) — это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат сумму векторов и можно найти по следующей формуле:

В графическом виде, сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.

Рис.3. Сложение двух векторов

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало.

Правило треугольника.

Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

где — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Правило параллелограмма.

Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

где — угол между векторами выходящими из одной точки.

Как видно, в зависимости от того какой угол выбирается, изменяется знак перед косинусом угла в формуле для определения модуля (длины) вектора суммы.

4.Разность векторов

Разность векторов и (вычитание векторов) — это операция вычисления вектора , все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов и . В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат разность векторов и можно найти по следующей формуле:

В графическом виде, разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е.

Рис.4. Разность двух свободных векторов

Разность двух свободных векторов в графическом виде может быть определена как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. Модуль (длина) вектора разности определяется по теореме косинусов. В зависимости от используемого угла в формуле изменяется знак перед косинусом (рассматривалось ранее).

5.Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается одним из следующих обозначений или или и определяется по формуле:

где— длины векторов и соответственно, а — косинус угла между векторами.

Рис.5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

Таким образом, для векторов и на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет следующий вид:

Для трехмерного пространства формула для вычисления скалярного произведения векторов и имеет следующий вид:

Свойства скалярного произведения.

1.Свойство коммутативности скалярного произведения

2.Свойство дистрибутивности скалярного произведения

3.Сочетательное свойство скалярного произведения (ассоциативность)

где — произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если скалярное произведение положительно, следовательно, угол между векторами – острый (менее 90 градусов);

— если скалярное произведение отрицательно, следовательно, угол между векторами – тупой (больше 90 градусов);

— если скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу);

— если скалярное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, данные векторы коллинеарные между собой (параллельные).

6.Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор для которого выполняются следующие условия:

1. вектор ортогонален (перпендикулярен) плоскости векторов и ;

2. направление вектора определяется по правилу правой руки (вектор направлен так, что из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден происходящим против часовой стрелки);

Рис.6. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

3. длина вектора равняется площади параллелограмма, образованного векторами, и может быть определена из выражения, равного произведению длин умножаемых векторов на синус угла между ними.

Векторное произведение векторов и обозначается следующим образом (или ), а длина (модуль) векторного произведения определяется по формуле:

где— длины векторов и соответственно, а — синус угла между векторами.

Векторное произведение векторов отличается от скалярного произведения тем, что оно представляет собой не просто число, а вектор, имеющий свое собственное направление (направление обуславливает трехмерность системы). Таким образом, векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности в отличие от скалярного произведения векторов.

Рис.7. Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат в пространстве.

Свойства векторного произведения.

1.Свойство антикоммутативности векторного произведения

2.Свойство дистрибутивности векторного произведения

3.Сочетательное свойство векторного произведения (ассоциативность)

где — произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если векторное произведение равно 0, следовательно, вектора являются коллинеарными (вектора параллельны друг другу);

— если векторное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу).

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Видео:ЕГЭ. Векторы. Длина вектора. Сумма и разность векторовСкачать

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:Задачи на скалярное произведение векторов. Длина суммы и разности векторов. Геометрия 8-9 классСкачать

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности .

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.