Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Алгебра. 7 класс
Конспект урока

Длина отрезка. Координатная ось

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Действительное число как мера длины отрезка.

• Точки с действительными координатами на числовой оси.

• Сравнение действительных чисел на числовой оси.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.

За единицу измерения возьмём 1 дм.

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Длина отрезка АВ = 2 дм

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.

Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.

Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Далее можно рассматривать отрезок

АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.

В таких случаях длина отрезка АВ может быть выражена приближённо. Точное значение длины отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: AB = a0, a1, a2, a3… Говорят, что отрезок AB имеет длину a, где a = a0, a1, a2, a3

Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.

Верно обратное утверждение:

если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.

Её называют координатной осью.

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:

начальной точке поставим в соответствие число ноль;

точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.

Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.

• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;

• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;

• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.

Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.

Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1. Длина отрезка

Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4

2. Чтобы найти координаты середины отрезка, надо сложить координаты и разделить на 2, т.е. (-3,8 +2,6) : 2 = -1,2 : 2 = -0,6.

Ответ: АВ = 6,4; С(-0,6).

Задача 2. Координатная ось.

Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.

Число a больше b, т.к. оно правее.

Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.

Видео:Если ты в 8 классе, посмотри ЭТО ВИДЕО — Формула Длины ОтрезкаСкачать

Если ты в 8 классе, посмотри ЭТО ВИДЕО — Формула Длины Отрезка

Отрезок. Формула длины отрезка.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов1y1) и 22).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1.

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Как вычислить длину отрезка зная координаты

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов1y1) и 22).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y2 – y1, а на ось х длина проекции равна х2 – х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1.

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка (средней точки) по декартовым координатам концов отрезка. Отрезок и средняя точка отображаются на графике, также на графике показан графический способ нахождения середины отрезка.

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Длина вектора ав это две длины отрезка ав длина отрезка ав половина длины отрезка ав

Timur

  • Статья : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru
  • Калькулятор : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка по введенным декартовым координатам двух точек – концов отрезка.

Формула вычисления расстояния между двумя точками и это формула длины гипотенузы прямоугольного треугольника . Координаты середины отрезка – среднее арифметическое координат точек .

Отрезок и средняя точка отображаются на графике. Также среднюю точку можно найти построением. Для этого на графике надо построить две дуги с центрами на концах отрезка и с радиусом равным длине отрезка. Затем надо построить прямую линию между точками пересечения дуг. Эта линия пересечет исходный отрезок в середине.

📸 Видео

7 класс, 7 урок, Длина отрезкаСкачать

7 класс, 7 урок, Длина отрезка

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Нахождение длины отрезка по координатамСкачать

Нахождение длины отрезка по координатам

Нахождение длины вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора. Практическая часть. 9 класс.

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Длина отрезка | Геометрия 7-9 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Длина отрезка | Геометрия 7-9 класс #8 | Инфоурок

Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

№31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если:Скачать

№31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если:

№76. Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQСкачать

№76. Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ

ОТРЕЗОК и ЕГО ДЛИНА. §2 геометрия 7 классСкачать

ОТРЕЗОК и ЕГО ДЛИНА. §2 геометрия 7 класс

Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

5 класс, 2 урок, Отрезок. Длина отрезка. ТреугольникСкачать

5 класс, 2 урок, Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

№121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВОСкачать

№121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: