Длина вектора с комплексными числами

Модуль и аргумент комплексного числа, формулы

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + i·b обозначается | a + i·b |, а также буквой r. Из чертежа видно, что:

Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + i·b и a — i·b имеют один и тот же модуль.

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + i·b , называется аргументом комплексного числа a + i·b

Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k — любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:

Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Комплексные числа

Длина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Длина вектора с комплексными числамиСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Длина вектора с комплексными числамиКомплексно сопряженные числа
Длина вектора с комплексными числамиМодуль комплексного числа
Длина вектора с комплексными числамиДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Длина вектора с комплексными числамиИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Длина вектора с комплексными числамиАргумент комплексного числа
Длина вектора с комплексными числамиТригонометрическая форма записи комплексного числа
Длина вектора с комплексными числамиФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Длина вектора с комплексными числамиУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Длина вектора с комплексными числамиИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Длина вектора с комплексными числами

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Длина вектора с комплексными числамиу которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Длина вектора с комплексными числами

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Длина вектора с комплексными числами

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Работа с комплексными числамиСкачать

Работа с комплексными числами

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Длина вектора с комплексными числами

Деление на нуль запрещено.

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Длина вектора с комплексными числами

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскости

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Длина вектора с комплексными числами

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Длина вектора с комплексными числами

Тогда оказывается справедливым равенство:

Длина вектора с комплексными числами

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Длина вектора с комплексными числами(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Длина вектора с комплексными числами(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπДлина вектора с комплексными числами
Первый
квадрант
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Положительная
мнимая
полуось
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Второй
квадрант
Длина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числамиДлина вектора с комплексными числами
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыДлина вектора с комплексными числами
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Длина вектора с комплексными числами
АргументДлина вектора с комплексными числами
ПримерыДлина вектора с комплексными числами
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Длина вектора с комплексными числами
АргументДлина вектора с комплексными числами
ПримерыДлина вектора с комплексными числами
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Длина вектора с комплексными числами
АргументДлина вектора с комплексными числами
ПримерыДлина вектора с комплексными числами

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Длина вектора с комплексными числами

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:Комплексные числа | Теория комплексных чисел. Переход из одной формы в другуюСкачать

Комплексные числа | Теория комплексных чисел. Переход из одной формы в другую

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Длина вектора с комплексными числамии Длина вектора с комплексными числамизаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Длина вектора с комплексными числами

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Лекция 040-2. Комплексные числа. Представление синусоид комплексными числамиСкачать

Лекция 040-2.  Комплексные числа.  Представление синусоид комплексными числами

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Длина вектора с комплексными числами— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Длина вектора с комплексными числаминазывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Длина вектора с комплексными числами

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Длина вектора с комплексными числами

следствием которых являются равенства

Длина вектора с комплексными числами(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Длина вектора с комплексными числами(10)

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Длина вектора с комплексными числамис центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Длина вектора с комплексными числами

то по формуле (10) получаем:

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Длина вектора с комплексными числами

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Комплексные числа и операции с ними

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для 0″/>, а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Длина вектора с комплексными числами

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Высшая математика. Комплексные числаСкачать

Высшая математика. Комплексные числа

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 класс

Александр Чирцов про комплексные числа и вектораСкачать

Александр Чирцов про комплексные числа и вектора

Мнимые числа реальны: #7 Комплексное умножение [Welch Labs]Скачать

Мнимые числа реальны: #7 Комплексное умножение [Welch Labs]

3. Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа в электротехникеСкачать

Комплексные числа в электротехнике
Поделиться или сохранить к себе: