Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одноцветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.
Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону
,
где ψm – амплитуда; φ – начальная фаза; ω = 2πf= 2π/T; а f и Т – частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция
.
Величину 
принято называть комплексной амплитудой функции 
. Для перехода от комплексной функции 
к исходной функции нужно взять от реальную часть 
.
Аналогично вместо вектора
(1.58)
можно ввести в рассмотрение комплексный вектор
(1.59)
— комплексная амплитуда вектора а.
Для перехода от комплексной амплитуды 
к мгновенному значению исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения на exp (i ωt):
Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функции а и ψ удовлетворяют линейным уравнениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные функции 
и . Однако определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции по времени равносильно умножению ее на iω: 
; 
, а интегрирование по времени – делению на iω: 
; 
.
Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений
Комплексные амплитуды напряжения
U ˙ m = U m e j α u
I ˙ m = I m e j α i
при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения
Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)
A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,
где модуль (длина вектора)
A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,
γ = a r c t g b a ,
действительная часть комплексного числа
Re A ˙ = A cos γ = a ,
мнимая часть комплексного числа
Im A ˙ = A sin γ = b ,
j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .
Сопряженное комплексное число
A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,
где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».
Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима
u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,
где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.
Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:
комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения
U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,
комплексный действующий ток или комплекс действующего тока
I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .
Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
5.1. Комплексная амплитуда гармонического сигнала
Комплексная амплитуда является комплексным числом ( 
— мнимая единица), определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты.
Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху(в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).
Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно 
В, то его комплексная амплитуда имеет вид 
В или 
В.
Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.
 |  |  |
Если гармоническое напряжение имеет вид 
мВ, то после преобразования получим 
мВ, а комплексная амплитуда будет равна 
мВ.
5.2. Операции с комплексными числами
Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.
В алгебраической форме комплексное число 
записывается в виде
, (5.2)
где 
— действительная, а 
— мнимая части комплексного числа, .
В показательной форме комплексное число представляется выражением
, (5.3)
величину 
называют модулем, а 
— аргументом комплексного числа.
От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен
, (5.4)
(5.5)
Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) 
любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от 
до 
или от 0 до .
Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений
(5.6)
Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,
(5.7)
Например, если комплексное число в алгебраической форме равно 
, то в показательной форме его можно записать в виде
.
Если комплексное число равно 
, то в показательной форме получим
.
Для комплексного числа в показательной форме в виде 
его алгебраическая форма имеет вид
.
С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.
При сложении и вычитании комплексных чисел 
и 
в алгебраической форме получим
. (5.8)
Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.
Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда 
и 
, при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,
, (5.9)
а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,
. (5.10)
Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что 
,
. (5.11)
При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа 
комплексно сопряженное число 
равно 
, то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,
. (5.12)
Тогда при делении в алгебраической форме получим
(5.13)
Рассмотрим пример 
и 
, тогда
,
Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда
,
,
,
.
Как видно, полученные результаты совпадают.
Полезно запомнить следующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),
 |  |  |  |
Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.
5.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд
токов и напряжений
Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.
Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.
5.4. Комплексные сопротивления и проводимости
Значения комплексных сопротивлений 
и проводимостей 
элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).
| R | L | C | |
| Комплексное сопротивление |  |  |  |
| Комплексная проводимость |  |  |  |
Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые(действительная часть равна нулю).
Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать
, (5.17)
где 
— сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть 
и из (5.17) величина действительна.
В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90 0 (на 
радиан), следовательно 
, тогда 
и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости 
, 
и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.
Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.
5.5. Комплексные сопротивление и проводимость
Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:
— комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;
— комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.
Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а при 
кОм и 
пФ на частоте 
кГц равно 
кОм,
а проводимость параллельной Рис. 5.1.
цепи на рис 5.1б —
Сим.
Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,
(5.18)
Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна
Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.
Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,
.
Тогда для проводимости получим
Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:
— в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;
— фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;
— эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.
Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2 при 
кОм, 
нФ, 
рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов
и определяется его сопро-
тивление 
, равное Рис. 5.2
.
Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 5.3.
Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно
.
Подставляя исходные данные, получим Рис. 5.3
Ом.
5.6. Характеристики комплексного сопротивления
Полное комплексное сопротивление в показательной форме можно записать в виде
. (5.19)
Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,
. (5.20)
Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током,
, (5.21)
Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид
, (5.22)
ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,
, (5.23)
а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением,
. (5.24)
Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.
Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,
, (5.25)
где — активная а, 
— реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.
Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.
. (5.26)
Как видно, активная составляющая сопротивления равна
, (5.27)
а реактивная —
, (5.28)
и обе зависят от частоты сигнала.
Зависимости от частоты 
активной и реактивной составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны на рис. 5.4. На низких частотах 
емкость является разрывом цепи и сопротивление 
Ом. На высоких частотах 
емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно 
Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.
При рад/с получается ранее вычисленное значение 
Ом.
Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.
5.7. Комплексная мощность
Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,
. (5.30)
Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах).
Как видно, действительная (активная) составляющая
комплексной мощности представляет собой среднюю мощность 
, потребляемую двухполюсником,
. (5.31)
Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах.
Мнимая (реактивная) составляющая 
комплексной мощности равна
(5.32)
и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при 
), при этом энергия запасается в магнитном поле индуктивностей, или отрицательной (при 
) при накоплении энергии в электрическом поле емкостных элементов.
Модуль комплексной мощности равен
(5.33)
и измеряется в ВА. Величину 
называют полной мощностью, она определяется активной и реактивной мощностями,
. (5.34)
, (5.35)
величину 
называют коэффициентом мощности. При потребляемая мощность максимальна и равна полной мощности , а реактивная мощность равна нулю.
Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель 
.
5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником
Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, например, при 
В и 
А получим, что сдвиг фаз между напряжением и током равен 
. Тогда комплексная мощность равна
ВА,
активная составляющая (потребляемая мощность) —
Вт,
ВАр,
а полная мощность —
ВА.
Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как коэффициент мощности равен 
, то потребляемая мощность существенно меньше полной.
Мощности можно определить, зная комплексную амплитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление (проводимость) цепи.
Рассмотрим цепь на рис. 5.2 с подключенным к ней идеальным источником гармонического напряжения 
, показанную на рис. 5.5.при кОм, нФ, 
В. Ком-
плексная амплитуда 
ЭДС Рис. 5.5
источника равна 
В,
а комплексное сопротивление цепи было определено ранее,
Ом.
По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока 
,
мА,
а полная комплексная мощность равна
ВА,
или в алгебраической форме
ВА.
Таким образом, потребляемая цепью мощность равна 
Вт, реактивная мощность — 
ВАр, а полная мощность — 
ВА.
На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.
Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.
Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет рассмотрен в дальнейшем.
В цепи с комплексным сопротивлением при протекании через нее тока с амплитудой 
потребляемая мощность равна
. (5.36)
Аналогично в цепи с комплексной проводимостью 
при наличии на ней напряжения с амплитудой 
потребляемая мощность будет равна
. (5.37)
5.9. Максимизация потребляемой мощности
В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.
В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).
Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДС и внутренним комплексным сопротивлением , к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением 
.
Необходимо подоб- Рис. 5.6.
Рать такое сопротивление
нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.
Комплексная амплитуда тока в цепи равна
,
тогда для амплитуды тока получим
, (5.38)
в выражение для потребляемой мощности примет вид
, (5.39)
так как мощность потребляется только в активном сопротивлении 
.
Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному и реактивному 
сопротивлениям нагрузки. Как видно, величина присутствует только в знаменателе дроби и сумма 
возводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии
или 
. (5.40)
Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим
. (5.41)
Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых
потребляемая нагрузкой мощность максимальна,
(5.42)
и соответствующую величину мощности
. (5.43)
Зависимости мощности в нагрузке от при (сплошная линия) и 
Ом (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 при 
Ом и 
В.
Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет но снижается. Рис. 5.7
циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной
. (5.44)
тогда КПД 
равен
. (5.45)
Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-
Рис. 5.8 противлением (происходит на-
грев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.
5.10. Задания для самостоятельного решения
Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов
В, 
мВ
мА, 
А.
Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы
В, 
мВ, 
В, 
мВ,
мА, 
А, 
мА, 
мкА.
Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел 
и 
, результаты запишите в алгебраической и показательной формах.
| | 4-j3 | 7-j4 | -j |  | 20+j3 |  | |
| | -8+j2 | -j5 | j | -1-j | 5+j2 |  |  |
Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент, а также обратную величину 
.
Задание 5.5. Найдите полное комплексное сопротивление и проводимость показанных на рис. 5.9 цепей при 
кОм, 
мГн и 
пФ на частоте 
рад/c.
Задание 5.6. Получите общие формулы для полного комплексного сопротивления цепей из задания 5.5. Найдите формулы его модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.
Задание 5.7. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рис.5.10 цепью при ЭДС источника 
В,
кОм и 
нФ. Рис. 5.10
Задание 5.8. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника тока 
мА при 
кОм, 
мГн и 
нФ.
Дата добавления: 2015-06-17 ; просмотров: 5664 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ